基于MATLAB的光纖光柵耦合模理論及其譜線特性

1、 研究生課程論文封面 課程名稱 光 電 子 學 論文題目基于MATLAB的光纖光柵耦 合模理論及其譜線特性 授課學期 2013 學年至 2014 學年 第 1 學期 學 院 物理科學與技術(shù)學院 專 業(yè) 光 學 學 號 2012010887 姓 名 王 璐 瑋 任課教師 秦 子 雄 交稿日期 2014年01月01日 成 績 閱讀教師簽名 日 期 廣西師范大學研究生學院制基于MATLAB的光纖光柵耦合模理論及其譜線特性0.前言光纖光柵是近二十幾年來迅速發(fā)展的光纖器件，其應用是隨著寫入技術(shù)的不斷改進而發(fā)展起來的，逐漸在實際中得到應用。1978年，加拿大通信研究中心的Hill等發(fā)現(xiàn)纖芯參鍺的光纖具有光

2、敏性，并利用駐波干涉法制成了世界上第一根光纖光柵。光纖的光敏性主要是指光線的折射率在收到某些波長的激光照射后，會發(fā)生永久改變的特性。通常情況需要紫外光照射，折射率會向著增大的方向改變。具有光敏性的光纖主要是纖芯參鍺的光纖，受到紫外光照射后，纖芯折射率會增加，而包層折射率不變。在光纖光柵的發(fā)展過程中，參鍺光纖的載氫技術(shù)具有重要意義。參鍺光纖本身具有光敏性，單當要求折射率改變較大時，相應就要提高纖芯的參鍺濃度，這會影響光纖本身的特性。1993年，貝爾實驗室的Lemaire等用光纖載氫技術(shù)增強了光纖的光敏性，這種發(fā)發(fā)適用于任何參鍺的光纖。通過光纖的載氫能夠?qū)⒃诓辉黾訁㈡N濃度情況下，使光纖的光敏性大大

3、提高。在平面介質(zhì)光波導中，布拉格光柵的應用比較早，主要應用于半導體激光器中，而后出現(xiàn)了光纖布拉格光柵，隨著光纖光柵寫入技術(shù)的成熟，光纖光柵在光通信和傳感中得到廣泛應用，特別是在光通信領域。光纖布拉格光柵和長周期光纖光柵的特性和應用有許多不同之處，也有類似的地方，都可用于通信和傳感等領域。光纖布拉格光柵的周期一般在微米以下，根據(jù)耦合模理論，這樣的周期表現(xiàn)為使向前傳播的纖芯模與向后傳播的纖芯模之間發(fā)生耦合，結(jié)果在輸出端表現(xiàn)為很窄的帶阻濾波特性。作為一種反射型的光纖無源器件，光纖布拉格光柵對溫度，應變都有相當程度的敏感特性，其在光纖激光器，波分復用，可調(diào)諧光纖濾波器，高速光纖通信系統(tǒng)的色散補償及光纖

4、傳感器等反面有許多重要應用。對于長周期光纖光柵，其光柵的周期較長，根據(jù)光波導的耦合模理論，表現(xiàn)為向前傳播的纖芯模和同向傳播的包層模的耦合。特定長度和耦合系數(shù)的長周期光纖光柵可以將纖芯模耦合到包層中而損耗掉。一般來說，與光纖布拉格光纖相比，長周期光纖光柵的光譜帶寬較大，其最典型的應用時參鉺光纖放大器增益平坦，帶阻濾波器和傳感。1.耦合模理論耦合模方程是從麥克斯韋方程經(jīng)過一系列推導得到的，其基本思想是：利用可求解光波導的解，研究受到微擾的光波導，或者相互有影響的光波導，其理論基礎在于規(guī)則光波導的具有正交性，即：利用麥克斯韋方程組，經(jīng)過變換可得：對于電場和磁場矢量，有：，在微擾光波導中，橫向電、磁矢

