2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)Ⅰ）數(shù)學(xué)理

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)）數(shù)學(xué)理一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.(5分)已知集合A=x|x2-2x0，則()A.AB=B.AB=RC.BAD.AB解析：集合A=x|x2-2x0=x|x2或x0，AB=x|2x或-x0，AB=R.答案： B.2.(5分)若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i|，則z的虛部為()A.-4B.C.4D.解析：復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i|，z=+i，故z的虛部等于，答案：D.3.(5分)為了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已經(jīng)了

2、解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大.在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A.簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣D.系統(tǒng)抽樣解析：我們常用的抽樣方法有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，而事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大.了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，按學(xué)段分層抽樣，這種方式具有代表性，比較合理.答案：C.4.(5分)已知雙曲線C：的離心率為，則C的漸近線方程為()A.B.C.D.y=±x解析：已知雙曲線C：的離心率為，故有=，=，解得 =.故C的漸近線

3、方程為 ，答案：C.5.(5分)執(zhí)行程序框圖，如果輸入的t-1，3，則輸出的s屬于()A.-3，4B.-5，2C.-4，3D.-2，5解析：由判斷框中的條件為t1，可得：函數(shù)分為兩段，即t1與t1，又由滿足條件時(shí)函數(shù)的解析式為：s=3t；不滿足條件時(shí)，即t1時(shí)，函數(shù)的解析式為：s=4t-t2故分段函數(shù)的解析式為：s=，如果輸入的t-1，3，畫出此分段函數(shù)在t-1，3時(shí)的圖象，則輸出的s屬于-3，4.答案：A.6.(5分)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為()A.B.C.

4、D.解析：設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M，則圓心M為正方體上底面正方形的中心.如圖.設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于(R-2)cm，而圓M的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)，得R2=(R-2)2+42，解出R=5，根據(jù)球的體積公式，該球的體積V=.答案：A.7.(5分)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，則m=()A.3B.4C.5D.6解析：am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm=3，所以公差d=am+1-am=1，Sm=0，得a1=-2，所以am=-2+(m-1)·1=2，解得m=5，答案：C.8.(5分)某幾何體的

5、三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16解析：三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體與半個(gè)圓柱的組合體，如圖，其中長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別是：4，2，2，半個(gè)圓柱的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4.長(zhǎng)方體的體積=4×2×2=16，半個(gè)圓柱的體積=×22××4=8所以這個(gè)幾何體的體積是16+8；答案：A.9.(5分)設(shè)m為正整數(shù)，(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m=()A.5B.6C.7D.8解析：m為正整數(shù)，由(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式

6、系數(shù)的最大值為a，以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得a=，同理，由(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，可得 b=.再由13a=7b，可得13=7，即 13×=7×，即 13=7×，即 13(m+1)=7(2m+1)，解得m=6，答案：B.10.(5分)已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-1)，則E的方程為()A.B.C.D.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程得，相減得，.x1+x2=2，y1+y2=-2，=.，化為a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9.橢圓E的方程為

7、.答案：D.11.(5分)已知函數(shù)f(x)=，若|f(x)|ax，則a的取值范圍是()A.(-，0B.(-，1C.-2，1D.-2，0解析：由題意可作出函數(shù)y=|f(x)|的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象，由圖象可知：函數(shù)y=ax的圖象為過(guò)原點(diǎn)的直線，當(dāng)直線介于l和x軸之間符合題意，直線l為曲線的切線，且此時(shí)函數(shù)y=|f(x)|在第二象限的部分解析式為y=x2-2x，求其導(dǎo)數(shù)可得y=2x-2，因?yàn)閤0，故y-2，故直線l的斜率為-2，故只需直線y=ax的斜率a介于-2與0之間即可，即a-2，0答案：D12.(5分)設(shè)AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an，bn，cn，AnBnCn的面積為Sn，n=1，2，

8、3若b1c1，b1+c1=2a1，an+1=an，則()A.Sn為遞減數(shù)列B.Sn為遞增數(shù)列C.S2n-1為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列D.S2n-1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列解析：因?yàn)閍n+1=an，所以an=a1，所以bn+1+cn+1=an+=a1+，所以bn+1+cn+1-2a1=，又b1+c1=2a1，所以bn+cn=2a1，于是，在AnBnCn中，邊長(zhǎng)BnCn=a1為定值，另兩邊AnCn、AnBn的長(zhǎng)度之和bn+cn=2a1為定值，因?yàn)閎n+1-cn+1=，所以bn-cn=，當(dāng)n+時(shí)，有bn-cn0，即bncn，于是AnBnCn的邊BnCn的高h(yuǎn)n隨著n的增大而增大，所以其面積=為

