函數(shù)極限的求法(正文)綜述

1、目錄0.引言 11 .函數(shù)極限的定義 12 .一元函數(shù)極限的求法 32.1 利用函數(shù)極限定義求極限 32.2 利用恒等變形和極限運(yùn)算法則求極限 42.3 利用迫斂性求極限 42.4 利用兩個(gè)重要極限及其推導(dǎo)公式求函數(shù)極限 52.5 利用洛必達(dá)法則求解 62.6 利用函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)求解 72.7 利用等價(jià)無窮小量代換求解 82.8 利用導(dǎo)數(shù)的定義求解 82.9 利用泰勒公式求極限 92.10 利用微分中值定理求極限 102.11 利用積分中值定理求極限 102.12 利用瑕積分的極限等式求極限 113 .二元及多元函數(shù)極限的解法 113.1 利用二元函數(shù)的連續(xù)性求解 123.2 利用極限的運(yùn)算法

2、則求解 123.3 利用不等式，使用夾逼法則求解 123.4 變量替換化為已知極限，或化為一元函數(shù)的極限求解 133.5 利用恒等變形法求解 133.6 利用兩個(gè)重要極限求解 143.7 利用等價(jià)無窮小代換求解 153.8 利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小的結(jié)論求解 .163.9 利用二重積分來計(jì)算二元函數(shù)的極限 163.10 利用極坐標(biāo)變換求解 173.11 利用二元函數(shù)的泰勒展式求解 174 .總結(jié) 18致謝 18參考文獻(xiàn) 20函數(shù)極限的求法0.引言極限描述了數(shù)列和函數(shù)在無限變化中的一種趨勢(shì)，它體現(xiàn)了從近似認(rèn)識(shí)精確，從有限認(rèn)識(shí)無限，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變的數(shù)學(xué)思想。在數(shù)學(xué)分析和微積分 學(xué)中，

3、極限的概念占有重要的地位并以各種形式出現(xiàn)且貫穿全部的內(nèi)容。極 限理論又是研究連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，積分，級(jí)數(shù)等的基本工具，是微積分的理論基 礎(chǔ)。極限的計(jì)算在解決許多實(shí)際問題中不可缺少。因此，掌握好極限的求解 方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分學(xué)的關(guān)鍵一環(huán)。對(duì)于如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是讓絕大多數(shù)學(xué)生較為頭 痛的問題。我們?nèi)绾卧跍?zhǔn)確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在條件的基礎(chǔ)上， 靈活巧妙的運(yùn)用各種不同的方法解決有關(guān)極限的實(shí)際問題。本文針對(duì)一元函數(shù)和二元函數(shù)極限，對(duì)它們的求解方法進(jìn)行了歸納總結(jié)。1 .函數(shù)極限的定義定義1設(shè)函數(shù)f(x)在U°(X0)(X0的空心”鄰域)內(nèi)有定義，A為一個(gè)確定的常數(shù)

4、，若對(duì)任給的正數(shù) 巴總存在某一正數(shù)6 ,使得當(dāng)0<x-時(shí)，都有|f(x)-Ac以 記作：弧 *)=人或f (x)t A(xt Xo),稱f(x)當(dāng)XT Xo時(shí)以A為極限.或簡(jiǎn)單地寫成：lim f(x)=Au /君>0刀6A0,使得 V x,當(dāng)0 < |x - x0 < a 時(shí)，xxo總有 f (x) - a| <。定義2設(shè)函數(shù)f (x)在u0H(x0力)(或U0(x0,s )內(nèi)有定義，A為定數(shù)，若對(duì)任給的名下0,存在正數(shù)6,使得當(dāng)x0<x<x0+6 (或x0-& <x< %)時(shí)有f (x) -A <&,則稱數(shù)A為函數(shù)f

