2018屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)階段提升突破練(四)理新人教A版

1、階段提升突破練（四）（立體幾何）、選擇題（每小題 5 分，共 40 分）選 A.由四面體的三視圖得該四面體為棱長為2 的正方體 ABCD-ABQD 中的三棱錐百2）=1,三棱錐 Ci-BDE 的高 h=CG=2,1 2所以該四面體的體積：V= Sh=* .3.（2017 全國卷I）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）（60 分鐘100 分)1.（2016 浙江高考）已知互相垂直的平面a,3交于直線I.若直線 m,n 滿足m/ a,n 丄B,A.m/IB.m

2、/ nC.n 丄ID.m n【解題導(dǎo)引】 根據(jù)線、面垂直的定義判斷【解析】 選 C.由題意知，a n 3=l，所以I?3,因?yàn)?n 丄3,所以 n 丄I.2.（2017 長沙二模）如圖是一個(gè)四面體的三視圖，這個(gè)三視圖均是腰長為2 的等腰直角三角形，正視圖和俯視圖中的虛線是三角形的中線，則該四面體的體積為A,D.2【解C-BDE,其中點(diǎn) E 是 CD 中點(diǎn)， BDEW積 S=2【解題導(dǎo)引】 主要考查如何將三視圖轉(zhuǎn)化為幾何體問題，突出考查考生的空間想象能力【解析】 選 B.由三視圖可畫出立體圖，該立體圖各面中只有兩個(gè)相同的梯形的面，俯視圖【解析】選C.幾何體為底面為正方形的長方體，底面對(duì)角線為 所

3、以長方體底面邊長為2，則長方體外接球半徑為 r,A.13nB.16nC.25nD.27nA.10B.12C.14D.16S梯= -.J-.X 22=6,S全梯=6X2=12.【加固練習(xí)】（2017 黃岡模擬）某一簡單幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的外接球的表面積是（2正視圖測視圖4,咼為 3,03則 2 戸一=5,所以 r=?,所以長方體外接球的表面積S=4nr2=25n.4.（2017 合肥二模）若平面a截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面a平行的棱有（）A.0 條B.1 條C.2 條D.1 條或 2 條【解析】 選 C.如圖所示，四邊形 EFGH 為平行四邊形，貝UEF/ GH

4、因?yàn)?EF?平面 BCD GH?平面 BCD所以 EF/平面 BCD因?yàn)?EF?平面 ACD 平面 BCDA平面 ACD=CD所以 EF/ CD 所以 CD/平面 EFGH同理 AB/平面 EFGH.ABCD-ABCiD 中，AB=2 BC=1, BB=1 ,點(diǎn) P 是 AB 的中A.30 B.45 C.60 D.90 【解題導(dǎo)引】 根據(jù)題意，取 CD 的中點(diǎn) Q 連接 BQ CQ,得出 BQ/ PD / CBQ 是異面直線BC 與 PD 所成角（或其補(bǔ)角），利用等邊三角形求出/ CBQ 的值即可.【解析】 選 C.長方體 ABCD-ABGD 中，AB=2 BC=1 , BB=1 ,取 CD

5、的中點(diǎn) Q,連接 BQ GQ因?yàn)辄c(diǎn) P 是 AB 的中點(diǎn)，所以 BQ/ PD,5.（2017 昆明一模）如圖，在長方體點(diǎn)，則異面直線4所以/ CBQ 是異面直線 BG 與 PD 所成角（或其補(bǔ)角）,如圖所示：7在厶 GBQ 中，GB=BQ=GQ 卻厶,所以/ GBQ=60 ,Z【解析】 選 B.以點(diǎn) D 為原點(diǎn),DA DC DD 所在直線分別為x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角7* DAx=6 + 6( = 0,設(shè)平面 ADE 與平面 ODF 所成銳二面角為0,所以平面 ADE 與平面 ODF 所成銳二面角的余弦值為 二、填空題(每小題 5 分，共 20 分)9.(2017 山東高考)由一個(gè)長

6、方體和兩個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_ .F, Ci共面，設(shè)平面 ADE 的法向量為 n=(a , b, c),=(6, 0,- 、DE c )6)，“ =(6 , 3 , 0),設(shè)平面取 a=1，得 n=(1CiDF的一個(gè)法/X；=(0, 6 , 6), M=(3, 6 , 0),心+6日.取 x=2，得 m=(2,-1 , 1),則 cos00) , F(3 , 6, 0)時(shí)，A, E,A (6 ,0, 6) ,T-2 , -1),3 18T匚T- 21*1 正視圖側(cè)視圖1【解析】由三視圖可知長方體的體積為Vi=2X1X1=2,兩個(gè)四分之一圓柱的體積之和為V27T7T

