放縮法在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用鄭州第四十四中學(xué)

1、恰當(dāng)采用放縮法巧證導(dǎo)數(shù)不等式鄭州市第四十四中學(xué)蘇明亮放縮法是高中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)方法，尤其在證明不等式中經(jīng)常用到.由于近幾年數(shù)列在高考中的難度要求降低，放縮法的應(yīng)用重點(diǎn)也逐漸從證明數(shù)列不等式轉(zhuǎn)移到導(dǎo)數(shù)壓軸 題中，尤其是在導(dǎo)數(shù)不等式證明中更是大放異彩下面試舉幾例，以供大家參考.、利用基本不等式放縮，化曲為直例1( 2012年高考遼寧卷理科第 21題(n)設(shè)f(x)ln(x 1) , x 11.證明：當(dāng)0 x 2 時(shí)，f(x)x9x6證明：由基本不等式,x 0 時(shí)，2 (x 1) 1 xf (x)ln(x1)記 h(x)ln(x1)則 h'(x)11xln(x 1)-22時(shí),所以ln(

2、x 1)9xx 654(x 6)2x(x2 15x 36)2(x 1)(x 6)2h'(x)0,所以h(x)在(0, 2)內(nèi)是減函數(shù).故又由h(x)h(0)0 ,，即 ln(x 1)x 6故當(dāng)09xx 2 時(shí)，f (x)x 6評(píng)注：本題第(n )問若直接構(gòu)造函數(shù) h(x)，對(duì)h(x)進(jìn)行求導(dǎo)，由于h'(x)中既有根式又有分式，因此h'(x)的零點(diǎn)及相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)很難確定，而通過對(duì)進(jìn)行放縮處理，使問題得到解決上面的解法中，難點(diǎn)在用基本不等式證明'、F7 x 1，亦即是將拋物線弧 y. n 放大化簡為直線段 y 1，而該線段正是2 2拋物線弧y,n在左端點(diǎn)(0,1

3、)處的切線，這種“化曲為直”的方法是我們用放縮法處理函數(shù)問題的常用方法二、利用單調(diào)性放縮，化動(dòng)為靜例2(2013年新課標(biāo)全國n卷第 21題(n)已知函數(shù)f(x) ex ln(x m).當(dāng)m 2時(shí)，證明f (x)0.證法1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?m,則 f'(x)(x m)ex 1設(shè) g (x) (x m)ex1因?yàn)間'(x)(xm 1)ex所以g(x)在(m,)上單調(diào)遞增又 g( m) 10，g(2 m) 2e2故 g (x)0在(m,)上有唯一實(shí)根x0.當(dāng) x ( m,x°)時(shí)，g(x) 0，f'(x)0 ；當(dāng) x (X。)時(shí)，g(x)0，f'(x)

4、0，從而當(dāng)x x0時(shí),f (x)取得最小值為f(x0).由方程g(x)0的根為x0，得e*，In(x°m) x°，x°1故 f(X。)x°(X°X0 mm)(當(dāng)且僅當(dāng)x° m1取等號(hào))，又因?yàn)閙2時(shí),所以 f (x0)0 .取等號(hào)的f(x。)0條件是x0 m及m 2同時(shí)成立，這是不可能x0m的，所以f(xj故 f(x)0.證法2：因yIn x在定義域上是增函數(shù),m 2，所以 ln(x 2) In(x m)，故只需證明當(dāng)m2時(shí)，f(x) 0即可.當(dāng)m 2時(shí),f'(x)ex2,)上單調(diào)遞增又 f '( 1)0, f 

5、9;(0)0，故 f '(x)2,)上有唯一實(shí)根x0，且x0 ( 1,0).當(dāng) x ( 2,x。)時(shí),f '(x)時(shí)，f '(X)0，從而當(dāng) x x0 時(shí)，f (x)取得最小值.由 f '(x)0 得 ex2 ， |n(x02)x0，故 f(x)f(x0)(x0 1)2X02X02綜上，當(dāng)m 2時(shí)，f(x) 0.評(píng)注：借助導(dǎo)數(shù)取值研究函數(shù)單調(diào)性是證明初等不等式的重要方法證法1直接求導(dǎo)證明，由于其含有參數(shù) m，因而在判斷g(x)的零點(diǎn)和求f(x)取得最小值f(x0)顯得較為麻煩；證法2利用對(duì)數(shù)函數(shù) y In x的單調(diào)性化動(dòng)為靜，證法顯得簡單明了.此外，本題也是處理