5、量可以看作和的線性疊加，即：，則： 其中，為模序數(shù)為的本征模的傳播常數(shù)。利用模的正交關系，可以得到：耦合系數(shù)： 在無耦合情況下有：設，根據(jù)以上兩式，可以得出微擾光波導中的電場、磁場分布：其中，和分別為沿z軸正向傳播的模式和反向傳播的模式，也就是說，受到微擾后的波導中的?？梢钥醋霾煌Ｐ虻那靶心／B加、后行模疊加，或者說是相互疊加；和分別為相應分量的展開系數(shù)，均是z的函數(shù)，可表示為和。于是得到普遍的耦合模方程為：其中，和為模式和的傳播常數(shù)；和分別是模式和之間的橫向和縱向分量的耦合系數(shù)。和分別為： 其中，為光波的角頻率；和分別為模式和的電場的橫向矢量分量；為光波導中由于擾動引起的介電常量的改變量，n

6、為未受擾動時的折射率，為折射率改變量。位于光纖光柵來說，比小得多（大約為一個數(shù)量級），所以在通常情況下可以忽略。2. 光纖布拉格光柵 光纖布拉格光柵使沿z軸傳播的纖芯模和沿-z方向傳播的纖芯模之間產(chǎn)生耦合，屬于兩個反向模之間的耦合，取沿z軸傳播的模的振幅為A，沿-z方向傳播的模的振幅為B，只考慮這兩個模之間的耦合，則由上面的方程可得： 從耦合系數(shù)方程可知，。前行模和后行模的自耦合系數(shù)相等，即，故可統(tǒng)一記為。對紫外激光寫入的均勻正弦布拉格光柵，折射率分布為：其中，為光柵的周期；為折射率調(diào)制的緩變包絡，通常稱為切趾或切趾函數(shù)；相當于坐標z處折射率改變量的幅值。通常情況下，折射率改變量可寫為：代入橫

7、向耦合系數(shù)中，并改寫為：其中，和均是z的慢變函數(shù)，當兩個下標相同時，為自耦合系數(shù)，不同時為互耦合系數(shù)。但對于光纖布拉格光柵，只有纖芯模之間的耦合，對單模光纖，。利用關系：將的表達式中余弦表示為指數(shù)形式，并代入耦合模方程，則會出現(xiàn)指數(shù)項。在耦合模方程中，只有該項的指數(shù)部分為零時，才會使兩個模之間發(fā)生較強的耦合，其前面的系數(shù)才會對方程的解有大的影響，顯然，括號中同時取+時，該指數(shù)項不可能為零，因此，只能取-。從而得到如下簡化后的耦合模方程：其中，。在上述方程中，起主導作用的是等號右邊的第二項，為了簡便，可以忽略含有的項。從而得到如下的耦合模方程：求解方程組后可以得到A和B。設光柵區(qū)在，上述方程組可

8、化為兩個獨立的二階常微分方程，取邊界條件，z=0時，A=A(0);z=L時，B=B(L)。當時，可以得到方程的解為：其中，。對一般情況，可取A（0)=1,B(L)=0,則得到光纖布拉格光柵的反射率和透射率為：在相位匹配條件下，對應了最大反射率和最大透射率，即：，若設光柵的輸入端功率為，則諧振時光功率分別為,下圖給出了相位匹配條件下，即對諧振波長的光功率轉(zhuǎn)換。程序編碼：kL=linspace(0,5);figureP_B=(tanh(kL).2;plot(kL,P_B,'r')；hold on P_A=(cosh(kL).-2;plot(kL,P_A,'b');g

9、rid程序運行如下：FIG1.光纖布拉格光柵的功率轉(zhuǎn)換光纖布拉格光柵中耦合模的兩個模都是纖芯模，但是反向傳播，相位匹配條件為，即：利用傳播常數(shù)和有效折射率的關系，可以將上式改寫為：利用上述光纖布拉格光柵的反射率和透射率公式，可以畫出其反射譜和透射譜，程序編碼如下：lambda=linspace(1540,1560,5000);k=(1.2*pi./lambda)*10(-3);s=sqrt(k.2-delta.2);delta=3*pi*(lambda-1550)./(15502);y1=(sinh(2e6*s).2)./(cosh(2e6*s).2-(delta.2./k.2);subplo

