專升本高等數學習題集與答案

1、A. 2B.gC.不存在D. 0第一章函數一、選擇題1 .下列函數中，C 不是奇函數A. y = tan x xB. y = x2 . 2C. y =(x 1) (x - 1)D. y = sin xx2 .下列各組中，函數 f (x)與g(x) 一樣的是【】3 - 322A. f (x) = x, g(x) = xB. f (x) =1, g(x) = sec x -tan x,x2 -12C. f (x) = x-1, g(x) = d. f (x) = 2ln x, g(x) = In xx 13.下列函數中，在定義域內是單調增加、有界的函數是1】A. y =x+arctan xB. y

2、 =cosxC. y = arcsin xD. y = x sin x4 .下列函數中，定義域是叼+g,且是單調遞增的是【】A.y = arcsinxB.y = arccosxC.y = arctanxD.y = arccot x5 . 函數y = arctan x的定義域是 【】A.（0,二）B.（_-2,-2）C.-2,2D.（-二,+二）6 .下列函數中，定義域為-1,1,且是單調減少的函數是【】A. y = arcsin xB. y = arccosxC. y = arctan xD. y = arccot x7 .已知函數y =arcsin( x+1),則函數的定義域是【】A. (y

3、,二)B. 7,1C. (f 二)D. -2,08 .已知函數y =arcsin( x+1),則函數的定義域是【】A.(-二，二)B. -1,1C.(-二，二)D. -2,09 .下列各組函數中，【A】是相同的函數A. f(x)=lnx2和 g(x)=2lnxB. f (x) =|x 和 g ( x )= Vx2C. f (x) =*和 g(x )= (Vx)2D. f (x) = sin x和 g(x) = arcsinx10 .設下列函數在其定義域內是增函數的是【】A. f(x)=cosxB. f (x) = arccosxC. f (x) = tan xd. f (x) = arctan

4、 x11 .反正切函數y = arctan x的定義域是【B. (0,二)n jiA. (力C.(-:,:)A. y = xarcsin xB. y = xarccosx2C. y = xarccot xD. y = x arctanx13.函數y =、in sin3 x的復合過程為 【a】A. y =5/U,u =ln v,v = w3, w =sinx B. y = 5；u3 ,u = In sin xC. y =5/ln u3 ,u =sin xD. y = VU,u = In v3 ,v = sin x二、填空題xx ,1. 函數 y =arcsin- + arctan的je義域是55

5、 x2. f (x) = Jx 2 +arcsin -的je義域為 .x 13. 函數f (x) = Jx+2+arcsin的定義域為。34. 設 f (x) =3x, g(x) =xsin x，貝U g( f (x) =. 2_5. 設 f (x) =x , g(x) =xln x,則 f (g(x) =.6. f (x) =2x,g(x) =xln x,貝U f (g(x) =.7. 設 f(x) = arctan x,則 f(x)的值域為.28. 設 f(x)=x +arcsinx,則定乂域為 .9. 函數y =ln( x +2) +arcsin x的定義域為 .2 一10. 函數y=s

6、in (3x+1)是由 復合而成。第二章極限與連續(xù)一、選擇題1 .數列4有界是數列4收斂的【】A.充分必要條件B.充分條件C.必要條件D.既非充分條件又非必要條件2 .函數f(x)在點x0處有定義是它在點 x0處有極限的 【】A.充分而非必要條件B.必要而非充分條件C.充分必要條件D.無關條件k_-22A. 2 B. -2C. eD. e4. 極限lim sin 2x =【】x 二 x15. 極限1m(1+sin x)x =】A. 1B. ooC.不存在D. ex2 -16. 函數f(x) =F,下列說法正確的是【】.x2 3x 2A. x=1為其第二類間斷點B. x=1為其可去間斷點C. x

7、 = 2為其跳躍間斷點D. x = 2為其振蕩間斷點x7. 函數f(x)=的可去間斷點的個數為【】.sin 二 xA. 0B. 1C. 2D. 3x2 -18. x=1為函數f(x)=F的【】.x -3x 2A.跳躍間斷點B.無窮間斷點C.連續(xù)點D.可去間斷點9 .當xt 0時，x2是x2 x的【】B.高階無窮小A.低階無窮小C.等價無窮小D.同階但非等價的的無窮小10 .下列函數中，定義域是-1,1,且是單調遞減的是【A. y = arcsin xB. y = arccos xC. y = arctan xD. y = arccot x11 .下列命題正確的是【】A.有界數列一定收斂B.無界

