河北工程大學(xué)高數(shù)練習(xí)冊(cè)答案(7-12章)

1、第七章 微分方程第一節(jié) 微分方程的基本概念1 指出下列各微分方程式的階數(shù)1） 2） 2設(shè).1）驗(yàn)證是方程的解.2）求參數(shù)，使得它滿足初始條件，.1） 是方程的解2） 所求滿足初始條件的函數(shù)為。第二節(jié) 可能離變量的微分方程1 求下列微分方程的通解。1）解：原式可化為 分離變量，得 兩端積分，得 從而（ 為任意常數(shù)）2）解：原式可化為分離變量，得 兩端積分，得得= （為常數(shù)）2 求下列微分方程滿足所給實(shí)始條件的特解。1），解：分離變量，得 兩端積分，得 （為常數(shù)） 即 （為常數(shù)）準(zhǔn)，代入通解 解得 特解為 2），解方程可化為： 兩端積分 即 （為常數(shù)） 代入上式第三節(jié) 齊次方程1.求下列齊次方程的

2、通解1）解： （1）令 （2）把（2）代入（1），得兩端積分，得 2）解： （1）令 （2）把（2）代入（1），得 兩端積分 （為常數(shù)）2. 求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解。1) ,解： （1）令 （2）把（2）代入（1） 即 即 把代入上式，得 得 特解為 2）解：設(shè) 即有 變量分離后，得 兩端積分，得 （為常數(shù)） （為常數(shù)） 代入 得特解為 第四節(jié) 一階線性微分方程1求下列微分方程的通解。1）解對(duì)應(yīng)齊次方程 即 ，常數(shù)變易法 代入原方程，得 于是得所求通解為 2）解： 即 是一階非齊次方程 ，常數(shù)就易法 （1）代入（1）式，得通解 （為任意常數(shù)）2 求微分方程 ，滿足條件的特解。解：

3、由 ，得 故特解為 5求下列微分方程的通解。 1）解：原式變?yōu)?（1）令代入（1），得即為 變成了一階線性微分方程即 2）解：原式變?yōu)?（1）令 ，則 代入（1）式，得，把 代入 即 第五節(jié) 全微分方程1. 判斷下列方程中哪些是全微分方程.1） 是 2）不是 3）是 2.求解下列微分方程.1）解：原方程可劃簡為兩邊同乘以，得，在xoy平面的上半平面處總成立為積分因子。取2） 解：方程兩邊同乘以得 即 因此為原方程的一個(gè)積分因子，并且原方程的通解為 3）解：原方程為 方程通解為第六節(jié) 可降階的高階微分方程1. 求下列各微分方程的通解.1）解：連續(xù)積分兩次=2）解：令 則原式化為即令.則則積分 3

4、） 令， 2. 求下列各微分方程滿足所有條件的通解.1），解：令，原方程為積分即代入上式得即積分得時(shí)，得得特解即（舍去，因?yàn)椋?），解：令，此為一階線性微分方程.解得，由于，得，代入上式得3），解：令， ，得，即，由得第七節(jié) 高階線性微分方程1. 驗(yàn)證及都是方程的解，寫出該方程的通解.解：， 是方程的解.同理可證也是原方程的解.且.故與是線性的.所以方程的通解為2. 驗(yàn)證，是方程的解，是方程的解，寫出微分方程的通解.解：，故為齊次方程的解.同理故為齊次方程的解.與線性無關(guān)是非齊次方程的一個(gè)特解.所以非齊次方程的通解為1）解：特征方程 有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根方程的通解為2）解：特征方程為 有兩相等實(shí)

5、數(shù)方程的通解為（）3）解：特征方程為有一對(duì)共軛復(fù)根方程的通解為4）解：特征方程為 它的根 方程的通解為5）解特征方程為有一對(duì)2重根6），.解：對(duì)應(yīng)的特征方程為 所求通解為第九節(jié) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1.求微分方程的通解： 1） 設(shè)通解 2） 設(shè)解得所求通解為 3） 設(shè)解得得特解所求通解為 4） 是特征方程的根設(shè)解得特解所求通解為2.設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足，求.解：=兩邊對(duì)求導(dǎo)，得即 (1)上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得即由題設(shè)再由(1)式得設(shè)，則求滿足初始條件的特解 (3)(3)式為型 (3)式對(duì)應(yīng)的齊次方程為 (4)它們特征方程為解得 齊次方程(4)的通解為由于不是特征方程的根.可設(shè)代入(3)式解得