10、t(2,1,1);plot(z,y1,'r');xlabel('波長(nm)'),ylabel('反射率');title('FBG反射譜');grid;y2=1./(cosh(2e6*s).2+(delta.2./s.2).*sinh(2e6*s).2);subplot(2,1,2);plot(z,y2,'b');xlabel('波長(nm)'),ylabel('透射率');title('FBG透射譜');grid;程序運行如下：FIG2.光纖布拉格光柵反射譜和透射譜

11、3. 相移光纖布拉格光柵相移光纖布拉格光柵是在均勻的折射率余弦調(diào)制光纖中，在某個或某些位置上出現(xiàn)相位偏移，結(jié)果會在反射譜中出現(xiàn)一個較窄的缺口，可以有多個相移，相應會出現(xiàn)多個缺口。對相移光纖布拉格光柵，折射率變化時分段連續(xù)的，因此，不能再用一個函數(shù)來表示，需要用分段函數(shù)來表示。折射率調(diào)制可以寫成：其中，為第i個相移點的相移量。相移光纖布拉格光柵的耦合模方程可以通過傳輸矩陣來表示。傳輸矩陣是由耦合模方程得到的，可以用于均勻和非均勻光纖光柵。類似的，利用上述方法，并考慮到：可以得到耦合模方程：經(jīng)過復雜的計算，可以得到耦合模方程的解，并寫成矩陣的形式為：其中，。當時，令，得：當時，令，可以得到：矩陣稱

12、為傳輸矩陣。如果光線中只有一段均勻光纖布拉格光柵，通常有，所以：，則反射率和透射率分別為：，利用上述相移光纖布拉格光柵的反射率和透射率公式，可以畫出其反射譜和透射譜，程序編碼如下：function PhaseFiber_by_TransmissionMatrix_minen=500;lamda=1e-9*linspace(1545,1555,n);R1,R2,R3,R4=Transmission_FBG;subplot(2,2,1);plot(lamda*1e9,R1,'r');title('fai=0');gridaxis(1545,1555,0,1);xla

13、bel('波長/nm');ylabel('反射率');subplot(2,2,2);plot(lamda*1e9,R2,'c');title('fai=pi/2');gridaxis(1545,1555,0,1);xlabel('波長/nm');ylabel('反射率');subplot(2,2,3);plot(lamda*1e9,R3,'g');title('fai=pi');gridaxis(1545,1555,0,1);xlabel('波長/nm'

14、;);ylabel('反射率');subplot(2,2,4);plot(lamda*1e9,R4,'b');title('fai=3*pi/2');gridaxis(1545,1555,0,1);xlabel('波長/nm');ylabel('反射率');endfunction F1=Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i)delta=2*pi*n_eff*(1./lamda-1./lamda_B);j=sqrt(-1);k=pi*dn/lamda_B;L(1)=1e

15、-3;s=sqrt(k2-delta.2);s11(i,1)=(cosh(s(i)*L(1)+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(-j*delta(i)*L(1);s12(i,1)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(-j*delta(i)*L(1);s21(i,1)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(j*delta(i)*L(1);s22(i,1)=(cosh(s(i)*L(1)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(j*delta(i)*L(1);F1=s1

16、1(i,1) s12(i,1);s21(i,1) s22(i,1);Endfunction R1,R2,R3,R4=Transmission_FBGn=500;n_eff=1.458;dn=1.2e-3;j=sqrt(-1);lamda_B=1550e-9;lamda=1e-9*linspace(1545,1555,n);delta=2*pi*n_eff*(1./lamda-1./lamda_B);k=pi*dn/lamda_B;s=sqrt(k2-delta.2);for i=1:nL(2)=1e-3; s111(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)+j*delta(i)./s(i).*