8、數列一定收斂C.若數列收斂，則極限唯一D.若函數f(x)在x = x0處的左右極限都存在，則 f(x)在此點處的極限存在12 .當變量xt 0時，與x2等價的無窮小量是A . si nx b. 1 -cos2xx2 213.x=1是函數f (x)=-一的【】.x -1A.無窮間斷點B.C.跳躍間斷點D.14 .下列命題正確的是 【】A.若 f (x0) = A ,則 lim f (x) = A x闿C.若lim f(x)存在，則極限唯一 X x15 .當變量xt 0時，與x2等價的無窮小量是A. tanx B. 1 -cos2xC.C. ln 1 x2D.e2x -1可去間斷點連續(xù)點B.若 l

9、im f(x) = A,則 f(x0)=Ax x)D.以上說法都不正確【 】ln 1x2D. e2x -116.x=0是函數f (x)x2+1x I的1 -cos2x17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.A.無窮間斷點C.跳躍間斷點f (x0+0)與f (x0 0)都存在是A.必要條件B.可去間斷點D.連續(xù)點f(x)在x0連續(xù)的【B.充分條件C.充要條件當變量xt 0時，與x2等價的無窮小量是A. arcsin xB . 1 - cos2xD.無關條件2C. ln 1 x2x -D. e -1x=2是函數f(x)A.無窮間斷點C.跳躍間斷點x2 -1x2 -

10、3x 2B.D.可去間斷點連續(xù)點Un收斂是 Un有界的【A.充分條件c.充要條件下面命題正確的是【A.若Un有界，則Un發(fā)散 C.若Un單調，則Un收斂卜面命題錯誤的是【A.若Un收斂，則Un有界C.若Un有界，則Un收斂極限limp13x)xB.必要條件D.無關條件B.D.B.D.A.二極限lim(1x0B. 01-3x)，C.D.A.二極限lim(14A. eB. 02-2x)xB. 1x=1是函數f(x)A.連續(xù)點x = -2是函數A.連續(xù)點x = 2是函數B.C.D.C.3x - xD.x2 x -2可去間斷點3x - xf(x) =2。x x -2B.可去間斷點x2 -4若Un有界,

11、若Un收斂,若Un無界,Un收斂Un有界Un發(fā)散若Un單調有界，則Un收斂.4 eC.無窮間斷點C.無窮間斷點D.跳躍間斷點D.跳躍間斷點A.連續(xù)點B.可去間斷點C.無窮間斷點D.跳躍間斷點29.下列命題不正確的是【A.收斂數列一定有界B.無界數列一定發(fā)散30.C.收斂數列的極限必唯一,X2 -1 ，一 E極限1而1的結果是x 1 x -1D.有界數列一定收斂A. 2B. -2C. 0一 一1一31.當x-0時，xsin是【】xD.不存在A.無窮小量 B.無窮大量 C.無界變量sin x32. x=0是函數f(x)=sS的【】.xD.以上選項都不正確A.連續(xù)點33.設數列的通項A. &n發(fā)散B

12、.可去間斷點C.跳躍間斷點 D.無窮間斷點xn =1 +H-，則下列命題正確的是【】nB. xn無界C. xn收斂D.單調增加34.35.36.37.38.39.40.2一 x - x極限limx的值為【】xT xA. 1B. -1當xt 0時，xsinx是x的【C. 0D.不存在A.高階無窮小B.同階無窮小，但不是等價無窮小C.低階無窮小D.等價無窮小一一，1,x=0是函數f(x)=的【】.1 - eA.連續(xù)點B.可去間斷點C.跳躍間斷點D.無窮間斷點觀察下列數列的變化趨勢，其中極限是A. xnC. xnB.xn的數列是【極限lim x 0 x的值為【D.xnA. 1B.-1C. 0D.不存

13、在卜列極限計算錯誤的是A. Imsin x ,二1sin x ,二1C. lim(11)x = ex ? -xD. lim(1 x)x = ex =1是函數f (x)=2x -xx 2A.連續(xù)點B.可去間斷點C.無窮間斷點D.跳躍間斷點41.當xt 時，arctanx的極限【冗 A.=2冗B.= -一2C.-：D.不存在42.下列各式中極限不存在的是A. limx二x3 -x 72x -1B.limx2-1x 1 2x2 -x -143.44.45.46.47.48.49.C. limx一wsin 3xD.媽 x2 x cos1無窮小量是【】A.比0稍大一點的一個數C.以0為極限的一個變量1極

