自學(xué)考試專題-工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料線性代數(shù)部分

1、工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料-線性代數(shù)部分一、 單選題1. 下列各式正確的是（ ）。A、B、C、D、2. 行列式（ ）。A、-1 B、0 C、1 D、23. （ ）。A、 B、C、 D、4. ，（）。A、-1 B、1 C、-2 D、25. 若行列式，則（ ）。A、 B、 C、 D、且6. 若行列式，為元素的代數(shù)余子式，下列各式正確的是（ ）。A、 ， B、 ， C、 ， D、 ，7. （ ）。A、 B、 C、 D、 8. =（ ）。A、 B、C、 D、9. =（ ）。A、 B、C、 D、10. =（ ）。A、 B、C、 D、11. =（ ）。A、 B、B、 C、 D、12. 為方陣，（ ）。A、 B、C、

2、 D、13. 為階方陣，（ ）。A、 B、C、0 D、14. 設(shè)A、B為可逆矩陣，則分塊矩陣 的逆矩陣是（ ）。 A、 B、 C、 D、 15. 設(shè)A、B為可逆矩陣，則分塊矩陣的逆矩陣是（ ）。 A、 B、 C、 D、 16. 設(shè)所有的運算均可行，則在一般情況下，下列命題中正確的是（ ）A、 B、C、 D、17. 設(shè)是行列式，是元素的代數(shù)余子式，下列等式中正確的是（ ）A、 B、 C、 D、 18. 設(shè)向量組，當滿足（ ）時，不能由線性表示。A、 B、 C、 D、或19. 均為階方陣，滿足且，則必有（ ）A. B、 C、 D、20. 設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩則的基礎(chǔ)解系中含有（ ）個向

3、量。A、 B、 C、 D、 21. 設(shè)階方陣可逆且滿足，則必有（ ）A、 B、 C、 D、22. 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是常數(shù)（ ）A、 B、 C、 D、 23. 設(shè).為可逆矩陣，則分塊矩陣的逆矩陣是（ ）A、 B、 C、 D、 24. 設(shè)為矩陣,則方程組有無窮多解的充要條件是（ ）A、 B、 C、 D、 25. 設(shè)，則的特征值是（ ）A、 B、 C、 D、26. 設(shè)均為階方陣，則下列命題不正確的是（ ）A、 B、 C、 D、 27. 排列（，）的逆序數(shù)為（ ）A、 B、 C、 D、 28. 下列向量組中，線性無關(guān)的向量組是（ ）A、 B、C、 D、29. 設(shè)均為階方陣且可逆，為

4、的行列式，則下列命題中不正確的是（ ）A、 B、 C、 D、30. 設(shè)表示兩向量的內(nèi)積，為非零向量，下列命題中不正確的是（ ）A、 B、正交C、 D、31. 設(shè)均為階方陣，則下列命題不正確的是（ ）A、 B、 C、 D、 32. （ ）A、 B、 C、 D、33. 排列（，）的逆序數(shù)為（ ）A、 B、 C、 D、 34. 的最大無關(guān)組是（ ）A、 B、 C、 D、 35. 下列命題中正確的是（ ）A.若是一組線性相關(guān)的維向量，則對于任意不全為的數(shù)，均有B.若是一組線性無關(guān)的維向量，則對于任意不全為的數(shù)，均有C.如果向量組中任取個向量所組成的部分向量組都線性無關(guān)，則這個向量組本身也是線性無關(guān)的D

5、.若線性相關(guān)，則其中任何一個向量均可由其余向量線性表示36. 設(shè).為可逆矩陣，則分塊矩陣的逆矩陣是（ ）A、 B、 C、 D、 37. 設(shè)使，則的值（ ）A、 B、C、 D、38. 下列命題中正確的是（ ）A. 設(shè)是的解，則是的解B. 設(shè)是的解，則是的解C. 設(shè)是的解，則是的解D. 設(shè)是的解，則是的解39. 設(shè)是正交矩陣，則下列命題中不正確的是（ ）A. B、 C.的列向量是兩兩正交的向量 D、 的行向量都是單位向量且兩兩相交40. 已知階方陣適合，則必有（ ）A、 B、C、可逆 D、41. 表示的轉(zhuǎn)置距陣，則下列命題不正確的是（ ）A. B、C、 D、42. 排列（1，8，2，7，3，6，4