5、 (x)當(dāng)x趨于x(T (或x0")時(shí)的右(左)極限.f(x)+= A.i lim J(x) = A j 和 f(x) 一 x"=A lim f (x) =A ,或者記作:f(x)T A(xt x齊口 f(x)T A(xt x0n 右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限定義3 設(shè)f為定義在D三R2上的二元函數(shù)，Po為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A是 一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若對(duì)任意的正數(shù)sA0,總存在某正數(shù)S ,使得當(dāng)PEU°(P0；6D時(shí)，都有f(P J-A ，則稱f在D上當(dāng)Pt B時(shí)，以A為極限，記作:(1)lim f P i-AP-?oP .D當(dāng)P,B分別用坐標(biāo)(x,y)(xo,y。底示時(shí)

6、，在不產(chǎn)生誤解時(shí)，(1)式也常寫作:limf(x, y)=A(2)x,y - ixo,yo定義4 設(shè)Ex,EyUR , xo是Ex的聚點(diǎn)，yo是Ey的聚點(diǎn)，二元函數(shù)f在集合D = Ex><Ey上有定義，若對(duì)每一個(gè)yw Ey,y# yo ,存在極限limf(x,y),由于此極限一般與y有關(guān)，因此記作x 'xoxEx:y j>lim f x, yx >x)x三Ex而且進(jìn)一步存在極限L = lim : yy 、,yoyEy則稱此極限為二元函數(shù)f先對(duì)xt x。后對(duì)yT y°的累次極限，并記作:L = lim lim f (x, y ), yyo x >x

7、o y Ey xE或簡(jiǎn)記作:L = lim lim f x, y .yy0x 之類似地可以定義先對(duì)y后對(duì)x的累次極限：K = lim lim f x, y . x_.x)y >yo2 . 一元函數(shù)極限的求法求一元函數(shù)極限使高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算之一，能夠合理運(yùn)用解決函數(shù)極 限的方法至關(guān)重要。對(duì)求于函數(shù)極限問題，從不同的角度思考，從不同角度 分析，能得出各種不同的方法。2.1 利用函數(shù)極限定義求極限利用函數(shù)極限的定義以及不等式證明方法 ，關(guān)鍵是找出和的函數(shù)表達(dá)式 滿足函數(shù)極限定義中的要求。例1證明lim 土二=2.x 1 x -1分析：用“名-6"定義驗(yàn)證lim f(x)=A的過程，

8、就是根據(jù)給出的8找6的過程， xxo就是解不等式的過程。將f(x)-A <名經(jīng)適當(dāng)?shù)淖兓?如放大等)0<x-x0 < P但訥為止(口表示僅與常數(shù)和有關(guān)的表達(dá)式)，這里6=P證明：這里，函數(shù)在點(diǎn)x=1是沒有定義的，但是函數(shù)當(dāng)xt 1時(shí)的極限存在或X21不存在與它有沒有定義并無關(guān)系。事實(shí)上，vs>0 ,不等式-_1-2約x-1去非零因子x-1后就化為x+1-2 =|x-1(名，因此只要取6 = 6,那么當(dāng)0 < x-1 <6時(shí)，就有X2 -1X -1-2 <®.所以由函數(shù)極限定義知:X2 -1lim = 2 .X 1 X -12.2 利用恒等變形

9、和極限運(yùn)算法則求極限包等變形通常是利用提取出因式約簡(jiǎn)分式，分子或分母有理化及三角 函數(shù)變換等。利用極限運(yùn)算法則時(shí)則應(yīng)特別注意法則的適用條件即各項(xiàng)極限 存在且和，積運(yùn)算只能推廣出有限項(xiàng)。例 2 求lim J 十tanXf 1+sinXX 0x(1 -COSX)分析：當(dāng)XT0時(shí)，分母X（1-C0SX）T 0,顯然不能運(yùn)用極限運(yùn)算法則進(jìn)行處理，但在XT 0的過程中，X¥0,所以在所求的極限公式中可約去不為零 的公因式，在求解中所用的方法就是對(duì)分子、分母進(jìn)行合理的因式分解，約 去產(chǎn)生奇異的因子，從而達(dá)到化簡(jiǎn)求解的目的。1 tanx (1 sinx)x(1 fosx) . 1 tan x .1