14、限 lim(1 -x)A.二B. 1C.B.一個很小很小的數D. ex=1是函數f (x)A.可去間斷點x=0是函數f(x)A.連續(xù)點A. 11 - j xsin 一的值為xB.二x二1 的x -1B.跳躍間斷點,1cxsin x ： 0 x 的1 exx_0B.可去間斷點C.不存在當xt=o時下列函數是無窮小量的是x - cosxA. B.x2 1 設 f (x)=2x 1C.無窮間斷點C.跳躍間斷點D.D.連續(xù)點D.無窮間斷點一一2 一._sin x x - sin xC.D. (1 -)xxx ： 0,則下列結論正確的是 【x -0A. f (x)在x=0處連續(xù)C. f(x)在x=0處無

15、極限B. f (x)在x = 0處不連續(xù)，但有極限D. f (x)在x = 0處連續(xù)，但無極限二、填空題1.當xT 0時，1cosx是x2的無窮小量.2.sin xx=0是函數f (x) 廠的 x間斷點.3.1 lim (1 -) x j0x2x 1I4. 函數f(x)=arctan的間斷點是 x=。x -12 xx (e -1)5. lim=.x0 x -sin xsin x 06 .已知分段函數f(x) = Jx-X:0連續(xù)，則a=x a, x 連續(xù)，則a=x +a, x 0一 .1 x9 .由重要極限可知，%(1+丁)x=.sin x -1一，、.x 1 ,10 .知分段函數f(x) =

16、 x-1 連續(xù)，則b =x -b,x 1111. 由重要極限可知，州1 +2x) =.一.3.2 . 一是高階無窮小量12. 當 x-1 時，x33x+2 與 x In x 相比，2n 5 113. lim 1=-2n 14. 函數f(x)=x9的無窮間斷點是 x= x -2x-315. lim 包紅=x 0 3x1 3n 516. nm 1 I =.17. 函數 f(x)=1x9一 的可去間斷點是 x= x2-2x-3x 120.函數f(x)=F的可去間斷點是 x=x 3x -4是高階無窮小量21.當xt0時，sin x與x3相比，22.、1計算極限nim 1 n, 2x 1, x 023.

17、設函數f fx)=/，在x=0處連續(xù)，則2 =x - a, x _ 024 .若當xt1時，f(x)是x1的等價無窮小x25 .計算極限 lim l - i =.26. xe , 設 f(x)=x a,x一. xx 0 一29 .為使函數f(x)=S ,在定義域內連續(xù)，則 a=x a, x _030 .當x-0時，1 cosx與sin x相比，是高階無窮小量.2 ,331 .當x-0時，4x與sin x相比，是局階無否小重.232 .當x-i時，(x 1 )與sin(x1)相比，是高階無窮小量x33 .若 lim 1 + =e3,則 k =. xx 134. 函數 f(x)=-2的無否間斷點是

18、 x=x -3x-435.極限limo一236 .設 f (x ) = xsin,求 lim f(x)=XXT:產cosx, x : 037 .設函數f(x) =,在x=0處連續(xù)，則a =a 、x, x - 0一 一 sinx38 . x = 0是函數f (x)= 一廠廠的 (填無窮、可去或跳躍)間斷點x 139 .函數f(x)=F的可去間斷點是 x=x2 -2x -32 x40 . lim 1 - 1 = x三、計算題1.求極限lim x3 12x -4x 2x2 -42.求極限cos3x - cos2 xlim 2 -x 0 ln(1 x )3.求極限4.求極限5.求極限6.求極限2(ex

19、 -1)limx-0 xln(1 -6x)(ex -1)sinx lim x-0 xln(1 -6x)(1 -cosx)sin x lim -2x Q x ln(1 -6x)1 - cosxlim 2xx 0 x(e -1)7.求極限1 cosx8.求極限limX.12ln(1 x )2I 1 一0)的導數.26 .求由方程xy+e“ ey =0所確定的隱函數 y,求函數在x = 0處的微分dy.27 .設丫 =f(sin 2x)f,其中f是可微函數，求y28 .設 y =ex cos3x,求 dy.xdy 二29 .求由方程xy = ex_y所確定的隱函數y的導數 業(yè),如 dx dx30.求

20、由方程ex -ey = sin(xy)所確定的隱函數 y的導數 器,當31 .設函數 f(x) =ln(x+Jl+x2),求 f(x)和 f(0)32 .求曲線!x =2e在t =0相應點處的切線方程與法線方程.y =ei33 .已知y是由方程siny+xey =0所確定的隱函數，求y的導數dy,以及該方程表示的曲dx線在點(0,0件切線的斜率。34.設函數 y =cos3 x sin3x ,求 dy.四、綜合應用題x = ln t 2t1.求9在t =1相應點處的切線與法線方程y =t2 2x = ln t 3t -2.求49 在t =1相應點處的切線與法線方程y =t2 1x = In t

