(完整版)中職數(shù)學(xué)平面向量教案

1、復(fù)習(xí)引入：新授：1.向量的概念把既有大小、又有方向的量，叫做向量.記為向量 a,b,c,等，在書寫時(shí)，則在小寫西文字符的上方加一個(gè)小箭頭，例如,：£等.如果向量的方向限于平面內(nèi)，則叫做平面向量.， ， 口 人，B，-、 ，3 P P P向量的大小是一個(gè)非負(fù)數(shù)量，叫做向量的模.記為|a|,|b|,|c|,或|a |,|b|,|c|,.特別地，若一個(gè)向量的模為單位1,則叫做單位向量，單60,則叫做零向量，零向量總是記作 0.零向量的長(zhǎng)度為 0,且 定的.為了更直觀的反映確定向量的大小、方向，我們又把向量 表示成如圖7-2(1)上所示的帶箭頭的短線段，箭頭的方向表示 了它所表示的向量的方向

2、，而線段的長(zhǎng)度則是它所表示的向量 的模(即大小).有時(shí)，為了突出短線段的起終點(diǎn)，會(huì)以字符標(biāo) 出起終點(diǎn)(見(jiàn)圖7-2(2),此時(shí)可以以 AB,CD：B1C；等表 示向量，而向量的模，也就對(duì)應(yīng)地表示為|AB |,|CD |,|B1C1 |.由于我們所研究的向量只含有大小、方向兩個(gè)要素，因此，即使當(dāng)我們用帶箭頭的短線段表 示向量時(shí)，與帶箭頭的短線段的起終點(diǎn)是沒(méi)有關(guān)系的.為了突出這一點(diǎn)，有時(shí)又把向量記作自由向量.例1設(shè)矩形ABCD的邊長(zhǎng)為2和3,其所有的邊及對(duì)角線，能構(gòu)成多少向量？這些向量的 模是多少？e.若一個(gè)向量的模為零向量a/0的方向是可以任意確b圖 7-2(1)課內(nèi)練習(xí)11. 一個(gè)正六邊形的所有

3、邊及中心到各頂點(diǎn)的連線，能構(gòu)成多少向量？試寫出全部所構(gòu)成的向量；若正六邊形的邊長(zhǎng)為 1,求全部向量的模，并判斷哪些向量是單位向量?2.向量的比較(1)向量相等任意兩個(gè)數(shù)量a,b都可以比較，其關(guān)系不外乎相等 (a = b)或不相等(a#)兩種，只要根據(jù)兩個(gè) 數(shù)的大小就可以下結(jié)論. 因?yàn)橄蛄坎坏写笮。?而且有方向，所以比較兩個(gè)向量a,b的相等與否， 不但要比較它們的大小，還要比較它們的方向.當(dāng)且僅當(dāng)a,b的大小相等、方向相同時(shí)，才能說(shuō)a,b相等，并表示成a=b;否則a , b就不相等(a#b).在例1中的相等向量有且僅有AB = DC , BA = CD , BC = AD , OB'

4、= DA ,更仔細(xì)地說(shuō)，不相等的兩個(gè)數(shù)量還可以有大于、小于的關(guān)系，那么向量之間是否也能有大于、小于關(guān)系呢？因?yàn)榇笮?、方向的整體組成向量，方向是不能比較大小的，因此向量本身之間也不能比較大小，即兩個(gè)向量不能談及孰大孰小.當(dāng)然，向量的模是數(shù)量，因此向量的模是可以比較 大小的.即使兩個(gè)向量 a,b有相同的方向，且|a|>|b|,我們?nèi)匀恢荒苷f(shuō)向量 a的模大于向量b的 模，而不能說(shuō)向量 a大于向量b .若a = b,則把表示a,b的箭頭短線段的始點(diǎn)移到同一點(diǎn)時(shí)，它們必重合；反之把兩條箭頭短 線段的始點(diǎn)移到同一點(diǎn)時(shí)重合，那么這兩條短線段表示相等的向量 或同一向量.例2物體從點(diǎn)A出發(fā)位移，第一次沿水