17、sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2);s112(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2).*exp(j*0);s121(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2).*exp(-j*0);s122(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2);F12=s111(i,2) s112(i,2);s121(i,2) s122(i,2);F1

18、=Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i);F12=F12*F1;R1(i)=(abs(-F12(2,1)/F12(1,1)2; s211(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2);s212(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2).*exp(j*pi/2);s221(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2).*e

19、xp(-j*pi/2);s222(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2);F22=s211(i,2) s212(i,2);s221(i,2) s222(i,2);F1=Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i);F22=F22*F1;R2(i)=(abs(-F22(2,1)/F22(1,1)2; s311(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i

20、)*L(2);s312(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2).*exp(j*pi);s321(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2).*exp(-j*pi); s322(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2);F32=s311(i,2) s312(i,2);s321(i,2) s322(i,2);F1=Transmission_FBG1(lamda,la

21、mda_B,dn,n_eff,i);F32=F32*F1;R3(i)=(abs(-F32(2,1)/F32(1,1)2; s411(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2);s412(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L(2).*exp(j*3*pi/2);s421(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2).*exp(-j*3*pi/2);s422(i,2)=(

22、cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L(2);F42=s411(i,2) s412(i,2);s421(i,2) s422(i,2);F1=Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i);F42=F42*F1;R4(i)=(abs(-F42(2,1)/F42(1,1)2;endend程序運行如下：FIG3.相移光纖布拉格光柵反射譜和透射譜4. 切趾光纖布拉格光柵對折射率均勻調(diào)制的光纖布拉格光柵，兩端都是整齊的開始和結(jié)束，或者說是突然地開始和結(jié)束，沒有一個過渡過程。

23、如果使光柵折射率調(diào)制的開始和結(jié)束都有一個過渡過程，其折射率調(diào)制包絡不是均勻的，而是呈現(xiàn)一定的函數(shù)形式，就會使得光柵的光譜有很大的改進，此稱為光柵的切趾，這樣的光柵稱之為切趾光柵。在前面的分析中，光纖纖芯的折射率調(diào)制為：其中，取常數(shù)。也就是等振幅調(diào)制的情況，這種情況下，除了主反射帶外，光纖光柵的反射譜還有較大的旁瓣，這在很多情況下是不利的，因此，設法消除或者抑制旁瓣對光纖光柵的應用具有重要思意義。采用切趾的方法可以很好地抑制旁瓣。切趾相當于使折射率調(diào)制幅度不再是恒定的，而是隨z緩慢變換，通常按一定的函數(shù)關系變化，這也相當于耦合系數(shù)在整個光柵區(qū)不是均勻的而是按照一定的函數(shù)變化，一般表示為：其中，是

24、相當于數(shù)字濾波器中的窗口函數(shù)，通常稱為切趾函數(shù)。常用的切趾函數(shù)有高斯函數(shù)、漢明函數(shù)或升余弦函數(shù)、布萊克曼函數(shù)、tanh函數(shù)、Cauchy函數(shù)、sinc函數(shù)等，它們的表示式如下：高斯函數(shù)： 漢明函數(shù)： 布萊克曼函數(shù)： tanh函數(shù): sinc函數(shù)： Cauchy函數(shù): 其中，L是整個光纖光柵的長度，也可以是折射率分布輪廓的兩個半值之間的寬度；G、A、H、B、A和，均為常數(shù)。根據(jù)光纖布拉格光柵的反射率和透射率公式，利用高斯函數(shù)，并取不同的G值，可以推導并畫出其反射譜和透射譜，程序編碼如下：%.FBG.z=linspace(1545,1555,5000);L=2e-3;k=(1.2*pi./z)*1

25、0(-3);delta=3*pi*(z-1550)./(15502);s=sqrt(k.2-delta.2);y=(sinh(2e6*s).2)./(cosh(2e6*s).2-(delta.2./k.2);subplot(3,3,1);plot(z,y);title('FBG反射譜');xlabel('波長nm');ylabel('透射率');grid;%.G=4.z=linspace(1545,1555,1000);x=linspace(-L,L,1000);L=2e-3;k0=(1.2*pi./z)*10(-3);f1=exp(-4*(x/