7、X n X12X1X2=2，所以該幾何體的體積為 V=2+，.7T答案：2+【加固訓(xùn)練】（2017 大慶二模）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為答案：“10.（2017 全國卷I）已知三棱錐 S-ABC 的所有頂點(diǎn)都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直徑.【解析】由三視圖可知:該幾何體為三棱錐 P-ABC,ABC 側(cè)面 PACL 底面 ABC正視團(tuán)側(cè)視圖其中底面是底邊與底邊上的咼都為2 的等腰三角形高為 2.所以這個(gè)幾何體的體積 V=X2X22X2=Y49若平面 SCAL 平面 SCBSA=ACSB=BC 三棱錐 S-ABC 的體積為 9，則球 O 的表面積為 _10a丄3,

8、a A 3=a ,a A丫 =b ,貝Ua 丄 b；上述五個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是、_.【解析】對(duì)于，根據(jù)線面垂直的判定定理,需要一條直線垂直于同一平面內(nèi)兩條相交的 直線,故 a丄 b , a 不一定垂直平面3,故不正確,yq I對(duì)于，a?a, a 垂直于3內(nèi)的任意一條直線,滿足線面垂直的定理，即可得到 a?a,則“丄3,故正確,丫 =b,則 a 丄 b 或 a / b,或相交，故不正確,【解析】取 SC 的中點(diǎn) 0,連接 0A0B因?yàn)?SA=AC SB=BC 所以 OAL SC,OBL SC.因?yàn)槠矫?SACL平面 SBC所以 OAL 平面 SBC 設(shè) OA=r,V-SBC=)xSSBCX

9、0A=x x2rxrxr= )r,所以* r3=9? r=3 ,所以球的表面積為4nr2=36n.答案：36n11.（2017 本溪二模）已知 a, b 表示兩條不同直線,Y表示三個(gè)不同平面，給出下列命題:若a A 3=a,b?a ,a 丄 b,貝a L 3；若 a?a, a 垂直于3內(nèi)的任意一條直線，則若若a 不垂直于平面a,則 a 不可能垂直于平面若 a 丄a ,a 丄3 ,a內(nèi)的無數(shù)條直線;對(duì)于，若 a 不垂直于平面a,則對(duì)于，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，若a 可能垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，故不正確,a 丄a, a 丄3,貝a /3,故正確.答案：12.如圖，PA 丄平面 ABC ACLBCP

10、A=AC=1 BC=丄，則二面角 A-PB-C 的余弦值大小為對(duì)于，a丄3, aA 3=a ,a A11所以可取 m=（2，0），n2=（-1，0，1）， 2x/3所以 cos=l hx =- Y ，所以二面角 A-PB-C 的余弦值為,.答案：0），fl1aCS=（1，1，0），CP=（0，0，a）CE=2TT取 m=(1 , -1 , 0)，貝 U =0, m 為平面 PAC 的一個(gè)法向量.設(shè) n=(x , y, z)為平面 EAC 的一個(gè)法向量，則 n -：= n =0,x + y = Qf11 取 x=a，y=-a， z=-2，則 n=（a， -a，-2），DA于是 n=(1 , -1

11、 , -2) ,J=(1 ,1,-1).設(shè)直線 PA 與平面 EAC 所成角為0,-V?DAO貝 U sin0=|cos|=,即直線 PA 與平面 EAC 所成角的正弦值為【加固訓(xùn)練】1.如圖，在三棱錐 S-ABC 中，平面 SABL 平面 SBC AB 丄 BC AS=AB 過點(diǎn) A 作 AFLSB,垂足AC=BC=1，因?yàn)?AC?平面 EAC 所以平面 EACL 平面PBC.依題意，|cos|=)M則 a=1.EB14為 F,點(diǎn) E, G 分別是棱 SA, SC 的中點(diǎn).求證：平面EFGI平面 ABC.(2)BC 丄 SA.【證明】 因?yàn)?AS=AB AF 丄 SB,垂足為 F,所以點(diǎn) F