5、平線位移到B,位移量為3;然后繼續(xù)沿鉛直方向向下位移到C ,位移量為4.(1)試以向量表示這二次位移，并在平面上作出這兩個(gè)位移向量；(2)在A的鉛直下方4處標(biāo)注點(diǎn)D,能否說(shuō)第二次位移的位移向量是AD ?為什么？(2)相反向量對(duì)數(shù)量，若兩個(gè)數(shù) a,b的絕對(duì)值相等但符號(hào)相反，則把 a,b叫做一對(duì)相反數(shù).對(duì)向量，若 兩 個(gè)向量a , b的長(zhǎng)度相等但方向相反，則這一對(duì)向量叫做相反向量，記作a=-b或-a=b.對(duì)調(diào)一個(gè)向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，即得到了它的相反向量，即 AB =-BA .例如在例1所有的向量中，共有如 下六對(duì)相反向量：AB =- BA , BC =-CB , DC =-CD , DA =- AD

6、 , AC =-, CA , BD =-DB .例3對(duì)仞2的問(wèn)題，若記第一次位移向量為 a,第二次位移向量為 b,現(xiàn)繼續(xù)作第三、四 次位移，第三次位移是從C出發(fā)向左移動(dòng)3到D,第四此則從 D返回A.試以a, b表示第三、四次位移.（3）平行向量若兩個(gè)向量a , b的方向相同或相反，則把這一對(duì)向量叫做平行向量，也可以說(shuō)向量 a平行 于向量b或向量b平行于向量a .規(guī)定零向量平行于任意向量.根據(jù)平行向量的方向特征，若向量a位于直線l上（即a的始終點(diǎn)都在l上），則只要平移a的平行向量b, b也必定能位于直線l上，因此又把平行向量叫做 共線向量.例4找出一個(gè)梯形各邊構(gòu)成的全部向量及這些向量之間存在的關(guān)

7、系.課內(nèi)練習(xí)21 .課內(nèi)練習(xí)1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量?2 .作出一個(gè)梯形及其中線，可以構(gòu)成多少向量？這些向量之間存在哪些關(guān)系？ F FFi3 .以F,Fi都表 示方向向上、大小為 10N的力，考察把F作用在 物體W的左上角和Fi作用在物體 W的右上角兩種情況（如附圖），物 體受力后的移動(dòng)情況肯定不同，這與F = Fi的結(jié)論矛盾嗎？試作出合理第3題圖的解釋.復(fù)習(xí)引入:新授:(1)向量的加法運(yùn)算向量加法運(yùn)算的法則.的始點(diǎn)移到a的終點(diǎn)向量a加向量b的結(jié)果a+b是按照下列法則生成的一個(gè)向量c：把后、從a的始點(diǎn)連到b的終點(diǎn).記作c=a+b.bcc9-9(1)baa圖9-9圖 9-

8、9(2)bca9-10(1)9-10(2)9-10(3)c9-10(2)ac=a + b9-dcb逐次應(yīng)用向量加法的法則fad移加向量的始點(diǎn)到被加向量的終點(diǎn)c(見(jiàn)圖 9-10(3)行四邊形，對(duì)角線向量即為和向量(1)按平行四邊形法則，把的始法則我們可以歸納為：首尾相連首尾連.第三邊向量(三角形法則，見(jiàn)圖9-9(2).對(duì)于三角形始點(diǎn)連向b的終點(diǎn)的向量即為和向量(2)若a , b平行的和向量c其指向與a , b同側(cè)(平行四邊形法則4用兩種方法作出圖 9-10(1)中向量a,bc a12,求 f=a +b+c+d6 已知向量a , b, c, d如圖5 若 b=-a ,求 c=a + ba , b為

9、鄰邊組成的平行四邊形的對(duì)角線向量a , b不平行的，f#況下，c是重合a, bab c叫做和向量.c與數(shù)量相加一樣，把 a叫做被加向量，b叫做加向量,圖 9-12被加向量的始點(diǎn)連向加向量的終點(diǎn)，得到和向量f如圖9-12所示，其中虛線表示的向量，從左向右依次是a+b, a+b+c.課內(nèi)練習(xí)31 .請(qǐng)舉一個(gè)向量相加的實(shí)際問(wèn)題.2 .向量相加的平行四邊形法則和三角形法則能適用于怎樣的情況？3 . a+(-a)=0,因此|a |+|-a|=0,這個(gè)結(jié)論正確嗎？ 一般地，c = a+b ,因此|c|=|a|+|b|,這個(gè)結(jié)論正確嗎？由此可以對(duì)向量相加與向量的模相加作出怎樣的結(jié)論？BA4 .矩形ABCD如