26、L).2);k=k0.*f1;delta=3*pi*(z-1550)./(15502);s=sqrt(k.2-delta.2);y1=(sinh(2e6*s).2)./(cosh(2e6*s).2-(delta.2./k.2);subplot(3,3,7);plot(z,y1,'m');title('(G=4)');xlabel('波長nm');ylabel('透射率');grid;subplot(3,3,4);plot(x,f1,'r');title('高斯函數(shù)切趾(G=4)');grid;%.G

27、=8.z=linspace(1548,1552,1000);x=linspace(-L,L,1000);L=2e-3;k0=(1.2*pi./z)*10(-3);f2=exp(-8*(x/L).2);k=k0.*f2;delta=3*pi*(z-1550)./(15502);s=sqrt(k.2-delta.2);y2=(sinh(2e6*s).2)./(cosh(2e6*s).2-(delta.2./k.2);subplot(3,3,8);plot(z,y2,'m');title('(G=8)');xlabel('波長nm');ylabel(&

28、#39;透射率');grid;subplot(3,3,5);plot(x,f2,'r');title('高斯函數(shù)切趾(G=8)');grid;%.G=16.z=linspace(1548,1552,1000);x=linspace(-L,L,1000);L=2e-3;k0=(1.2*pi./z)*10(-3);f3=exp(-16*(x/L).2);k=k0.*f3;delta=3*pi*(z-1550)./(15502);s=sqrt(k.2-delta.2);y3=(sinh(2e6*s).2)./(cosh(2e6*s).2-(delta.2./k

29、.2);subplot(3,3,9);plot(z,y3,'m');title('(G=16)');xlabel('波長nm');ylabel('透射率');grid;subplot(3,3,6);plot(x,f3,'r');title('高斯函數(shù)切趾(G=16)');grid;程序運行如下：FIG4.高斯切趾光纖布拉格光柵反射譜和透射譜光纖光柵的切趾可以是對均勻光纖光柵，也可以是對啁啾光纖光柵。對均勻光纖光柵，切趾可以起到抑制旁瓣的作用，對啁啾光纖光柵，可以起到抑制旁瓣和通帶內(nèi)的反射率抖動，并且

30、改善色散特性等作用。5.啁啾光纖布拉格光柵啁啾光纖布拉格光柵是一種周期不均勻的光纖光柵，其周期沿z軸緩慢變化，這種變化可以是線性的，也可以是非線性的，當周期沿著z方向做線性變化時，稱為線性啁啾光纖光柵，否則為非線性啁啾光纖光柵。對正弦型的光柵，折射率變化仍可寫為：其中，為z的線性函數(shù)。下面僅談論線性啁啾光纖布拉格光柵。啁啾光纖布拉格光柵的周期可以寫為：，其中，L為光柵長度；為光柵起始端的周期；F為啁啾系數(shù)，反應啁啾的大小。F=0時為均勻光纖光柵。設啁啾光纖布拉格光柵的周期為（因為）：，并將其分成個小段，光柵的起始點坐標為z1，其它分界點坐標依次為、,.,.,則總的傳輸矩陣為：其中，這里，；，為

31、啁啾系數(shù)。 根據(jù)以上反射率和透射率公式，可以畫出其反射譜和透射譜，程序編碼如下：L=0.04;neff=1.47;C=10e-9;n=50;m=1501;deltaneff=0.0001;j=sqrt(-1);lambda1=1549;lambda2=1551;lambda=linspace(lambda1,lambda2,m)*1e-9;deltalambda=(lambda2-lambda1)/m*1e-9; for k=1:m F=1 0;0 1; for i=1:n deltaneff=0.0001*exp(-4*(-L/2+i*L/n)4)/L4); lambda_D=(1550-C