6、 (3)式的通解為把代入上式.1=解得把代入上式1=解得于是所求第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念1. 求定義域(1)(x,y) ；(2)2k；(3)(x,y,z).2.求極限(1);(2)0 ;(3);(4).3.判斷下列極限是否存在，若存在，求出極限值(1)沿直線y=kx趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)，,不存在;(2)沿直線y=0,極限為1；沿曲線y=,極限為0，不存在 ;(3).極限為0 .4.因當(dāng)時(shí)， ,所以，故連續(xù).第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)1. 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1); 2x(1+xy);(2)yzcos(xyz)+2xy ; xzcos(xyz)+;(3) , .2. .3.4.

7、5.第三節(jié) 全微分1. 求下列函數(shù)的全微分解：(1)(2)2.解：第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.解：2.解：(1)(2)3. 解：4. 解：第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1.解：令2. .解：令3.證明：4.（1）解：方程兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得：（2）5.證明： 由， 代入，得第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1 解：切向量 切線：, 法平面：. 在任一點(diǎn) 處，是定數(shù)， 所以交成定角。2 解： 令 , , , 切平面方程為： (x-1)-(z-1)=0,即x-z=0法線方程為：. 3. 證明：令 切平面：即 截距和為 第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度1 . 解：M1M2, .2.解： , .3.解： |u | .

8、第八節(jié) 多元函數(shù)的極值1 解：令得駐點(diǎn)： , , , 當(dāng)時(shí)，只有駐點(diǎn),不取極值; 當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)，, ，無極值 ;在點(diǎn)，,，無極值.同理，在點(diǎn)無極值. 在點(diǎn), 取極大值.2.解：令 , 得駐點(diǎn) , .在邊界上，當(dāng)時(shí)，,取最大值16，最小值； 當(dāng)時(shí),取最大值17，最小值;當(dāng)時(shí),取最大值最小值;當(dāng)時(shí), 取最大值17，最小值16 ;所以在該區(qū)域上的最大值為，最小值為.3.8816解：點(diǎn)到三直線的距離的平方和為：, 令 , 解得唯一駐點(diǎn)， 故所求點(diǎn)為：.4解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為， 到原點(diǎn)的距離的平方為： 距離的平方的最值點(diǎn)也是距離的最值點(diǎn)，令： 由 解得， 代入： 解出： 坐標(biāo)是可能的兩個(gè)極值點(diǎn)，由題意

9、： 距離的最大值和最小值一定存在，最值一定是極值， 可能取極值的點(diǎn)只有個(gè)， 所以最長距離為，最短距離為.第九章 綜合題1.解:矩形的對(duì)角線為: 當(dāng)時(shí), 所以矩形的對(duì)角線約減少5厘米.2.解:因?yàn)?且所以,.所以函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)同理可得,所以函數(shù)在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在.在點(diǎn),函數(shù)增量與全微分的差為:,所以函數(shù)在點(diǎn)可微.3.(1)解: (2)解: 4.解: 5證明:, 所以 又因?yàn)?所以6證明：因?yàn)?所以7證明：，所以，8（1）解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得：所以，（2）解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得： ，所以，同理可得：，9解：設(shè)曲線的參數(shù)方程為，切向量為： 原方程兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得： 解得：，。 切向量為： 切線方程為

10、： 法平面方程為：10證明：，在任一點(diǎn)的切平面的法向量為： 切平面方程為： 點(diǎn)(a,b,c)滿足平面方程，所以曲面上任一點(diǎn)的切平面通過點(diǎn)(a,b,c)。11解：令 12解：的參數(shù)方程為： 相應(yīng)的切向量為： 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得內(nèi)法線得方向向量為： 所求方向?qū)?shù)為：13.解:令 14.解:設(shè)矩形的一邊長為x,則另一邊長為(p-x)，繞(p-x)旋轉(zhuǎn),則體積V為: 由問題的實(shí)際意義知有最大值,且駐點(diǎn)唯一,所以當(dāng)邊長為時(shí),繞短邊旋轉(zhuǎn)體積最大.第九章 綜合題1.解:矩形的對(duì)角線為: 當(dāng)時(shí), 所以矩形的對(duì)角線約減少5厘米.2.解:因?yàn)?且所以,.所以函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)同理可得,所以函數(shù)在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在.在點(diǎn),函數(shù)增量與

