圓在幾何圖形上滾動的數(shù)學(下)

1、圓在幾何圖形上滾動的數(shù)學（下）111在幾何圖形上滾動的數(shù)學（下）吳乃華C、在折線內側和在封閉圖形內滾動所轉的圈數(shù)1、在折線的內側滾動例24、如圖，線段AB、BC、CD、DE 組成右圖折線，一個半徑為0.5厘米的圓，沿 著折線內側按順時針方向，無滑動地滾，從 切點A沿A B C D到E。如果已 知AB長9.42厘米，DE長6.28厘米，這個 圓滾動了幾周？【解】：這個半徑為0.5厘米的圓，其周長是：0.5X2X3. 14 = 3. 14 （厘米）這個圓從切點A沿A B C D到E,即圓心運動的軌跡從。到d,再到內,圓 在弧DE間跨過，即圓在NDO,E處自身沒有滾動。在這條折線上，圓實際上滾動的距

2、離是AB和DE的距離和，AB和DE的距離和等于 OQ2和。2。3的和。AB和DE的距離和為:9.42+6. 28=15.7 （厘米）所以，這個圓滾動的周數(shù)為：15.7 + 3.14 = 5 （周）因此，我們可以這樣說：圓在折線內側滾動的圈數(shù)，等于圓心的軌跡長度除以圓的周長。2、在圓內滾動例25、一個半徑為1厘米的硬幣，在一個半徑為6厘米的圓中, 從一點出發(fā)，貼這個圓的內周滾動一圈后回到原出發(fā)點，共轉動了幾 圈？【解】：因為半徑為1厘米的硬幣，是貼著半徑為6厘米的圓的內周滾動，所以滾動一周, 它的圓心所形成的軌跡也是一個圓，其半徑是：61 = 5 （厘米）所以，這個半徑為r厘米的硬幣，在半徑為6

3、r厘米的圓中，貼這個圓的內周滾動一圈轉 動的周長是：5X2X%=10萬（厘米）共轉動了： 10萬2萬=5 （圈）如果把上圖沿出發(fā)時的切點處剪開，展開后就猶如例1 一樣，圓的運動路徑就轉化成了 為沿直線運動。例26、一個小圓在一個大圓內不停地滾動，大圓的半徑是小圓的直徑。小圓滾動一周回到原來的位置時，小圓自己旋轉了兒周？【解】：設小圓的半徑為r,因為大圓的半徑是小圓的直徑，所以小圓 圓心到大圓圓心的距離也為ro所以這個小圓滾動一周回到原來的位置時, 圓心所經過軌跡的長度剛好是2 n r,即一個小圓的周長。所以，這個小圓旋轉了 1周。例27、如右圖，在一邊長為8.28厘米的正方形內有一個半徑為1厘

4、 米的小圓，小圓緊貼正方形的內壁滾動一周，小圓自己要轉幾圈？【解工小圓緊貼正方形的內壁滾動一周后，圓心經過的軌跡為一個 邊長6.28厘米（8.28-1-1）的正方形，其長度為6.28X4=25.12 （厘米）這個長度也等于小圓的圓周一共所滾過的長度。小圓自己轉一圈的長度為：3.14X2=6.28 （厘米）25.124-6.28=4 （圈）例28、在矩形ABCD中，AB = 6, BC=4,有一個半徑為1 的硬幣與邊AB、AD相切，硬幣從如圖所示的位置開始，在矩 形內沿著邊AB、BC、CD、DA滾動到開始的位置為止，硬幣自 身滾動的圈數(shù)大約是（）圈（2013年貴州省貴陽市市中考數(shù) 學試題）【解】

5、：如圖，連接AD、AB與。O的切點E、F,則OE_L這個正方形的邊長是：10 2 2 = 6 （厘米）所以，圓心運動的路線長度是：6X4 = 24 （厘米）例31、已知。O的半徑為r,在正三角形ABC內，或者在正五邊形ABCDE內，且與正 三角形ABC或者在正五邊形ABCDE的兩鄰邊分別相切，如果從某點出發(fā)點出發(fā)后滾動一周后有回到出發(fā)點，請畫出。分別在正三角形、正五邊形中圓心運動的路線圖?！窘狻浚喝缦聢D:若一個半徑為r的圓在一個多邊形內，保持與多邊形的邊相切，滾動一周后，圓心運動所形成的軌跡也是一個多邊形，且這兩個多邊形相似。D、滾動掃過的面積1、圓在封閉圖形外滾動掃過的面積題32、一枚直徑為

6、2cm的伍角硬幣，沿著邊長為6cm的等邊三角形 外圍邊緣無滑動地滾動一周，伍角硬幣經過的面積是多少平方厘米?【解】：滾過的面積分為兩個部分：一是三個長方形，其面積為:6X2X3 = 36 (cm2)二是三個扇形，每個扇形的半徑都是2cm,圓心角為120。，其面積為:1202X2X3. 14X X3=12.56 （cm2）360所以，伍角硬幣經過的面積是：36 + 12. 56=48.56 （cm2）題33、如圖，有一個等腰梯形，它的一個底角是60。，上底是3厘米，下底是6厘米，在梯形的邊上緊挨著一個半徑是1厘米的圓形.圓形緊挨著繞梯形外圍滾一動一圈，則圓形經過部分的面積是一平方厘米.（取3.1