10、 sin xsin x . sin x=lim lim c0sxx0 . 1 tan x . 1 sin x x_0 x(1 一cosx)1 sin x 11= -lim lim=一2x0 x I cosx 22.3利用迫斂性求極限利用迫斂性求極限，就是利用所謂的夾逼定理，通過確定兩端式子的極22限來求解所要求解的極限值。給出夾逼定理：若函數(shù)f(x)滿足h( x) f(x)£ g( x)且 lim h(x) = lim g(x) = A ,則 lim f(x)=A.JX0x_xox_x0例 3 證明 lim 1 j 1+ j 1 = + - 1= 11TVx2 +1Jx2 +2v&#

11、39;x2 + x分析：本題函數(shù)為無窮級(jí)數(shù)和的形式，不易用一般方法簡(jiǎn)單的求出極限值,故在這里考慮h(x)=與g(x)=)二的極限值。.x2 x.x2 1證明：利用放縮思想，容易看出x1：1； 1：N-x,x2x , x2 1, x22x2 x . x2 1x x .1lim : lim x *,x2x x 工 1 . 1x=1, lim .x ： x2于是由兩邊火準(zhǔn)則知:.I 111±±1lim 1 j + f +, ,，+ =八2 + 1 xx2 + 2xY + xj=1.2.4利用兩個(gè)重要極限及其推導(dǎo)公式求函數(shù)極限I第一個(gè)重要極限：四詈i其變形為：回II第二個(gè)重要極限:

12、11lim(1+x*=e；其變形為：山(1 +N(x)樂5 = e.1 x或者lim 1 +- =e;其變形為:X xJim 11,四二(x)“(x)=e.2求 lim sinxx0分析：先判斷類型，當(dāng)XT 0時(shí)sinx2T 0,故所求極限是“ 0”型，且不能 0消去零因子，現(xiàn)在我們利用第一個(gè)重要極限求解。令N(x)=x2 ,通過變形可衿sinxx2、2在萬 用f sin xsin x . _解：原式=lim x = lim Jim x =10=0.T xT x T爾于.zxsin求 lim (cos x) 2 x. 0分析：先判斷類型，因?yàn)閏osxt 1,xt 0 ,故知是“ 10”型，且不

13、能消去零因子，令k(x)=-sin2| ,可化簡(jiǎn)的第二個(gè)重要極限的形式， 現(xiàn)在我們利用第 二個(gè)重要極限求解。=1(-2叫)2 x sin 2x解:原式=lim (1 -2sin -)22.5利用洛必達(dá)法則求解這是目前最常用的求極限的方法之一，最好能與等價(jià)無窮小替換相結(jié)合，以減少求導(dǎo)的次數(shù)。常見的未定式有：0型，三型，產(chǎn)型，g°型，g 00 二型，笛-8型，后四種未定式能化成前兩種基本型 旦型和三型0下面是形式語言的變換：(1) »0=7 1oO(2)%一% =、oO或:0 =.101 ± _ 02 -01 .01020102ln1T(3) 1二二 ln1ln0o

14、00 = eln0Oln0eln 二0ln 二例6 求極限lim 1+cos3x x sin x分析：當(dāng) x t n 時(shí)，1 + cos2 x t 0 , 洛必達(dá)法則進(jìn)行求解。sin xt 0顯然是0型，故可直接使用0解：1而32:1防衛(wèi)上x-； sin xx： ：；sinx3cos x -sin x=limj： cosx= lim -3cosxsin xx 7-：-3 cos二 sin 二=0 .2.6利用函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)求解若f(x)在x0連續(xù)，則知lim f(x) = f(x°),即求連續(xù)函數(shù)的極限，可歸 x結(jié)為計(jì)算函數(shù)值。常見有以下幾種形式：(1) 設(shè) f(x)在x = a處連