32、*L/2+C*i*L/n)*1e-9; delta=2*pi*neff*(1/lambda(k)-1/lambda_D)+2*pi*deltaneff/. lambda(k)+(4*pi*neff)*C*(-L/2+i*L/n)/lambda_D2; kac=pi*deltaneff/lambda(k); s=sqrt(kac2-delta2); F=F*cosh(s*L/n)-j*(delta/s)*sinh(s*L/n),-j*(kac/s)*sinh(s*L/n);. j*(kac/s)*sinh(s*L/n),cosh(s*L/n)+j*(delta/s)*sinh(s*L/n); e

33、nd R(k)=(abs(-F(3)/F(1)2;endplot(1e9*lambda,R);axis(1549 1551 0 1);xlabel('波長nm');ylabel('反射率');title('啁啾光纖布拉格光柵的反射譜');grid 程序運行如下：FIG5.啁啾光纖布拉格光柵反射譜6. 長周期光纖光柵1996年，Vengsarkar等報道了有關長周期光纖光柵的制作方法、特性和在通信領域的應用，此后對這一新型的光纖器件進行了大量的實驗和理論研究，使得人們對長周期光纖光柵的特性有了進一步的認識，制作方法得到了進一步的發(fā)展，理論也逐步完善

34、起來。長周期光纖光柵有著與光纖布拉格光柵不同的特性和應用場合，目前主要應用于帶阻濾波器和摻鉺光纖放大器的增益均衡。長周期光纖光柵是由于前向傳播的纖芯模與同向傳播的包層模之間產(chǎn)生耦合，因此涉及的模式包括纖芯模和包層模，在一定條件下還涉及纖芯模與輻射模的耦合。長周期光纖光柵的周期比光纖布拉格光柵的周期大得多，在幾十微米到幾百微米，雖然僅僅是周期比較大，但是這樣的結(jié)構(gòu)引起的模的模式已完全不同于光纖布拉格光柵，其光譜也有較大差別。長周期光纖光柵的透射譜較寬，一定周期的光纖光柵不只形成一個損耗峰，往往可以形成數(shù)個損耗峰，這些峰之間的間隔也比較大，有些在幾十納米以上。每一個損耗峰對應纖芯模被耦合到一個包層

35、模中。對均勻長周期光纖光柵，纖芯模只和具有軸對稱場分布的一階奇次包層模耦合。對一般的通信光纖，一階包層?？梢杂幸粌砂賯€。設纖芯模和包層模的傳播常數(shù)分別為和，為一階包層模的根序號，光柵周期為，則諧振條件為：對紫外激光寫入的長周期光纖光柵，只有折射率發(fā)生了擾動，而包層的折射率未發(fā)生改變。與光纖布拉格光柵類似，柵區(qū)的折射率分布為：，其中，為與光柵的相移或啁啾有關的附加相位。纖芯的折射率改變量為：均勻長周期光纖光柵使纖芯模和同向的包層模發(fā)生耦合，而包層模之間的耦合很弱。對單模光纖，同一方向只有一個纖芯模，而包層模則較多，所以在一般的耦合模方程中，與反向本征模有關的分量均為零，即一般的耦合模方程可以簡化

36、為：上式實際是一個方程組，取所有發(fā)生耦合的模的序數(shù)。在一定波長范圍內(nèi)，可以只考慮纖芯模和一個包層模發(fā)生耦合，這樣簡化得到的結(jié)果和實驗很接近，于是耦合模方程可以寫為：其中，為纖芯模的振幅；為包層模的振幅；和分別為纖芯模和包層模的傳播常數(shù)。而長周期光纖光柵的橫向耦合系數(shù)中，可以得到：其中，是的慢變函數(shù)，一般稱為耦合常數(shù)。當兩個下標相同時為自耦合系數(shù)，不同時為互耦合系數(shù)，而上式后一部分則變化較快。而的表達式為：根據(jù)下述關系：可以得到長周期光纖光柵的耦合模方程：其中，；.為了簡述上述方程，引入如下變換：則耦合模方程簡化為：其中，通常比大得多，故可忽略，該方程具有較簡單的解析解。利用類似于求解光纖布拉格

