銳角三角函數(shù)培優(yōu)題型分類(答案版)

1、百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升自我銳角三角函數(shù)培優(yōu)-題型分類【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；銳角三角函數(shù)的定義.1. （2009?±丹江二,K）直線y=kx-4與y軸相交所成銳角的正切值為之，則k的值為（）A. L B. 2 C.z ± 2 D.十!2/- 2y=kx- 4 與【分析】首先確定直線y=kx- 4與y軸和x軸的交點(diǎn)，然后利用直線 y軸相交所成銳角的正切值為 二這一條件求出k的值.【解答】解：由直線的解析式可知直線與 y軸的交點(diǎn)為（0, -4）,即直線y=kx-4與y軸相交所成銳角的鄰邊為| - 4| =4,與x軸的交點(diǎn)為y=0時(shí),;直線y=kx- 4與y軸相

2、交所成銳角的正切值為-i-,W| =4Xy, k=± 2.故選C.【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；三角形中位線定理.2. （1998?臺(tái)州）如圖，延長(zhǎng) RttAABC斜邊AB至ijD點(diǎn)，使BD=AB連接CD,若20A三 B 1 C二 D二【分析】若想利用cot/BCD的值，應(yīng)把/ BCD放在直角三角形中，也就得到了 RttAABC的中位線，可分別得到所求的角的正切值相關(guān)的線段的比.【解答】解：過(guò)B作BE/ AC交CD于E./ . AB=BD.E是CD中點(diǎn), . AC=2BE v AC± BC,.BnBC, /CBE=90.BE/ AC.又. cot/BCD=3 設(shè) BE=k 貝

3、U BC=3x AC=2x,tanA=5k=Ax 故選 A.'AC 2k 2【考點(diǎn)3】銳角三角函數(shù)的定義.3.將一副直角三角板中的兩塊按如圖擺放， 連接AC,則tan / DAC的值為（【分析】欲求/ DAC的正切值，需將此角構(gòu)造到一個(gè)直角三角形中.AB 'C :D.?過(guò)C作CE!AD于E,設(shè)CD=BD=1然后分別表示出AD、CE、DE的值，進(jìn)而可在RtAACE中，求得/ DAC的正切值.【解答】解：如圖，過(guò)C作CE!AD于E./BDC=90, Z DBC=Z DCB=45,BD=DC設(shè) CD=BD=1在 RtAABD 中，/ BAD=30,則 AD=2在 Rt EDC中，/

4、CDE力 BAD=30, CD=1, .tan/DAC=|二_L_ 2W313故選C.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.4. （2007%云港）如圖是一山谷白橫斷面示意圖，寬AA'為15m,用曲尺（兩直尺相交成直角）從山谷兩側(cè)測(cè)量出 OA=1m, OB=3m, O A, O B' =3mK A,O, O' At同一條水平線上），則該山谷的深h為30 m.【分析】過(guò)谷底構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，利用坡比定義表示山谷寬求解.【解答】解：設(shè)A、A'到谷底的水平距離為AC=m, A C=n二 m+n=15.根據(jù)題意知，OB/ CD/ O B'. OA=1,

5、OB=3, O A', O' B' =3F»xh=15-解得 h=30 (m).【考點(diǎn)】解直點(diǎn)三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.5. （2007徵底）去年夏季山洪暴發(fā)，幾所學(xué)校被山體滑坡推倒教學(xué)樓，為防止滑坡，經(jīng)過(guò)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò) 45°時(shí)，可以確保山體不滑坡.某小學(xué)緊挨一座山坡，如圖所示，已知 AF/ BC,斜坡AB長(zhǎng)30米，坡角/ ABC=60.改造后斜坡BE與地面成45°角，求AE至少是多少米？（精確到米） 【分析】連接BE,過(guò)E作ENI±BC于N,貝U四邊形AEND是矩形，有NE=AD,AE=DN 在RtA ADB和R