11、全微分的差為:,所以函數(shù)在點(diǎn)可微.3.(1)解: (2)解: 4.解: 5證明:, 所以 又因?yàn)?所以6證明：因?yàn)?所以7證明：，所以，8（1）解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得：所以，（2）解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得： ，所以，同理可得：，9解：設(shè)曲線的參數(shù)方程為，切向量為： 原方程兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得： 解得：，。 切向量為： 切線方程為： 法平面方程為：10證明：，在任一點(diǎn)的切平面的法向量為： 切平面方程為： 點(diǎn)(a,b,c)滿足平面方程，所以曲面上任一點(diǎn)的切平面通過點(diǎn)(a,b,c)。11解：令 12解：的參數(shù)方程為： 相應(yīng)的切向量為： 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得內(nèi)法線得方向向量為： 所求方向?qū)?shù)為：13.解:令 1

12、4.解:設(shè)矩形的一邊長為x,則另一邊長為(p-x)，繞(p-x)旋轉(zhuǎn),則體積V為: 由問題的實(shí)際意義知有最大值,且駐點(diǎn)唯一,所以當(dāng)邊長為時(shí),繞短邊旋轉(zhuǎn)體積最大.注:本題也可用條件極值的方法完成.第八章測試題答案1.選擇題(1):B (2):B (3):B (4):C (5):D2.填空題: (1): (2): (3): (4):極大值 (5):3求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1):解 (2)解:令(3)解:4.解:對(duì)方程兩邊求微分得: 5解: 6.解:7.解:令: 第九章 測驗(yàn)題1B,B,D,D,B2（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、3（1）解：由對(duì)稱性，有原積分（2）解：由對(duì)稱性，有：原積分

13、=（3）解：交換積分次序，有：原積分4（1）解：（2）解：（3）解：5 解：；由對(duì)稱性，有 6證明：令同理：于是，有 所以，. 得證.第十章重積分第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)11）、；2）、. 2 . 31）、；2）、；3)、；4解： 是有界閉區(qū)域，又. 于是由二重積分中值定理，知：，使= =.第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法1（1）解： （2）解：=3（1）、；（2）、（3）、4（1）解：= （2）解：= （3）解： （D關(guān)于x軸對(duì)稱）=2=2=5解：=第三節(jié) 三重積分1（1）解一：= 解二：因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于變量是奇函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱， 所以 （2）解：=2解：由題設(shè)，知：； 又由對(duì)稱性，有

14、而 ； 故，3（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于變量z是奇函數(shù)，積分區(qū)域關(guān)于面對(duì)稱，所以積分為零.第四節(jié) 重積分的應(yīng)用1 解：2 解：由，有 ，所以 又 ； 因此，3解：因?yàn)?，所?（1）解：因?yàn)樗?； 故，所求質(zhì)心為 （2）解：由對(duì)稱性，有 ，而 故，所求質(zhì)心為 5解：由對(duì)稱性，有 ，而所以 6解：由對(duì)稱性，有 ，由題知， ；所以 故， . 即綜合題1（1）解：（2）解：2（1）或（2） 或3（1）解：交換積分次序.原積分=（2）解：交換積分次序.原積分=（3）分析：為去掉絕對(duì)值符號(hào)，需由曲線將積分區(qū)域分成上、下兩部分解：4.證明：因同理，所以 =

15、. 得證.5（1） （2）6（1） （2）7解：由對(duì)稱性，我們僅需算出第一卦限部分的面積，于是 而的方程為：，于是 其中，所以 故 8（1）解：原積分=（2）解：原積分=9（1）解：原積分（2）解：原積分 . （其中，）10（1）解：由對(duì)稱性，=2（2）解：11解：（由對(duì)稱性）=第十一章 曲線積分與曲面積分第一節(jié) 對(duì)弧長的曲線積分1 填空1） 2） 3）0 2 計(jì)算下列積分1） 解： 2） 解： 第二節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1. 填空1）64 2）0 3）2. 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1） 解： 2） 解：圓周的參數(shù)方程為：，從變到 第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用1. 填空1) 12 2）12解： 3解