37、光柵耦合模方程的方法，可以求出上面方程組的解，即：其中，。設初始條件為時，則有：從而可以得到方程組：對任意的，和前面的系數(shù)應為0。通過計算和簡化，可以得到長周期光纖光柵的耦合模方程，寫成矩陣的形式為：其中，矩陣的元素分別為：對一段長為L的均勻長周期光纖光柵，設其分布在，在光纖光柵的起始端，包層模的振幅為零，即，則：于是，透射率為：損耗率為：透射率和損耗率分別相當于纖芯基模中沒有發(fā)生不分的能量和已經(jīng)耦合到包層中的能量占輸入能量的比例。根據(jù)上述反射率和透射率公式，可以畫出長周期光纖光柵反射譜和透射譜，程序編碼如下：z=1e-9*linspace(1500,1599,1000);k=30; %k的單

38、位是1/m.n1=1.468;n2=1.463;L=pi/60;k11=6e0; %k11(自己取得值)相當于使得中心波長有微小的偏移delta=pi*(n1-n2)*(1./z-1/(1550*1e-9);sita=delta+k11;s=sqrt(k2+sita.2);D=k2./s.2.*(sin(s*L).2);plot(1e9*z,1-D,'r');xlabel('波長/nm');ylabel('透射率');title('LFBG透射譜');grid;程序運行如下：FIG6.均勻長周期光纖光柵的透射譜從上圖中可以看出，透

39、射譜相對于中心波長有一個微小的偏移，此為項對譜線所產(chǎn)生的影響，而實際的諧振波長為：其中，為設計波長。從上述式子可知，實際的諧振波長比設計波長大。7. 光纖布拉格光柵的級聯(lián)（雙光纖布拉格光柵）A. 兩個諧振頻率不同時設有兩個級聯(lián)光柵，周期分別為和，長度分別為和，初始端相距為d。取第一個始端為坐標原點。根據(jù)光纖布拉格光柵的傳輸矩陣可以知道：其中，則.反射率和透射率分別為： , 根據(jù)上述反射率和透射率公式，可以畫出其反射譜，程序編碼如下：function Double_FBG n_eff=1.47;L= 2e-3;L1=2e-3;lambda_Brag=1552e-9;lambda_Brag1=15

40、48e-9; lambda=1e-9*linspace(1545,1555,1000); kappa_L=5; kappa=kappa_L/L;kappa1=kappa_L/L1; %交流耦合系數(shù) F = 1 0;0 1; for num = 1:1000 delta(num) = 2*pi*n_eff*(1/lambda(num)-1/lambda_Brag); s(num)=sqrt(kappa2-delta(num).2); s11(num)=cosh(s(num)*L)-i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num)*L); s12(num)=-i*(kappa/s(

41、num)*sinh(s(num)*L); s21(num)=i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s22(num)=cosh(s(num)*L)+i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num)*L); f0=s11(num) s12(num);s21(num) s22(num); delta1(num) = 2*pi*n_eff*(1/lambda(num)-1/lambda_Brag1); t(num)=sqrt(kappa12-delta1(num).2); t11(num)=cosh(t(num)*L1)-i*(delta1(num)/t(nu

42、m)*sinh(t(num)*L1); t12(num)=-i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t21(num)=i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t22(num)=cosh(t(num)*L1)+i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); f1=t11(num) t12(num);t21(num) t22(num); f=f1*f0; r3(num)=f(2,1)/f(1,1); %反射系數(shù) R3(num)=(abs(f(2,1)/f(1,1)2; %反射率 end plot(lambda*1

43、e9,R3,'r');hold on; xlabel('波長 /nm');ylabel('反射率'); title('雙光柵反射譜');grid onend程序運行如下：FIG7.雙把光纖布拉格光柵的反射譜B.兩個諧振頻率相同時（法布里-珀羅光纖布拉格光柵濾波器）當兩個光柵的諧振頻率相同時，它們將形成法布里-珀羅干涉。在耦合系數(shù)和光柵之間的距離合適時，會形成梳狀反射譜。設兩個光柵的長度、耦合系數(shù)均相同，取，利用上節(jié)傳輸矩陣可以計算反射譜。計算時，不能取太大，因為取太大時，第一個光柵的反射率過大，透射光太弱，就無法形成干涉。同時L也