6、，5）是（ ）A、奇排列B、偶排列C、非奇非偶D、以上都不對43. 已知向量組線性無關(guān)，則下列命題正確的是（ ）A、線性無關(guān)B、線性無關(guān)C、線性無關(guān)D、線性無關(guān)44. 設(shè)為階方陣，若則的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)是（ ）A、零個（即不存在） B、 個 C、 個 D、 個45. 下列命題中不正確的是（ ）A. 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的B. 屬于同一特征值的特征向量只有一個C. 兩個相似矩陣的特征值相同D. 對稱矩陣對應(yīng)于兩個不同特征值的特征向量是正交的46. 矩陣的秩為（ ）。A、0 B、C、2 D、347. 矩陣的秩為（ ）。A、0 B、C、2 D、348. 矩陣的秩為（ ）。A、0 B

7、、C、2 D、349. 矩陣的秩為（ ）。A、0 B、C、2 D、350. 矩陣的秩為（ ）。A、0 B、C、2 D、351. 21若三個非零3維向量共面，則這三個非零3維向量（ ）。A、線性無關(guān) B、線性相關(guān)C、任意一個都不能由其余兩個表示 D、以上都不對52. 若三個非零3維向量不共面，則這三個非零3維向量（ ）。A、線性無關(guān) B、線性相關(guān)C、至少一個都能由其余兩個表示 D、以上都不對53. 若三個非零3維向量共面，則非零3維向量組的秩為（ ）。A、1 B、2C、3 D、以上都不對54. 若三個非零3維向量不共面，則非零3維向量組的秩為（ ）。A、1 B、2C、3 D、以上都不對55. 2

8、54個非零3維向量一定（ ）。A、線性無關(guān) B、線性相關(guān)C、任意一個都不能由其余3個表示 D、以上都不對56. 為方陣，若，則的所有行構(gòu)成的行向量組一定（ ）。A、線性無關(guān) B、線性相關(guān)C、任意一個向量都不能由其余向量表示 D、以上都不對57. 為方陣，若，則的所有行構(gòu)成的行向量組一定（ ）。A、線性無關(guān) B、線性相關(guān)C、至少有一個向量能由其余向量表示 D、以上都不對58. 為矩陣，若，則的所有行構(gòu)成的行向量組一定（ ）。A、線性無關(guān) B、線性相關(guān)C、至少有一個向量能由其余向量表示 D、以上都不對59. 為矩陣，若，則的所有行構(gòu)成的行向量組一定（ ）。A、線性無關(guān) B、線性相關(guān)C、任意一個向量

9、都不能由其余向量表示 D、以上都不對60. 為方陣，若，則的所有列構(gòu)成的列向量組一定（ ）。A、線性無關(guān) B、線性相關(guān)C、任意一個向量都不能由其余向量表示 D、以上都不對一、 填空題1. 2. 3. = 。4. = 。5. 。6. 。7. 設(shè)行列式D=3，D1=，則D1 = 。8. 。9. 。10. 。11. 。12. 設(shè)矩陣，則 13. 設(shè)為同階可逆方陣，則也可逆，且= 。14. 矩陣的行秩等于矩陣的 15. 設(shè)向量組向量組的秩等于 16. 17. 若階矩陣滿足方程，則 18. 設(shè)為5階方陣，且3，則 , , 19. 有二次多項式，若，則= 20. 設(shè)向量組，則它們線性關(guān)21. 設(shè) 22.

10、設(shè)，則 23. 若有階可逆矩陣，則可逆，且 24. 設(shè)則 由 線性表出式為25. 若向量組線性相關(guān)，則 。26. 4階行列式中所有包含并帶有負號的項是 27. 設(shè)矩陣，則，則 28. 設(shè)是階方陣，則是非奇異方陣的充分必要條件是 29. 設(shè)，則 由 線性表出式為30. 設(shè)是方陣的兩個特征值，分別是對應(yīng)于的特征向量，則必 。31. 矩陣=的特征值為 。32. 矩陣=的特征向量為 。33. 矩陣的特征值為1,2,3，則的特征值為 。34. 矩陣的特征值為1,2,3，則的特征值為 。35. 對應(yīng)于實對稱矩陣的不同特征值的特征向量一定兩兩 。36. 階實對稱矩陣存在 個兩兩正交的特征向量。37. 相似矩