15、續(xù)，若lim x n = a , 則 n - .、lim f (xn) = f (lim xn) = f (a)及 lim f (x) = f (lim x) = f (a)。 n ,nxax 陽設(shè) lim u(x) = A A0 , lim v(x) = B u(x)、v(x)在 x = a處連續(xù)，則 x jax7av(x)v(x) ln u(x) Bln A Blim u(x) = lim ee A .x )axa例 7 求極限 lim ln2(7x-6).x-1解：因?yàn)閒(x)=ln2(7x-6)是初等函數(shù)，在定義域 仁,收內(nèi)是連續(xù)的，所以在x=1處也連續(xù)，根據(jù)連續(xù)的定義，極限值等于函數(shù)

16、值。所以2_2_lim ln 7x6 f (1) =ln 7-6；=0.x12.7 利用等價(jià)無窮小量代換求解定理：設(shè)在自變量的某一變化過程中，u,u',P,"均為無窮小，又111ccto<BtBU lim(1+s')B' = A，則 lim(1+口2= lim(1+豆下'=A.例如：當(dāng) xt 0時(shí)，有 sinx x，arcsinx x， tanx x，ex -1 x ,1 2,n x ln(1 + x )x , 1 cosx x , arctan x x ,d1 + x-1 2n .1例 8 求極限 lim(1 +2 tan2 x x1n(1、)

17、. x )0解：當(dāng) xt0 時(shí)，1 十2tan2x 2x2, xln(1 -x)x2.故 11lim。1 2 tan2 x xln(1w = lim 1 2x2 x2 =e”.2.8 利用導(dǎo)數(shù)的定義求解利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限,一般可得四”丫他0kf'(x。)，此方 法要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義及性質(zhì)。例9若函數(shù)f(x)在4點(diǎn)處可導(dǎo)，且f'(x0)=3,求極限:f X0 5h - f(Xo)解:由于f (x)在xo點(diǎn)處可導(dǎo)，若令A(yù)x=5h,則5 =5f (x0) =15.lim f x0 5h -f(X0)=Hm f X0 次-f(Xo)h)0hh 0x2.9 利用泰勒公式求極限如果函

18、數(shù)f(x)在含X0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n十1階導(dǎo)數(shù)，即-1!f(n(x0)(x-x0)n+o(x-x0)f w Dnd1(a,b ),那么對(duì)于 xw (a,b ),有f(X) =f (Xo) f (Xo)(X -Xo) ，f (Xo)(X -Xo)2這就是泰勒公式。這是一種非常有效的方法，它實(shí)際上已包含了洛必達(dá)法則的求解方法，利用泰勒公式求"0"型極限是一種重要而有效的方法，因?yàn)橛行┐祟惒?0定式運(yùn)用洛必達(dá)法則需要連續(xù)幾次求導(dǎo)，但用此法較為方便。2X» 、 一 > .1 a例10求極限lim L.x，。x2分析：首先要求掌握復(fù)合函數(shù)的泰勒展式，注

19、意先展里層函數(shù)，再展外層函數(shù)。其次要把握好將函數(shù)展開到適當(dāng)?shù)碾A數(shù)。本題中很明顯，分母是 2階無窮小量，因此，需將函數(shù)1-e*展開到2階泰勒公式帶皮亞諾余項(xiàng)。解：由泰勒公式可知eX=1x°x2-1 xn o xn2!n!所以e* =1 -x2 o x2因此= 1JT ox2 =1.x力 x22.10利用微分中值定理求極限若f(x)連續(xù)那么 f b x -faxb x -a xf a(x)+"b(x Aa(x w,于是limx0f b x -faxb x -a x= lim f la(x )十"b(x )-a(x )】= f(a0), x_0其中0 日1 , ym a

20、(x )=l”b(x )=ao (主要是利用拉格朗日中值定理)tan x x e e 例11求極限lim ee. x-0 sinx -xcosx分析：利用拉格朗日中值定理：etanx-ex =e-(tanx-x ),:在tan x與x之間,且sinx-xcosx =cosx tanx-x .aa解：原式=lim -x) =lim.1.x 50 cosx tanx -x :， t 12.11利用積分中值定理求極限積分中值定理：設(shè)f(x施I, b】上連續(xù)，則兼whb，使得f f(xdx= f(，b-a )。積分 a中值定理的推廣形式是，設(shè)f(x)在匕2上連續(xù)，g(x)在a,b】上不變號(hào)，則bbKw