16、： 由積分與路徑無關(guān)的條件得 4 利用格林公式計(jì)算下列積分1） 解： 由格林公式 2） 解： 由格林公式 3） 解： 由格林公式 4） 解：因?yàn)?所以是某個(gè)定義在整個(gè)平面內(nèi)的函數(shù)的全微分 第四節(jié) 對(duì)面積的曲面積分1、 解：設(shè)為錐面部分，為的平面部分，則有+ + 3 3 2、(1)解：原式 4 4 -8 (2)解：原式 8 第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、 解：原式 2、 解：由于面積為0，故 原式+ 3、 解：原式 其中，第六節(jié) 高斯公式 通量與散度1(1)解：由高斯公式可得，原式 3 2(2)解：由高斯公式可得，原式 4 2、 解：通量為I 3、 解：divA=第七節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度

17、1、 解：由斯托克斯公式，有原式 + -6 2、 解：rot A= =3、 解：取為面上圓，由斯托克斯公式，有 環(huán)流量I 3 12綜合題1. 原式=+=+=-2設(shè)其重心坐標(biāo)為（）則：=0，同理，=0，=J=(23. 1)過(1,1), (2,4)的直線方程為:.原式=+3=72)原式=5 4.W=F=-2F5.原式=.其中為拋物線在(x,y)點(diǎn)的切線與x軸所成的角度. 所以=.6.設(shè),則, ,原式=-=7.原式=0測驗(yàn)題1.1) 2)0 3)2.1).設(shè): : L:=+=+=2） 設(shè)與坐標(biāo)面的夾角為，則=， L的參數(shù)方程可設(shè)為：原式=3）L的參數(shù)方程為，則原式=4）L：原式=+0=0+0+0=

18、031）。設(shè)S為S的上半球面，則在S上D為S在坐標(biāo)面上的投影原式=2）原式=0+=84由曲線積分與路徑無關(guān)得：=，所以，原式=+=5Q=2第十一章 無窮級(jí)數(shù)第一節(jié)：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1 求級(jí)數(shù)的指定項(xiàng)（1）1，-1/2，1/3（2）1，-1/3，-1/72 求級(jí)數(shù)的指定項(xiàng)（1）（2）（3）3 C4 C5 C6（1）發(fā)散 （2）收斂 （3）發(fā)散 （4）發(fā)散 （5） 收斂 （6）發(fā)散第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1、發(fā)散2、收斂、發(fā)散、收斂、k<1、k>1、k =13、C4、D5、B6、A7、C8（1） 因?yàn)?（2）因?yàn)?（1）因?yàn)椋?）因?yàn)椋?）因?yàn)?0（1）因?yàn)椋?） 因?yàn)?第三節(jié)

19、 冪級(jí)數(shù)1、R=1, (-1,1)2、3、4、（）（）8（1）先求收斂域.由所以收斂半徑R=1（2）先求收斂域.由得收斂半徑R=1第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1、（1） （2）(3) 2、解： 3、解： 第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用1、 解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)， 故第六節(jié) 1、 2、3、解：所給函數(shù)滿足收斂定理的條件，它在點(diǎn)處不連續(xù)，在其他點(diǎn)連續(xù)，從而由收斂定理知的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且當(dāng) 時(shí)級(jí)數(shù)收斂于 。當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂于 ，計(jì)算傅立葉級(jí)數(shù)如下： 由 ，得: 故的傅立葉展開式為：4、 證：由定積分的性質(zhì)知：若是以為周期的周期函數(shù)， 則 的值與無關(guān)，且。 由題意知：均為以為周期的周期函數(shù)，從而均為以為周期的周期函數(shù)，從而 =同理得：=所以命題得證。第七節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)1、 解：對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行周期為的周期延拓，即得一個(gè)周期為偶函數(shù)，按公式（10）有： 由 由于在上連續(xù)，所以 2、 解：對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇延拓，按公式（8）有： 從而得：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于0。第八節(jié) 一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)1、（1）正弦級(jí)數(shù)：將進(jìn)行奇延拓，按公式（4）計(jì)算延拓后的函數(shù)