21、 3t -3.求 在t =1相應點處的切線與法線方程y =e t第四章 微分中值定理與導數應用、選擇題1.設函數f(x)=sinx在0,冗上滿足羅爾中值定理的條件，則羅爾中值定理的結論中的 自=【 】A 二B. 2,32 .下列函數中在閉區(qū)間1,e上滿足拉格朗日中值定理條件的是1A. In xb. In In xC.In x3 .設函數f (x) =(x1)(x2)(x3),則方程 尸(刈=0有【冗 D.4D. ln(2- x)A. 一個實根C.三個實根B.二個實根D.無實根4. 下列命題正確的是【】A.若f (x。)= 0 ,則x0是f (x)的極值點B.若凡是f (x)的極值點，則廠(比)

22、=0C.若 f。0)=0 ,則(Xo, f(x0 )是 f(x)的拐點D.(0,3 聲 f (x) = x4+2x3+3 的拐點5 .若在區(qū)間I上，f (x) 0, f (x) 0,則曲線f (x)在I上【A.單調減少且為凹弧B.單調減少且為凸弧C.單調增加且為凹弧D.單調增加且為凸弧6 . 下列命題正確的是【】A.若f (x。)= 0 ,則%是f (x)的極值點B.若凡是f (x)的極值點，則(%)=0C.若 f (xo) =0 ,則(x, f (x )是 f(x)的拐點D. (0,3 W f (x) = x4+2x3+3 的拐點7 .若在區(qū)間I上，f (x) 0, f *(x) 之0,則曲

23、線f (x)在I上【A.單調減少且為凹弧B.單調減少且為凸弧C.單調增加且為凹弧D.單調增加且為凸弧10 .函數y=x25x+6,在閉區(qū)間2,3上滿足羅爾定理，則七=【】A. 0B. C. -D. 22211.函數y=x2x 2在閉區(qū)間一1,2上滿足羅爾定理，則=【】12.A. 0函數yA. 01B.2Jx2 +1,在閉區(qū)間1B.2C. 1D. 2-2,2上滿足羅爾定理，則 =C. 1D. 213 .方程x4 x -1 =0至少有一個根的區(qū)間是【】A.(0,1/2) B.(1/2,1) C. (2, 3) D.(1,2)14 .函數y=x(x+1).在閉區(qū)間1,0 上滿足羅爾定理的條件，由羅爾

24、定理確定的巳=【】A. 0B. -C. 1 D. 一2215.已知函數f(x)=x3+2x在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內可導，則拉格朗日定理成立的是【B. 3C.31D.316.設y=x3+27,那么在區(qū)間（-o,3）和（1,此）內分別為【A.單調增加，單調增加 C.單調減小，單調增加B.單調增加，單調減小D.單調減小，單調減小二、填空題321. 曲線f（x）=x -3x +5的拐點為.2. 曲線f （x） =xe2x的凹區(qū)間為 。3. 曲線 f （x） =x3 -5x2 +3x+5 的拐點為.24. 函數y=2x lnx的單調增區(qū)間是 .5. 函數y =ex x -1的極小值點為

25、 .326 .函數y=2x 9x +12x3的單調減區(qū)間是 .27 . 函數y=2x lnx的極小值點為 .8 . 函數y =ex -x的單調增區(qū)間是 .9 . 函數y = x 2x的極值點為 .10 .曲線y =x4 +2x3 +6在區(qū)間（-,0）的拐點為.11 .曲線y =x3 +3x2 +1在區(qū)間（,0）的拐點為.12 .曲線y =x3 -3x2 +6的拐點為.13 .函數y =2x3 -6x2 +12x8的拐點坐標為3_ 2 ,14 .函數y =2x -3x在x =有極大值.15 .曲線y = x+arctan x在x = 0處的切線方程是 .16 .曲線y =3x4 -4x3 +1在

26、區(qū)間（0,）的拐點為.17 .過點（1,3）且切線斜率為2x的曲線方程是y =三、計算題1.求極限1ex -1一 11求極限lim()2x 0 x sin x3.求極限ex -xTln(1 x2)x 14 . 求極限 lim（-）x1 x-1 ln x5 .求極限 lim（，1一）J0 x xsin x1 1 .6. 求極限叫（一一一-）7. 求極限lim2x 0x(ex -1)四、綜合應用題1 .設函數 f(x)=2x3 3x2+4 .求(1)函數的單調區(qū)間；(2)曲線y= f(x)的凹凸區(qū)間及拐點2 .設函數 f(x) = x3 -3x2 +3 .求(1)函數的單調區(qū)間；(2)曲線y =