6、tA BEN中都已知一邊和一個(gè)銳角，滿足解直角三角形的條件, 可求出AD和BD、AE的長(zhǎng).【解答】 解：在RtADB中，AB=30米/ ABC=60AD=AB?sn / ABC=30X sin60 = 15/1 = =（米），DB=AB?co更 ABC=3（X cos60 =15 米.連接BE,過(guò)E作EN± BC于N.AE/ BC.四邊形 AEND是矩形NE=AA26米在 RtENB中，由已知/ EBNK45°,當(dāng)/EBN=45時(shí)，BN=EN小AE=DN=BN- BD=- 15=11 米答：AE至少是米.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.6. (2010漸密市自主招

7、生)某廠家新開(kāi)發(fā)的一種摩托車(chē)如圖所示，它的大燈 A射出的光線AB、AC與地面MN的夾角分別為8°和10°,大燈A離地面距離1m.Y BCn(1)該車(chē)大燈照亮地面的寬度 BC約是多少(不考慮其它因素)？(2) 一般正常人從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到做出剎車(chē)動(dòng)作的反應(yīng)時(shí)間是，從發(fā)現(xiàn)危險(xiǎn)到摩托車(chē)完全停下所行駛的距離叫做最小安全距離，某人以60km/h的速度駕駛該車(chē)，從60km/h到摩托車(chē)停止的剎車(chē)距離是等m,請(qǐng)判斷該車(chē)大燈的設(shè)計(jì)是否能滿足 最小安全距離的要求，請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù)：魯，tan8" T，257sinlO"中魯'，tanlO"口關(guān) 502S【分

8、析】(1)本題可通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)解答，過(guò) A作AD，MN于D,就有 了/ABN /ACN的度數(shù)，又已知了 AE的長(zhǎng)，可在直角三角形 ABE ACE中分別 求出BE、CE的長(zhǎng)，BC就能求出了.(2)本題可先計(jì)算出最小安全距離是多少，然后于大燈的照明范圍進(jìn)行比較， 然后得出是否合格的結(jié)論.【解答】解：(1)過(guò)A作AD，MN于點(diǎn)D,在 RtACD中，tan/ACD="一，CD= (m)，CD1性，在 RtAABD 中，tan / ABD其八. BD=7 (m) ，ED：>BC=7- = (m)./答：該車(chē)大燈照亮地面的寬度 BC是；（2）該車(chē)大燈的設(shè)計(jì)不能滿足最小安全距離的要求.

9、理由如下：以60 km/h的速度駕駛， 速度還可以化為：Egm/sJ最小安全距離為： 毀x 4_=8 （m）, - 33大燈能照到的最遠(yuǎn)距離是BD=7m,該車(chē)大燈的設(shè)計(jì)不能滿足最小安全距離的要求.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.7. （2010?峰）關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式: sin ( a+ B) =sin a co+COs a sir©。COs ( a+ =cos a cos-0sin-tanQ + tanBs sinDp1-tanCT tan Gtan105 =tan ( 45 +600)tan45fl +tan60"1-tan454 'tanSO*

10、利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值, 如：（2+J1）.根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題：如圖，直升飛機(jī)在一建筑物 CD上方A點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端D點(diǎn)的俯角a =60；底端C點(diǎn)的俯角B =75；此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物CD的水平距離BC為42m,求建 筑物CD的高/B C【分析】先由俯角B的正切值及BC求得AB,再由俯角a的正切值及BC求得A、D兩點(diǎn)垂直距離.CD的長(zhǎng)由二者相減即可求得.【解答】解：由于a =60； B=75； BC=42貝U AB=BC?tanp =42tan75 °A、D垂直距離為BC?tan a =4兩,=42?