6、函數(shù)隱零點(diǎn)問題的一個(gè)經(jīng)典范例.三、活用函數(shù)不等式放縮，化繁為簡兩個(gè)常用的函數(shù)不等式：ex x 1 (x R)Inx x 1(x0)兩個(gè)常用的函數(shù)不等式源于高中教材(人教出現(xiàn)在高考試題中，筆者曾就此問題寫過專題文章A版選修2-2，巳2)的一組習(xí)題，曾多次1例3 ( 2014年高考新課標(biāo)I卷理科第21題)設(shè)函數(shù)f (x)aex In xbex 1，曲線y f (x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y e(x 1) 2.(I)求 a,b(II)證明：f (x)1.分析：本題以曲線的切線為背景，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值以及不等式的證明.第(I)問較容易，一般學(xué)生都能

7、做出來，只需求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，易得a 1,b2.第(II)問難度較大，主要考查考生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式的能力及運(yùn)算求解能力，是近年來高考?jí)狠S題的熱點(diǎn)問題本題第(II)問證法較多，下面筆者利用函數(shù)不等式來進(jìn)行證明證明：由 ex x 1，得 ex 1 x，即 ex ex,1 x故 e(當(dāng)且僅當(dāng)x 1時(shí)取等號(hào))ex又由ex 1 x，得一 e1 x，故e exex，兩邊取自然對(duì)數(shù)得In (ex) 1 -xex11即lnx0 (當(dāng)且僅當(dāng)x 時(shí)取等號(hào))exe2由于、式等號(hào)不能同時(shí)成立， 兩式相加得Inxe x，兩邊同乘以ex，得f (x)1.ex評(píng)注：本題證明中利用函數(shù)不等式ex x 1，并進(jìn)行適

8、當(dāng)變形，結(jié)合不等式性質(zhì)進(jìn)行證明，從而避免了繁雜的計(jì)算，過程簡潔自然，易于理解2x 1例4( 2016年高考山東卷理科第 20題(n)已知f(x) a x In x ,a R .x當(dāng)a 1時(shí)，證明f (x)f (x)3對(duì)于任意的x 1,2成立.證明：f (x)的定義域?yàn)?0,),f'(x) a2x 11 2f(x) f'(x)xIn x2(1_ -2xx x3 12xIn x2_31 , xx xx由Inx x1得f (x)f'(x)x.3In x x即只需證312 3x1,2xxx 2a22(ax22)( x1)533,a 1 時(shí),xxxx2)x1,2123 1221_

9、 2x 1,2.xxx xx ,3x2 2x 64x令 h(x) 3 丄彳,x 1,2，則 h'(x)x x x設(shè)(x)3x2 2x 6，則(x)在x 1,2單調(diào)遞減,因?yàn)?1)1, (2)10,所以在1,2上存在 xo使得 x (1, xo)時(shí)，(x) 0,x (xo,2)時(shí)，(x) 0 ,所以函數(shù)h(x)在(1,xo)上單調(diào)遞增，在(心2)上單調(diào)遞減,由于h(1)2,h(2)3-,因此當(dāng)x21,2時(shí)，h(x)#h(2)32，當(dāng)且僅當(dāng)x 2時(shí)取得等號(hào),所以f(x)f'(x)h(2) 3 ,即 f(x)f'(x)3對(duì)于任意的x21,2恒成立.評(píng)注：要證明f(x) f&#

10、39;(x),312x In x23x x x13 .，比較麻煩的是式子中有2Inx ,如果能讓它消失，問題勢必會(huì)簡單些，所以自然就想到了利用比較熟悉的函數(shù)不等式 Inx x 1進(jìn)行放縮，方法自然，水到渠成.上述兩個(gè)常用函數(shù)不等式的變式:e % 1 x(x R)x e1-(x1)x111In1(x0)xxIn xx1(x0)x四、巧用已證不等式放縮，借水行舟例5 （2016年高考新課標(biāo)川卷文科 21題）設(shè)函數(shù)f（x） In x x 1.（I ）證明當(dāng)x(1,)時(shí),1In x(II )設(shè) c 1 ,證明當(dāng)x(0,1)時(shí)，1(c1)x證明：（I）易證當(dāng)x1,時(shí),In x1 ,"丄xx 1