7、4）（六年級第二（7）屆“容達杯”數(shù)學智能競賽二試試題）/解：圓形緊挨著繞梯形外圍滾動一圈，如下圖所示，得到4個 /長方形和一個圓，上面的長方形長3厘米，寬是的直徑2厘米。上下兩個長方形的面積和是：（3+6） X2=18 （平方厘米）兩側的長方形長是梯形的腰，作一腰的平行線得到一個平行四邊形和一個三角形，因為 底角是60。，知此三角形是等邊三角形，所以腰長6 3 = 3厘米，.3cm其面積是：3X2X2=18 （平方厘米）/ T在梯形的4個頂點處，以各頂點為圓心，以小圓直徑為半徑 / / 一的4部分，合在一起，剛好是一個整圓，這個圓的半徑是2厘米， 1-X 其面積是；7LJ_LX6Gm3.14

8、X2X2=12.56 （平方厘米）所以，圓形經過部分的面積是：18+12+12.56=42.56 （平方厘米）題34.如圖，一個直徑為1厘米的圓繞邊長為2厘米的正方形滾動一周后回到原來的位置.在這個過程中，圓面覆蓋過的區(qū)域（陰影部分）的面積是 平方厘 米.（兀取3） （2014年第十二屆小學“希望杯”全國數(shù)學邀請賽六年級第 一試試題）解：陰影部分的面積是長2厘米，寬1厘米的四個長方形的面積+半 徑是1厘米的圓的面積。長方形的面積：2X1X4 = 8 （平方厘米）.圓的面積：1?x3 = 3 （平方厘米）.所以，圓面覆蓋過的區(qū)域（陰影部分）的面積是8 + 3=11 （平方厘米）。2、圓在封閉圖形

9、內滾動掃過的面積例35、如圖，一個長方形電動玩具，長8.28厘米，寬5.14厘米，和一個半徑為1厘米 的小圓盤，小圓盤繞長方形盤滾動一周，掃過長方形盤的面積.【解法一】：長方形的面積:8.28X5.14=42. 5592 （平方厘米） 中間沒繞到的面積：（8.28-2X2） X （5.14-2X2） =4.8792 （平方厘米） 小圓盤的面積：1X1X3. 14 = 3. 14 （平方厘米） 四角每繞到的面積：2義2 3. 14 = 0. 86 （平方厘米） 所以，掃過長方形盤的面積是：42. 5592-4. 8792-0. 86 = 36. 82 （平方厘米）【解法二】我們把小圓盤掃過的地方

10、分塊來計算它的面積 四角各有一個半徑為1厘米的90度的扇形，其面積和為: 1X1X3. 14 = 3. 14 （平方厘米）東西兩外側各有一個涂有小方格的長方形，其面積和為： （5.14-2） X1X2=6. 28 （平方厘米）東西兩內側各有一個空白長方形，其面積和為：（5.14-4） X1X2 = 2.28 （平方厘米）上下兩方各有一個涂有斜線的長方形，其面積和為： （8.28-2） X2X2=25. 12 （平方厘米）所以，小圓盤掃過長方形盤的面積是：3.14+6.28 + 2.28 + 25. 12 （平方厘米）題36、如右圖，一個正方形邊長為15厘米，內有一個半徑為3厘米的圓片，圓片緊貼

11、 正方形內壁作無滑動的滾動一周，圓片滾動時掃過的面積是多少平方厘米？ （11取3.14） （20122013世界少年奧林匹克數(shù)學競賽（四川區(qū)）選拔賽六年 級決賽試題）解：如右圖，圓形滾動過的面積為陰影部分，圓形滾動過的面積=正方形的面積一空白 處面積.L一空白處面積=4個直角處空白面積+中心正方形的面積.1、求外國大正方形的面積：15X15=225 （平方厘米）；2、4個直角處空白面積：6X6 3?X3. 14 = 7.74 （平方厘米）.3、中心空白處面積：（15 6X2） 2=9 （厘米）4、求圓形滾動過的面積：225-7. 74-9 =208.26 （平方厘米）.題37、在一個邊長為10

12、厘米的正方形內，有一個半徑為2厘米的圓片，圓片緊貼著正 方形的內壁運動，求它掃過的面積.解法1：圓片所掃過的面積是一個寬為2X2=4 （厘米）的方框，再減去四 個角上的4個燕尾形。中間沒掃過的寬度：104X2=2 （厘米）10X10-22-（ 22 -3.14X 22 xl） X4 = 92.56 （平方厘米）.4E、綜合練習例38、如圖，用四個邊長為10厘米的正方形拚成圖3的形狀，現(xiàn)有一個半徑為2厘米的小圓緊靠此圖形內側滾動一圈后回到出發(fā)點，求圓心經過的路線的長 度是多少厘米？（提示，注意轉角處是扇形）【解】：如圖所示，虛線所表示的就是小球圓心經過的路線，由題意可知，虛線圖形的上邊為304=26 （厘米），左邊=右邊=下邊=104=6 （厘米），2中間四條邊的和：（102） X4+2X3.14X-=38.28 （厘米）,2圓心經過的路線的長度是：26 + 6+6+6 + 38.28 = 82.28 （厘米）；所以，圓心經過的路線的長度是82.28厘米.圓在幾何圖形上滾動的數(shù)學（下）例39、一個圓在正五角形外側A處開始與正五角形的邊相切滾動，如果BC的長度等于 圓周長，那么當此圓滾回原出發(fā)點A處時，它轉了幾圈？【解】：解答本題，要注意的是，圓在正五角形外側滾動，遇到