11、"11 ,_1 r 1 1-t an45 'tanSOCD=AB- 4273=84.（米）.答：建筑物CD的高為84米.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.8. （2010?巴中）巴中市某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組在開(kāi)展 保護(hù)環(huán)境，愛(ài)護(hù)樹(shù)木”的活 動(dòng)中，利用課外時(shí)間測(cè)量一棵古樹(shù)的高，由于樹(shù)的周?chē)兴?，同學(xué)們?cè)诘陀跇?shù) 基米的一平壩內(nèi)（如圖）,測(cè)得樹(shù)頂A的仰角/ ACB=60,沿直線BC后退6米到 點(diǎn)D,又測(cè)得樹(shù)頂A的仰角/ ADB=45,若測(cè)角儀DE高米，求這棵樹(shù)的高AM.（結(jié)果保留兩位小數(shù)，卜巧=）【分析】可在RtAABD和RtAABC中，利用已知角的三角函數(shù)，用AB表示出BD

12、、 BC,根據(jù)CD=BD- BC=6即可求出AB的長(zhǎng)；已知HM、DE的長(zhǎng)，易求得BM的值, 由AM=AB- BM即可求出樹(shù)的高度.【解答】解：設(shè)人8=乂米./RtA ABD 中，/ADB=45, BD=AB=/._, 一 ， :'_ _ S -/RtA ACB中，/ACB=60, BC=A& tan60=4x 米.3CD=BD- BC=（1-冬）x=6, /解得 x=9+3/3,即AB= （9+3百）米.v BM=HM- DE=- =2, . AM=AB-BM=7+W=（米）. Z答：這棵樹(shù)高米.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.j9. （2015?t南州）如圖，從熱氣

13、球 C上測(cè)得兩建筑物A、B底部的俯角分別為30°和60度.如果這時(shí)氣球的高度 CD為90米.且點(diǎn)A、D、B在同一直線上，D B【專題】計(jì)算題；壓軸題.【分析】在圖中兩個(gè)直角三角形中，都是知道已知角和對(duì)邊，根據(jù)正切函數(shù)求出 鄰邊后，相加求和即可.【解答】 解：由已知，得/ ECA=30, /FCB=60, CD=9QEF/ AB, CD±AB于點(diǎn) D. / A=/ ECA=30, / B=/ FCB=60.在 RtAACD中，/ CDA=90, tanA,<'5 AD 5-AD=Sr=#=90x 言9。叵在 RtABCD中，/ CDB=90, tanB衛(wèi)，/BD

14、DB=CD =2=30/3,/tonB V3 AB=ADfBD=90 ：；+30 ：；=120.；.答：建筑物A、B間的距離為120x巧米.【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題.10. （2007海州）如圖，一艘船以每小時(shí) 30海里的速度向東北方向航行，在 A 處觀測(cè)燈塔S在船的北偏東75°的方向，航行12分鐘后到達(dá)B處，這時(shí)燈塔S 恰好在船的正東方向.已知距離此燈塔8海里以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘 船可以繼續(xù)沿東北方向航行嗎？為什么？（參考數(shù)據(jù)、V2-, V3-）【分析】問(wèn)這艘船能否可以繼續(xù)沿東北方向航行， 只要證明D與S的距離要大于 8海里，可以做與正北方向平行的直線，與

15、SB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C.則4ABC ACS®是直角三角形，可以運(yùn)用勾股定理來(lái)計(jì)算.【解答】解：作與正北方向平行的直線，與 SB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)S作 SD±AB于 D.V AB=30X =6 （海里）， 60/CAB=45, /ACB=90, . AC=BC=AB?sin45 =6孚=3.歷（海里），/CAS=75, /ACS=90, . SC=AC?tan75 =32乂 （2+/3）=班+3娓（海里），. BS=3/2+3'行（海里），/ DBS玄 ABC=45, . SD=BS?sin45 i3/2+3/6） X 喙=3+3內(nèi)= >8,/這艘船可以繼