27、f (x)的凹凸區(qū)間及拐點3 .設函數 f(x) = x3 3x2 9x1.求 f(x)在0,4上的最值 324 .設函數 f(x)=4x -12x +3 .求(1)函數的單調區(qū)間與極值；(2)曲線y= f(x)的凹凸區(qū)間及拐點.5 .某企業(yè)每天生產 x件產品的總成本函數為 C(x) = 2000+ 450x+ 0.02x2 ,已知此產品的單價為500元，求：(1)當x =50時的成本；(2)當x = 50到x =60時利潤變化多少？(3)當x = 50時的邊際利潤，并解釋其經濟意義。6 .設生產某種產品x個單位的總成本函數為 C(x) =900 + 2x + x2,問：x為多少時能使 平均成

28、本最低，最低的平均成本是多少？并求此時的邊際成本，解釋其經濟意義。7 .某商品的需求函數為 q=300 -3p(q為需求量，P為價格)。問該產品售出多少時得到 的收入最大？最大收入是多少元？并求q =30時的邊際收入，解釋其經濟意義。2 .8.某工廠要建造一個容積為300m的帶蓋圓桶，問半徑 r和圖h如何確定，使用的材料最省？1 _ 一一 9 .某商品的需求函數為 Q =10- P(Q為需求量，P為價格).2(1)求P =2時的需求彈性，并說明其經濟意義.(2)當P =3時，若價格P上漲1%,總收益將變化百分之幾 ？是增加還是減少？10 .求函數f (x) =excosx在-兀，兀上的最大值及

29、最小值。1211 .某商品的需求函數為 Q=80P-P (Q為需求量，P為價格). 100(1)求P =5000時的需求彈性，并說明其經濟意義.(2)當P =5000時，若價格P上漲1%,總收益將變化百分之幾 ？是增加還是減少？212 .某商品的需求函數為 Q=65+8P-P (Q為需求量，P為價格).(1)求P =5時的邊際需求，并說明其經濟意義.(2)求P =5時的需求彈性，并說明其經濟意義.(3)當P = 5時，若價格P上漲1%,總收益將如何變化？14 .某商品的需求函數為 Q=40 + 2P P2( Q為需求量，P為價格).(1)求P =5時的邊際需求，并說明其經濟意義.(2)求P =

30、5時的需求彈性，并說明其經濟意義.(3)當P = 5時，若價格P上漲1%,總收益將如何變化？15 .某商品的需求函數為 Q=35 + 4P-P2( Q為需求量，P為價格).(1)求P =5時的邊際需求，并說明其經濟意義.(2)求P =5時的需求彈性，并說明其經濟意義.(3)當P = 5時，若價格P上漲1%,總收益將如何變化？16 .設函數 f(x)=4x3-12x2+3 .求(1)函數的單調區(qū)間與極值；(2)曲線y= f (x)的凹凸區(qū)間及拐點.17 .設某企業(yè)每季度生產的產品的固定成本為1000(元)，生產X單位產品的可變成本為20.01X +10x(%).如果每單位產品的售價為30(兀).

31、試求：(1)邊際成本，收益函數，邊際收益函數；(2)當產品的產量為何值時利潤最大，最大的利潤是多少？18 .設函數 f(x) = x3+3x29x+1 .求(1)函數的單調區(qū)間與極值；(2)曲線y= f (x)的凹凸區(qū)間及拐點.19 .求函數f (x) =sin x+cosx在0,n上的極值.20試求f (x)=x3-3x的單調區(qū)間，極值，凹凸區(qū)間和拐點坐標五、證明題1 . 證明：當 0Ex -時，arctan x x o2 .應用拉格朗日中值定理證明不等式：b-a, b b-a當 0 a b時，ln - 。b a a3 .設f(x)在0,1上可導，且f (1)=0。證明：存在 之w(0,1)

32、,使f伐2十f色)=0成4 .設f(x)在閉區(qū)間0,兀上連續(xù)，在開區(qū)間(0,冗)內可導，(1)在開區(qū)間(0, n )內，求函數g(x) =sinx f (x)的導數.(2)試證：存在，w(0,用，使 f (，)cot，+ f(1)=0.5 .設f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且f(a)=f(b)=0, (1)在開區(qū)間(a,b)內，求函數g(x) =e-kx f (x)的導數.(2)試證：對任意實數 k,存在；a,b),使f(C)=kf(C).6 . 求函數f (x) = arctan x的導函數，(2)證明不等式：arctanx2arctanx10.證明：至少存在一點S(a,b),使fY)0.11 .設 f(x