9、遞增數(shù)列，答案：B.二.填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.(5分)已知兩個(gè)單位向量，的夾角為60°，=t+(1-t).若·=0，則t=.解析：，=0，tcos60°+1-t=0，1=0，解得t=2.答案：2.14.(5分)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=an+，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an= .解析：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=，解得a1=1當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=()-()=，整理可得，即=-2，故數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，故an=1×(-2)n-1=(-2)n-1答案：(-2)n-115.(5分)設(shè)當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f(x)=si

10、nx-2cosx取得最大值，則cos= .解析：f(x)=sinx-2cosx=(sinx-cosx)=sin(x-)(其中cos=，sin=)，x=時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，sin(-)=1，即sin-2cos=，又sin2+cos2=1，聯(lián)立解得cos=-.答案：-16.(5分)若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，則f(x)的最大值為 .解析：函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，f(-1)=f(-3)=0且f(1)=f(-5)=0，即1-(-3)2(-3)2+a·(-3)+b=0且1-(-5)2(-5)2

11、+a·(-5)+b=0，解之得，因此，f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=-x4-8x3-14x2+8x+15，求導(dǎo)數(shù)，得f'(x)=-4x3-24x2-28x+8，令f'(x)=0，得x1=-2-，x2=-2，x3=-2+，當(dāng)x(-，-2-)時(shí)，f'(x)0；當(dāng)x(-2-，-2)時(shí)，f'(x)0； 當(dāng)x(-2，-2+)時(shí)，f'(x)0； 當(dāng)x(-2+，+)時(shí)，f'(x)0，f(x)在區(qū)間(-，-2-)、(-2，-2+)上是增函數(shù)，在區(qū)間(-2-，-2)、(-2+，+)上是減函數(shù)，又f(-2-)=f(-2+)=16，f(x)的最

12、大值為16.答案：16三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.(12分)如圖，在ABC中，ABC=90°，BC=1，P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，BPC=90°()若，求PA；()若APB=150°，求tanPBA.解析：(I)在RtPBC，利用邊角關(guān)系即可得到PBC=60°，得到PBA=30°.在PBA中，利用余弦定理即可求得PA.(II)設(shè)PBA=，在RtPBC中，可得PB=sin.在PBA中，由正弦定理得，即，化簡(jiǎn)即可求出.答案：(I)在RtPBC中，=，PBC=60°，PBA=30°.在PBA中，由余弦定理得P

13、A2=PB2+AB2-2PB·ABcos30°=.PA=.(II)設(shè)PBA=，在RtPBC中，PB=BCcos(90°-)=sin.在PBA中，由正弦定理得，即，化為.18.(12分)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60°.()證明ABA1C；()若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.解析：()取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，由已知可證OA1AB，AB平面OA1C，進(jìn)而可得ABA1C；()易證OA，OA1，OC兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，

14、|為單位長(zhǎng)，建立坐標(biāo)系，可得，的坐標(biāo)，設(shè)=(x，y，z)為平面BB1C1C的法向量，則，可解得=(，1，-1)，可求cos，即為所求正弦值.答案：()取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)CAB，由于AB=AA1，BAA1=60°，所以AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1AB，又因?yàn)镺COA1=O，所以AB平面OA1C，又A1C平面OA1C，故ABA1C.()由()知OCAB，OA1AB，又平面ABC平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A(

15、1，0，0)，A1(0，0)，C(0，0，)，B(-1，0，0)，則=(1，0，)，=(-1，0)，=(0，-，)，設(shè)=(x，y，z)為平面BB1C1C的法向量，則，即，可取y=1，可得=(，1，-1)，故cos，=，故直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為：.19.(12分)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn).假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%

16、，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.()求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；()已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解析：()設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件A，依題意有A=(A1B1)(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，由概率得加法公式和條件概率，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得；()X可能的取值為400，500，800，分別

17、求其概率，可得分布列，進(jìn)而可得期望值.答案：()設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件A，依題意有A=(A1B1)(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=()X可能的取值為400，500，800，并且P(X=800)=，P(X=500)=，P(X=400)=1-=，故X的分布列如下：故EX=400×+500×+800&

18、#215;=506.2520.(12分)已知圓M：(x+1)2+y2=1，圓N：(x-1)2+y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.()求C的方程；()l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.解析：(I)設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，由已知?jiǎng)訄AP與圓M外切并與圓N內(nèi)切，可得|PM|+|PN|=R+1+(3-R)=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，求出即可；(II)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由于|PM|-|PN|=2R-24-2=2，所以R2，當(dāng)且僅當(dāng)P的圓心為(2，0)R=