21、 a,b，使得f(xgxdx= f(E)J g(xdx. aa例 12 求極限 lim(xnd2 + xdx.x )： ： 0解:limX一)二二xndxi ioxn 2 xdx = lim , 2°x-卜-=lim/2 '= 0xc ' n 12.12利用瑕積分的極限等式求極限命題 設(shè)f (x)在(a, b上連續(xù)，a是f (x )的瑕點(diǎn)且瑕積分jf(xdx收斂,則等式ff(xdx=limZ f a十曲二更)曲二亙)成立。當(dāng)Ty < n J n例13求極限n n!lim n '二 n,n/n!, n/=r .ln =ln . n! -lnn解：因?yàn)镮n,

22、.,、一n .idn = 、 ln i -nln n 二一、 ln -.而函數(shù)f (x )=lnx在(0,1上連續(xù),x = 0是f (x )= ln x的瑕點(diǎn),且瑕積分1ln xdx = xln x011 dx -于是由上面命題,.n!lim ln 一一 n1 / i=lim ln 二1lnxdx= -1,進(jìn)而有:n n!1nHlim lim e nn二 n nf 二lim=en :二41=e 二一 e3.二元及多元函數(shù)極限的解法二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。由于變量個(gè)數(shù)的增加，二元函數(shù)極限的求法比一元函數(shù)極限的 求法要復(fù)雜得多，但一元函數(shù)極限的基本

23、運(yùn)算在二元函數(shù)極限的運(yùn)算中同樣 適用。因此，可將一元函數(shù)的計(jì)算方法推廣至二元函數(shù)。3.1利用二元函數(shù)的連續(xù)性求解由二元函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)可得以下命題命題 若函數(shù)f (x, y而點(diǎn)(xo, yo處連續(xù)，則”黑y° J(x, y )= f ).1例14求極限lim、2一& x2 + y2 1解：由函數(shù)連續(xù)的定義不難證明函數(shù) f(x,y)= 2 12在點(diǎn)(1,2)處連續(xù).x y -1故1.11lim 2 = f 1,22- =.yx x2 y2 -112 22 -143.2 利用極限的運(yùn)算法則求解例15求極限lim sin xy 弋i x解:sinxy r sinxy sinxy r

24、/lim = lim y = lim lim y = 1.x )0xx j0xvxJ0XVx 0y-1xyTxyy1xyy)13.3 利用不等式，使用夾逼法則求解例16求極限lim 2x二；-xy y解：由不等式x2+y2N2xy,得到x y22父x+y一 x2 y2 - xyx -xy y所以:x ylim y. =0.x：x -xy y3.4 變量替換化為已知極限，或化為一元函數(shù)的極限求解通過變量代換可以將某些二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來計(jì) 算，從而使二元函數(shù)的極限變得簡(jiǎn)單。例 17 求極限 lim xy_sin(xy).K xy - xy cos(xy)1 c c 解：設(shè) xy=

25、t,因 0ExyE (x +y ).2故當(dāng)xt 0,yT 0時(shí)，tT 0則t -sintt -sint 1 -sint sint 1原式=lim= 2lim 2- = 2lim 2 = 2lim = 一 .t Q t 1 - cost t 0 t t * 3t t 旬 6t 33.5 利用恒等變形法求解將二元函數(shù)進(jìn)行恒等變形，例如分母或分子有理化等，以約去零因子或 無窮大因式。例18求極限lim 27xy+4 x,y N。,。xy解:2 - . xy 4 2 . xy 4xyx,ylimO,0)xy(2+M74)-xy,。xy 2 “ xy 411= lim -= 一一x,y”0,。2 xy