11、陣的特征值 。38. 若矩陣滿足，則稱為 矩陣。39. 若矩陣為正交矩陣，則 。40. 正交矩陣的行向量組中每一個向量都是單位向量，且兩兩 。三、解答題1.設(shè)A是二階矩陣，且,求矩陣A的行列式。 解 由于A是二階矩陣，所以A恰有兩個特征值，由題設(shè)及特征值的定義知是矩陣A的特征值，又，于是所以是矩陣A的特征值，因此2.設(shè)，求可逆矩陣P，使得為對角矩陣. 解 矩陣A的特征多項式為,于是A的特征值為. 對于特征值，由方程組求得屬于的一個特征向量 對于特征值，由方程組求得屬于的一個特征向量 對于特征值，由方程組求得屬于的一個特征向量, 則有.3.，求可逆矩陣,使得為對角矩陣.解 矩陣A的特征多項式為于

12、是A的特征值為對于特征值，由方程組求得屬于的一個特征向量. 對于特征值，由方程組求得屬于特征值2的兩個線性無關(guān)特征向量令,則有4.矩陣能否對角化？ 解 矩陣A的特征多項式為,于是A的特征值為對于二重特征值由于矩陣的秩為2，所以3元線性方程組的基礎(chǔ)解系由一個向量構(gòu)成，即屬于二重特征值的線性無關(guān)特征向量只有一個，所以矩陣A不能對角化.5. 設(shè)3階矩陣A的特征值為1，2，3，屬于特征值1，2，3的特征向量依次為 求矩陣A. 解 由題設(shè)得故.由于是屬于不同特征值的特征向量，所以線性無關(guān)，于是矩陣可逆，且 ,所以6. 設(shè)二次型經(jīng)正交變換化為標準型求a, b的值. 解 二次型的矩陣為由于在正交變換下的標準

13、型為所以矩陣A的特征值為于是即解得7. 判斷下列二次型是否正定？（1）（2）解： （1）二次型的矩陣為,由于3>0，>0 >0，根據(jù)定理6.6知矩陣A是正定的，所以二次型為正定型二次型. （2）二次型的矩陣為由于2>0，>0 <0，根據(jù)定理6.6知矩陣B不是正定的，所以二次型不是正定型二次型.8. 設(shè)二次型當t為何值時，為正定二次型.解： 二次型的矩陣為二次型正定的充分必要條件是A的各階順序主子式均大于零，即解得從而當時，二次型為正定二次型.9.設(shè)，對于，求.解 由于 ，.故.可見，方陣的多項式仍為一個方陣.10.求下列齊次方程組的一個基礎(chǔ)解析與通解.解.則

14、 令，.得基礎(chǔ)解系，.于是方程組的通解為 （，為任意常數(shù)）.11. 求下列齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系與通解.解.則得基礎(chǔ)解系，.通解為 （，為任意常數(shù)）.12. 設(shè)線性方程組當為何值時，方程組有非零解？此時求出通解.解.所以當時，<，方程組有非零解，此時.于是通解為 ，為任意常數(shù).13. 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為，且有3階非零矩陣使得，求的值.解 設(shè)，其中為三維列向量，由于，則 即矩陣的每一列均為方程組的解，又為非零矩陣，故方程組有非零解，從而，于是.14. 求矩陣的全部特征值和特征向量.解 ，所以矩陣有兩個特征值.對于特征值，解齊次方程組，即求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量

15、是，是不為零的任意常數(shù)對于特征值，解齊次方程組，即求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).15. 求矩陣的全部特征值和特征向量.解 ，所以矩陣的特征值.對于特征值，解齊次方程組，對系數(shù)矩陣進行初等變換求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).對于特征值，解齊次方程組，對系數(shù)矩陣進行初等變換求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).16. 求矩陣的全部特征值和特征向量.解 ，所以矩陣有3個不同的特征值.對于特征值，解齊次方程組，對系數(shù)矩陣進行初等變換求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).對于特征值，解齊次方程組，對系數(shù)矩陣進行初等變換求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).對于特征值，解齊次方程組，對系數(shù)矩陣進行初等變換求得基礎(chǔ)解系，所以矩陣屬于特征值的全部特征向量是，是不為零的任意常數(shù).17. 已知二階實