19、2時(shí)，其半徑最大，其方程為(x-2)2+y2=4.分l的傾斜角為90°，此時(shí)l與y軸重合，可得|AB|.若l的傾斜角不為90°，由于M的半徑1R，可知l與x軸不平行，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，根據(jù)，可得Q(-4，0)，所以可設(shè)l：y=k(x+4)，與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可得出.答案：(I)由圓M：(x+1)2+y2=1，可知圓心M(-1，0)；圓N：(x-1)2+y2=9，圓心N(1，0)，半徑3.設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，|PM|+|PN|=R+1+(3-R)=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)

20、，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，a=2，c=1，b2=a2-c2=3.曲線C的方程為.(去掉點(diǎn)(-2，0)(II)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由于|PM|-|PN|=2R-24-2=2，所以R2，當(dāng)且僅當(dāng)P的圓心為(2，0)R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為(x-2)2+y2=4.l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|=.若l的傾斜角不為90°，由于M的半徑1R，可知l與x軸不平行，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，可得Q(-4，0)，所以可設(shè)l：y=k(x+4)，由l于M相切可得：，解得.當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，得到7x2+8x-8=0.，.|AB|=由于對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，也有|AB|=.綜上

21、可知：|AB|=或.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.()求a，b，c，d的值；()若x-2時(shí)，f(x)kg(x)，求k的取值范圍.解析：(I)對(duì)f(x)，g(x)進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線及曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，從而解出a，b，c，d的值；(II)由(I)得出f(x)，g(x)的解析式，再求出F(x)及它的導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)k的討論，判斷出F(x)的最值，從而判斷出f(x)kg(x)恒成立，從而求出k的范圍.答案：(I)由題

22、意知f(0)=2，g(0)=2，f(0)=4，g(0)=4，而f(x)=2x+a，g(x)=ex(cx+d+c)，故b=2，d=2，a=4，d+c=4，從而a=4，b=2，c=2，d=2；(II)由(I)知，f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1)設(shè)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，則F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1)，由題設(shè)得F(0)0，即k1，令F(x)=0，得x1=-lnk，x2=-2，(i)若1ke2，則-2x10，從而當(dāng)x(-2，x1)時(shí)，F(xiàn)(x)0，當(dāng)x(x1，+)時(shí)，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(-2，x1

23、)上減，在(x1，+)上是增，故F(x)在-2，+)上的最小值為F(x1)，而F(x1)=-x1(x1+2)0，x-2時(shí)F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立，(ii)若k=e2，則F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，從而當(dāng)x(-2，+)時(shí)，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(-2，+)上是增，而f(-2)=0，故當(dāng)x-2時(shí)，F(xiàn)(x)0，即f(x)kg(x)恒成立，(iii)若ke2時(shí)，x1-2=x2，當(dāng)x-2時(shí)，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)F(0)，故f(x)kg(x)恒成立，綜上，k的取值范圍是1，+).四、請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一道作答，并用2B鉛筆將答題卡上所選的題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)右側(cè)方

24、框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；多涂、多答，按所涂的首題進(jìn)行評(píng)分，不涂，按本選考題的首題進(jìn)行評(píng)分.22.(10分)(選修4-1：幾何證明選講)如圖，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于D.()證明：DB=DC；()設(shè)圓的半徑為1，BC=，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求BCF外接圓的半徑.解析：(I)連接DE交BC于點(diǎn)G，由弦切角定理可得ABE=BCE，由已知角平分線可得ABE=CBE，于是得到CBE=BCE，BE=CE.由已知DBBE，可知DE為O的直徑，RtDBERtDCE，利用三角形全等的性質(zhì)即可得到DC=DB.(II)由(I)可知：DG是BC

25、的垂直平分線，即可得到BG=.設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連接BO，可得BOG=60°.從而ABE=BCE=CBE=30°.得到CFBF.進(jìn)而得到RtBCF的外接圓的半徑=.答案：(I)連接DE交BC于點(diǎn)G.由弦切角定理可得ABE=BCE，而ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE.又DBBE，DE為O的直徑，DCE=90°.DBEDCE，DC=DB.(II)由(I)可知：CDE=BDE，DB=DC.故DG是BC的垂直平分線，BG=.設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連接BO，則BOG=60°.從而ABE=BCE=CBE=30°.CFBF.RtBCF的外接圓的半徑=.23.(選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知曲線C