26、44.3.6 利用兩個(gè)重要極限求解lim sin "x' y)= 1 ; lim (1 + u(x, y»(x,y 戶 e. ux,y-p u x, yU X,y 力它們分別是一元函數(shù)中兩個(gè)重要極限的推廣，其中(x, y ”(x。, y。)時(shí), u(x, yH 0,視u(x, y)為新變量t ,考慮極限過程tT0.例19求極限"m2 x sin x2 y2，0 x2 y2sin x2y2解:2 x sin x2 y2T2 0 1=2.例20求極限lim 'l + T":.xy解:22XX11 甲y11、xyl(x4yXylim 1 + f

27、 =lim 1 + 辦xy；方人xyJ .2. xlimyZa： x y xy.1=hmxBjy 'y- 1 +± y< xj原式=lim V1+2x)xy (x* y1=ea.xy，3.7 利用等價(jià)無窮小代換求解元函數(shù)中常見一元函數(shù)中的等價(jià)無窮小概念可以推廣到二元函數(shù)。在的等價(jià)無窮小u(x, yZ 0,有1 2 sinu(x, y ) u(x, y 卜 1cosu(x, y)-u (x, y)； 2 ln 1+u(x,y ? u(x,y )；tanu(x, y ) u(x, y )；(5) arcsinu(x, y 卜 u(x, y )； arctanu(x, y )

28、 u(x,y )；Uu(x,y )-1 lu(x, y )； (8) eu(x,y)-1 u(x, y ).n同一元函數(shù)一樣，等價(jià)無窮小代換只能在乘法和除法中應(yīng)用例21求極限，lim, x,y 1 10,0sin xy解：由(x, y r (0,0);可知 sin xy xy.xy.lim lim y = 0.x,yT：0，。x x，y，0 )sin xy故03.8 利用無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小的結(jié)論求解例22求極限lim駕修) / x +y解:因?yàn)閘imx )0y0sin(x2y 尸2u*y sin u .=lim=1u 0 u2x y22x y原式=limx 0y0八一 2sin

29、 x y所以2x y22x y3.9 利用二重積分來計(jì)算二元函數(shù)的極限例23求極限./ 1 lim (”ni1n2 一，L_/ 1 n11n2 2n11n2 n2111111) n12n22n12n23n1n1n2n2解：原式可化為lim.n2-二1nQn1n211、-T-jT j 31 -L 1 jnn2In”其中 DJ0<x<1,0<y<1.3.10 利用極坐標(biāo)變換求解x = Pcos 二設(shè)丫=收，求極限，若結(jié)果與k有關(guān)，或設(shè),求極限；若結(jié)y - - sini果與日有關(guān)，則二重極限不存在；若結(jié)果與 k或日無關(guān)，則二重極限可能存 在，這時(shí)還要進(jìn)一步證明所得極限就是所求

30、的二重極限。例24求極限limx ）0y j0解：設(shè)y = kx ,則 2222 2x - y x y x - kx x k x 1 - klim=lim=,xZ0x + y 耳 x + kx 1+k極限與k有關(guān).x = Pcos或設(shè)彳（p為變量，e為參數(shù)）Iy = ：；sin 二x-y x2 y2cos? -sin ?；?2cos? -sin 二lim= lim _ 二 xy 0 x y : 0: cos - sin - cos - sin -極限與8有關(guān)故原式極限不存在.3.11利用二元函數(shù)的泰勒展式求解例 25 求極限 lim 8s（x+y）-cosxcosy .二xy解：把 cosx + y ）cosxcosy 在（0,0 ）點(diǎn)展開得: cos x y - cos x cosy = -xy o . x2 y2所以cos x y cosxcosy - xy limlim二-1.xxy，xy4.總結(jié)一元函數(shù)的極限求法基本可以歸納為以下幾種方法（1）利用函數(shù)極限的定義求極限。（2）利用恒等變形和極限運(yùn)算法則求極限（3）利用包等變 形和極限運(yùn)算法則求極限（4）利用迫斂性求極限（5）利用兩個(gè)重要極限及 其推導(dǎo)公式求函數(shù)極限（6）利用洛必達(dá)法則求極限（