44、不能取太大，否則，反射峰輪廓很窄，就不會出現(xiàn)多反射峰。同上，可以畫出其反射譜，程序編碼如下：function F_P_FBG_Filter n_eff=1.47;L=1e-3;L1=1e-3;i=sqrt(-1); lambda_Brag=1550e-9;lambda_Brag1=1550e-9; lambda=1e-9*linspace(1547,1553,1000);h=15e-3; kappa_L=1;kappa=kappa_L/L;kappa1=kappa_L/L1; %交流耦合系數(shù) F=eye(2); for num = 1:1000 delta(num) = 2*pi*n_eff*

45、(1/lambda(num)-1/lambda_Brag); s(num)=sqrt(kappa2-delta(num).2); s11(num)=cosh(s(num)*L)-i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num)*L); s12(num)=-i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s21(num)=i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s22(num)=cosh(s(num)*L)+i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num)*L); f0=s11(num) s12(num);s21(num)

46、s22(num); m=exp(-i*L*delta(num) exp(-i*delta(num)*L);exp(i*delta(num)*L) exp(i*L*delta(num); delta1(num) = 2*pi*n_eff*(1/lambda(num)-1/lambda_Brag1); t(num)=sqrt(kappa12-delta1(num).2); t11(num)=cosh(t(num)*L1)-i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); t12(num)=-i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t21(nu

47、m)=i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t22(num)=cosh(t(num)*L1)+i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); f1=t11(num) t12(num);t21(num) t22(num); n=exp(-i*L1*delta1(num) exp(-i*delta1(num)*(L1+h);. exp(i*delta1(num)*(L1+h) exp(i*L1*delta1(num); f=(f1.*n)*(f0.*m); r(num)=f(2,1)/f(1,1);R(num)=(abs(f(2,1)/f

48、(1,1)2; endplot(lambda*1e9,R,'r');xlabel('波長 /nm');ylabel('反射率'); title('F-P光纖布拉格光柵濾波器的反射譜');grid onend程序運行如下：FIG8.F-P光纖布拉格光柵濾波器的反射譜8. 后記由于光纖本身的低損耗、抗電磁干擾，它在遠距離通信中得到了廣泛應用，并隨之在通信、傳感領域得到重視和應用。經(jīng)過近二三十年的研究與實踐，光纖光柵種類迅速增加，出現(xiàn)了各種非均勻光纖光柵。在實際需要的推動下，光纖光柵家族不斷得到完善和豐富，也在通信和傳感領域起到了無法代

49、替的作用。光纖布拉格光柵相當于一個置于光纖中的反射型光學濾波器，通過改變參數(shù)，帶寬可以在較大范圍內(nèi)變化，達到兆赫量級的窄帶濾波。光纖布拉格光柵的周期較小，一般在微米量級一下，在幾毫米內(nèi)就有包含上萬個周期，從而起到很好的反射濾波的作用。光纖布拉格光柵具有長度短、插入損耗小的特點。一些非均勻光纖布拉格光柵還具有獨特的光譜特性，這些都是光纖布拉格光柵得到應用的前提和基礎。長周期光纖光柵將纖芯模耦合到包層模，而且是同向模間的耦合。長周期光纖光柵的特點是周期變化范圍較大，可以在數(shù)十微米到幾百微米之間，光譜帶寬較大，溫度靈敏度高。參考文獻1吳重慶.光波導理論.北京：清華大學出版社，20052陳儒.長周期光纖光柵傳輸譜的matlab仿真J. 計算機仿真. 2007(04)3饒云江，王義平，朱濤.光纖光柵原理及應用.北京：科學出版社，20064