11、1，即 1 D x.In x（II ）由題設(shè)c1,設(shè) g(x)1xc ,則 g (x)cx I n x ,令，g x.c 1 In解得Inc.當(dāng)x xo時(shí)，gg x單調(diào)遞增;xo時(shí),單調(diào)遞減由（I ）知,1 In cX。1，又 g(0)g(1)故當(dāng)0 x1時(shí),g x 0所以當(dāng)x0,1 時(shí)，1 c 1 x評(píng)注：本題第（II）問利用第（I）中已證明的不等式1x 1In xx及x0.c 1In血巧妙I(lǐng)n cg（1）0證明出地求出0x01進(jìn)而利用g x在0 x 1單調(diào)性及端點(diǎn)值 g （0）g x 0 利用已證不等式（或結(jié)論）服務(wù)后面問題的情況，在高考和模考試題中屢屢出現(xiàn)，這種解題中的“服務(wù)意識(shí)”不僅可

12、以避開復(fù)雜的計(jì)算， 往往也為解題思路指明了方向.下 面再看一例:例6 （2013年高考遼寧卷理科 21題）已知函數(shù)3f x 1 x e , g x(I )證明：1 x f xxax 1 2xcosx.當(dāng) x 0,1 時(shí), 21 ；(ii )確定a的所有可能取值，使得f x g x 恒成立證明：(I )證明：要證x 0,1時(shí)，1 x e 2x 1 x,只需證明1 x e x (1 x)ex .記 h(x)1 x e x (1 x)ex，則 h'(x)x(ex e x).當(dāng) x(0,1)時(shí)，h'(x)0 ,因此h(x)在0,1上是增函數(shù)，故h(x) h(0)=0 所以f0,1 要證

13、x0,1 時(shí),2x e1T_,只需證明x綜上,1r_x(II )解:2x e(ax3x122xcosx)ax3x1 2xcosx2x(1 a設(shè) G(x)2x22x c2cos x,22cos x) 則 G (x)x 2sin x .記 H (x)2sin則 H'(x)1 2cosx 當(dāng) x(0,1)時(shí),H (x) 0,于是 G (x)在 0,1上是減函數(shù),從而當(dāng)x (0,1)時(shí)，G'(x)G'(0)0 ,故G(x)在0,1上是減函數(shù).于是 G(x) G(0)2，從而1 G(x) a 3 .所以，當(dāng)a3 時(shí)，f xx在0,1上恒成立.F面證明，當(dāng)a 3 時(shí)，fg x 在0

14、,1上不恒成立.xax1 x1x(；1 x32x cos x23x2xcosx22xa 2cos x),2記 I(x)2x一 2cos x1a G(x)，則I(x)市G(x)，當(dāng) x (0,1)時(shí)，I (x)0,故 I (x)在0,1上是減函數(shù)，于是I(x)在0,1上的值域a 12cos1,a 3.因?yàn)楫?dāng)a 3時(shí)，a3 0,所以存在X。 (0,1)，使得1(冷)0，此時(shí)fx g x0 ,即 f x g x 在 0,1上不恒成立.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，3.評(píng)注：本題第二問是一道典型的恒成立求參問題，這類題目很容易讓考生想到用分離參數(shù)的方法，但分離參數(shù)后利用高中所學(xué)知識(shí)無法解決(筆者研究發(fā)現(xiàn)不能解決的原因是分離參數(shù)后，出現(xiàn)了 “-型”的式子，解決這類問題的有效方法就是高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則)；0若直接構(gòu)造函數(shù)，里面涉及到指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及高次函數(shù)，處理起來難度很大本題解法中兩次巧妙利用第一問的結(jié)論，通過分類討論和假設(shè)反正，使問題得到解決.上述幾道導(dǎo)數(shù)不等式都不是考查某個(gè)單一的初等函數(shù)，而是綜合考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)(尤其與“ ex ”和“In X”有關(guān))、三角函數(shù)以及帶根號(hào)