12、 是 SB 的中點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn) E 是 SA 的中點(diǎn)，所以 EF/ AB.因?yàn)?EF?平面 ABC AB?平面 ABC所以 EF/平面 ABC.同理 EG/平面 ABC 又因?yàn)?EFAEG=E所以平面 EFG/平面 ABC.因?yàn)槠矫?SAB1 平面 SBC 且交線為 SB,又因?yàn)?AF?平面 SAB AF 丄 SB,I所以 AF 丄平面 SBC.因?yàn)?BC?平面 SBC 所以 AF 丄 BC.又因?yàn)?AB 丄 BC, AFnAB=A AF?平面 SAB AB?平面 SAB 所以 BC 丄平面 SAB.因?yàn)?SA?平面 SAB 所以 BC 丄 SA.求證：(1)MN/平面 PAD.(2)平面 PM

13、CL 平面 PDC.【證明】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,2.如圖所示,已知M N 分別為 AB, PC 的中點(diǎn),15設(shè) PA=AD=a AB=b TT(1)易知為平面 PAD 的一個(gè)法向量，川J=(b , 0, 0).又因?yàn)閂=!/22T所以 m；w=o,又因?yàn)?MN?平面 PAD所以 MN/平面 PAD.(2)由(1)知 P(0, 0,T所以=(b， a，-a)o)a)，C(b，a，0)，M J D(0，b一 ciPM=(2，=(0, a，a，0)，-a)，設(shè)平面 PMC 勺一個(gè)法向量為 n1=(x1，yi，zi)，nrbx1+ ay1- azr= 0,b_ azy- 0fUh所以p2a,

14、xi = yzvL 兒=幻令 Z1=b，則 ni=(2a , -b , b),設(shè)平面 PDQ 的一個(gè)法向量為 n2=(x2, y2, Z2),16bx2+ ay2一az2= 0,ay2- az2= 0,n2 PD=()(x2= 0f解得.令 Z2=1,貝Un2=(0, 1, 1),由于 ni n2=0-b+b=0 ,所以 ni丄 n2,所以平面 PM 丄平面 PDC.15.如圖，在四棱錐 A-EFCB 中，AEF 為等邊三角形,EF=2a,/ EBC=/ FCB=60 , O 為 EF 的中點(diǎn).(1) 求證：AOL BE.(2) 求二面角 F-AE-B 的余弦值.【解題導(dǎo)引】(1)要證 AO

15、丄 EB,只需證明 AC 丄平面 EBCF.V(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角余弦值【解析】(1)因?yàn)?AEF 是等邊三角形，O 為 EF 的中點(diǎn)，所以 AOL EF.7又因?yàn)槠矫?AEFL平面 EFCB 交線 EF, AO？平面EBCF 所以 AOL BE.取 BC 的中點(diǎn) D,連接 OD 如圖分別以 OE OD則 A(0 , 0, 、Ja) , E(a , 0 , 0), B(2 ,2、丄、a ,AEn則 v平面 AEFL 平面 EFCB EF/ BC, BC=4,oAEF,所以 AOL 平面 EBCF因?yàn)?BE?平面OA 為 x , y , z 軸建立空間直角坐標(biāo)系,0),即

16、17-1 =(2 ,2Y- a,- ”a),因?yàn)槎娼?F-AE-B 為鈍二面角，所以余弦值為-門.16.如圖(1)，在等腰梯形 CDEF 中，CB DA 是梯形的高，AE=BF=2 AB= ，現(xiàn)將梯形沿CB DA 折起，使 EF/ AB 且 EF=2AB 得一簡單組合體 ABCDEF 如圖 所示,已知 M N 分別為 AF, BD 的中點(diǎn).(1)求證：MIN/平面 BCF.7若直線 DE 與平面 ABFE 所成角的正切值為 ,則求平面 CDEF 與平面 ADE 所成的銳二面 角大小.團(tuán)設(shè)平面 ABE 的法向量 ni=(x , y, z)，則平面 AEF 的法向量 n2=(0 , 1, 0).

17、所以 cosni,0, 0).18【解析】連接 ACc_D因?yàn)樗倪呅?ABCD 是矩形，N 為 BD 中點(diǎn),所以 N 為 AC 中點(diǎn).在AACF 中，M 為 AF 中點(diǎn),故 MIN/ CF.因?yàn)?CF?平面 BCF, MN?平面 BCF,所以 MIN/平面 BCF.(2)依題意知 DAI AB DA AE 且 ABAAE=A所以 AD 丄平面 ABFE所以 DE 在平面 ABFE 上的射影是 AE.所以/ DEA 就是 DE 與平面 ABFE 所成的角DA加、2故在 Rt DAE 中：tan / DEA= =三, 所以 AD=J , DE= 設(shè) P EF 且 APIEF,分別以rv*則 A(0, 0, 0) , D(0, 0J ,E(- J J 0) , F(