16、續(xù)沿東北方向航行.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；三角形的面積；解直角三角形.11. (2010?蘭州)已知平行四邊形 ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)2, AC=10 BD=8.(1)若AC，BD,試求四邊形ABCD的面積；(2)若AC與BD的夾角/ AOD=60,求四邊形ABCD的面積；(3)試討論：若把題目中 平行四邊形ABCDT改為四邊形ABCD,且/ AOD=， AC=a BD=b,試求四邊形ABCD的面積(用含9, a, b的代數(shù)式表示).【分析】(1)因?yàn)锳C，BD,所以四邊形ABCD的面積等于對(duì)角線乘積的一半；(2)過(guò)點(diǎn)A分別作AEL BD, CF, BD,根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互

17、相平分和正弦定理求出4AOD的面積，那么四邊形 ABCD的面積=4 AOD的面積；(3)作輔助線AE± BD, CF± BD,利用正弦定理求出 BCD ABD的高，那么 四邊形ABCD的面積= BCD的面積+ ABD的面積./【解答】解：(1) V AC± BD,四邊形ABCD的面積=AC?BD=40(2)分別過(guò)點(diǎn)A, C作AEL BD, CF± BD,垂足分別為E, F.四邊形ABCD為平行四邊形，AO=CO=AC=5, BO=DOfBD=4.2'2在 RtAOE中，sin/AOE幽A0. AE=AO?sin AOE=AO< sin60

18、=5X返身在 xTT 2Sx aoxOD?AeL22X4XX5=5/3.四邊形 ABCD的面積 S=4Saod=20.(3)如圖所示，過(guò)點(diǎn)A, C分別作AE，BD, CF，BD,垂足分別為E, F.在 RtAOE中，sin/AOE歿, AOAE=AO?siX AOE=AO?sin.同理可得CF=CO?sin COF=CO< sin e四邊形ABCD的面積S=S abd+Sa cbdf-BD?AEf-BD?CF 22、BDsin 9(AO+CO) = -BD?ACsin9Jabsin .0平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形.12. （2006儲(chǔ)坊）已知平行四邊形 ABC

19、D AD=a AB=b, /ABC亂點(diǎn)F為線段BC上一點(diǎn)（端點(diǎn)B, C除外），連接AF, AC,連接DF,并延長(zhǎng)DF交AB的延長(zhǎng) 線于點(diǎn)E,連接CE.（1）當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證： EFC與ZXABF的面積相等；（2）當(dāng)F為BC上任意一點(diǎn)時(shí)， EFCt4ABF的面積還相等嗎？說(shuō)明理由.【分析】（1） &efJfC淌h, &abf=1bfW h',而EFCf4ABF的面積相等且 22當(dāng)F為BC的中點(diǎn)，所以必須證明h=h',而h=ABsinq來(lái)解答，因此便可求證所求；（2）由于 ABC和4CDE為等底等高三角形，所以和4CDF同底等高,所以 &AFC=Sx

20、CDF.二 Sk ABC- S AFC=S1 CDE & CDF,即 S ABF=S EFC【解答】（1）證明：:點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，又 : BF/ AD,BE=AB=b.A, E兩點(diǎn)到BC的距離相等,都為bsin a （3分）貝U SABF=i-?-1-?bsin a-i-absin a&EFC3?-；-?bsin a=absin 劣 <SABF=SEFG （5 分）/（2）解：Sa ABC=Sx CDE,又因?yàn)?ACFh' =EBsin所以證明方向轉(zhuǎn)化為求證 EB=AB而EB=CD可利用證 EBH DCF法一：當(dāng)F為BC上任意一點(diǎn)時(shí)，設(shè) BF=k 貝U FC=a

21、- x四邊形ABCD平行四邊形，屈_：芯 _ BE /一 一 ）AD BE+AB a BEb BE（7 分）/ a-x在EFCt, FC邊上的高h(yuǎn)尸BEsin夕'、 , bxsinQ一儲(chǔ)=，1 a-x1 _ n I, 、 brsinQ 1,. /c 八、. S耽=yFC，hiw（ar”寸工8門(mén)口，（9分）又在 ABF中，BF邊上的高h(yuǎn)2=bsin0 SkABF=bxsin a 2S ABF=S EFC； （11 分）法二：: ABCD為平行四邊形，Skabc=SLcDE=absin a 2又二 SAFC=SCDF,S ABC- S AFC=S CDE- & CDF, 即 &am

22、p;ABF=SEFC （11 分）菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形.13. （2009攏巖）在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A? B?C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接DM交AC于點(diǎn)N./1）（圖 2）（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，連接BN:求證： ABNAADN;若/ ABC=60, AM=4, / ABN須，求點(diǎn)M到AD的距離及tan a的值.(2)如圖2,若/ABC=90,記點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為x (6<x<12).試問(wèn)：x為何值時(shí)，4ADN為等腰三角形.【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形.【專題】壓軸題；

23、動(dòng)點(diǎn)型.【分析】(1)4ABN和4ADN中，不難得出AB=ADJZ DAC=Z CAB, AN是公 共邊，根據(jù)SAS即可判定兩三角形全等.通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求解.作 MHLDA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,由可得/ MDA=/ ABN,那么M到AD的距離和/ a就轉(zhuǎn)化到直角三角形 MDH和MAH中, 然后根據(jù)已知條件進(jìn)行求解即可.(2)本題要分三種情況即：ND=NA, DN=DA AN=AD進(jìn)行討論.【解答】解：(1)證明：二四邊形ABCD是菱形， .AB=AD / 1=/ 2.又AN=AN, .ABNAADN (SAS.作MH，DA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.由 AD/ BC,得/ MAH=/ABC=6

24、0.在 RtAAMH 中，MH=AM?sin60 =4X sin60 =2/1. 點(diǎn)M到AD的距離為2K. . AH=2DH=6+2=8.在 RtADMH 中，tan/MDHM/、DH 84/由知，/ MDH=/ ABN須，/tanas /4/(2) Z ABC=90,/菱形ABCD正方形. ./CAD=45.Z下面分三種情形：(I )若 ND=NA,貝叱 ADN=Z NAD=45 .此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)B重合，得x=6;Z(H )若 DN=DA,貝叱 DNA=Z DAN=45 .此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C重合，得x=12;(田)若 AN=AD=G 貝1=/ 2,v AD/ BC,/ 1=/ 4,又/

25、 2=/ 3, / 3=/4./CM=CN, AC=6叵 CM=CN=AC- AN=6/2-6.故 x=12- CM=12- (6&-6) =18-6/2.綜上所述：當(dāng)x=6或12或18-班時(shí)，4ADN是等腰三角形.(圖1)等邊三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形.14. （2009?1田）已知：等邊 ABC的邊長(zhǎng)為a.探究（1）:如圖1,過(guò)等邊 ABC的頂點(diǎn)%A、B、C依次作AB、BG CA的垂線圍 成AMNC,求證：zMNG是等邊三角形且 MN=/a；探究（2）:在等邊 ABC內(nèi)取一點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O分別作OD，AR。已BG OF，CA, 垂足分別為點(diǎn)D、E、F.如圖2,若點(diǎn)。是4ABC的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個(gè)正確結(jié)論（不必證明）：結(jié)論1. OD+O&OFia；結(jié)論22./AD+BE+CF鼻；2如圖3,若點(diǎn)O是等邊 ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則上述結(jié)論1, 2是否仍然成立？ 如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】（1）本題中 ABC為等邊三角形，AB=BC=a /ABC=60,求出/ N, / G的值，在直角 AMB、zCNB中，可以先用a表示出MB, NB然后再表示出 MN,這樣就能證得MN=/3a；（2）判定是否成立可通過(guò)構(gòu)建直角三角形，把所求的線段都轉(zhuǎn)化到直角三角形中進(jìn)行求解；判斷是否成立