10、圖，試求AB+bC,BC + AB,BA +BC ,BA +CB*DI C得到的和向量之間有哪些關(guān)系？第4題圖5 .矩形ABCD如第4題，求(AB + BC )+CD , AB +( BC +CD ), AB + BC + DC ,BA +BC +DA .得到的和向量之間有哪些關(guān)系？數(shù)量加法運(yùn)算?足交換律(a + b = b+a)、結(jié)合律(a + b + c=(a+b)+c=a+(b+c),向量的加法運(yùn)算同樣滿足交換律和結(jié)合律a + b=b+a , a +b + c=(a +b)+c=a +(b+c),(2)向量的減法運(yùn)算a與加數(shù)b的相反數(shù)-b相加一樣，所謂向量a , b相減a-b,如同數(shù)量a

11、,b相減a-b ,是被加數(shù) 實(shí)際上是向量a與向量b的相反向量法運(yùn)算的法則.圖 9-13(1)中是已知向量 a,b;圖9-13(2)顯示了 a+(-b);圖 9-13(2)顯示了a-b的直接運(yùn)算法則，法則的文字表述是：a-b的結(jié)果是一個(gè)向量 c,把a(bǔ),b的始點(diǎn)移到同一點(diǎn)，從b的終點(diǎn)連向a的終點(diǎn)的向量就是 c(三角形法則)對(duì)于三角形法 則我們可以歸納為：首同尾連，剪頭指向被減.記作 c=a-b. a叫做被減向量，b叫做減向量，c叫做差向量.例7在MBC中，把每條邊都作為從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的向量，并把這些向量叫做邊向量.為了使CA,是另兩條邊向量的差，另兩條邊向量應(yīng)是怎樣的？例8 在MBC中，若

12、邊向量為 AB ,AC ,BC ,求(1)a=AB+BC. + AC; (2)求 buAB-BC-Ac”.課內(nèi)練習(xí)41 .在MBC中，把每條邊都作為從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的向量，并把這些向量叫做邊向量.為了使AB一是另兩條邊向量的差，另兩條邊向量應(yīng)是怎樣的？2 .在矩形ABCD中的邊向量為 AB ,BC ,CD ,求(1)a=AB-BC ; (2)b= BC-AB ; (3)c=CD-BC ; (4)d = AB - bC - CD .因?yàn)橄蛄肯鄿p是被減向量與減向量的負(fù)向量相加，而向量相加運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律，這 樣向量的減法運(yùn)算所能滿足的運(yùn)算律也就唾手可得了，例如a - b=-b + a)

13、 a - b-c = a- c-b = a- (b+c).(3)向量的數(shù)乘運(yùn)算在數(shù)量運(yùn)算中，若 a=2, b是a的兩倍，則b=2a.在例8向量運(yùn)算中，我們兩次都遇到a = AC+AC,b = CB + CB這樣兩個(gè)相同的向量相加問(wèn)題，能不能也能簡(jiǎn)寫成a=2 AC ,b=2 CB”呢？這完全取決與如何規(guī)定2AC，2CB.的含義，若規(guī)定它們的含義確實(shí)與 AC +AC ,CB，+CB ,相同，那么這種簡(jiǎn)寫就完全合法且合理了.為此我們作如下的定義：一個(gè)實(shí)數(shù)口乘以向量a的結(jié)果是一個(gè)平行于 a的向量b, b的模是a的模|a|倍，即|b|二l岡忸 I；b的方向當(dāng)a>。時(shí)與a的方向相同，當(dāng)a<0時(shí)

14、與a的方向相反.記作b = aa 或 b = S ,把向量的這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算.根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算的這種規(guī)定，立即可知-a =-1 a ? a +a =2 a , -a -a =-2a .把數(shù)相加和向量相加所滿足的運(yùn)算律結(jié)合起來(lái)，立即可得向量數(shù)乘運(yùn)算滿足下述兩個(gè)分配 律：(o(+P)a =aa + 值，a (a+b)=aa +ab,其中u串是任意實(shí)數(shù)，a , b是任意向量.根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，我們有：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)u,使b=cta (aw。)，則a與b是平行向量； 反之，如果a與b是平行向量，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)使b=ota (aw。).例 8 設(shè) c=-2a , d =-3a, f=-2

15、b, g=a -2b,求 h =2a +3f- 3d +4g+2b-2c.解 h =2a+3f-3d +4g+2b-2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b-2(-2a )=2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a =(2+9+4+4) a-( 6+8-2)b=19a -12b.例9 MBC的AC邊長(zhǎng)為a,現(xiàn)把AB ,BC邊各延長(zhǎng)原來(lái)的 0.8倍成為 MiBCi,求邊AiCi 的長(zhǎng)(見(jiàn)圖9-15).課內(nèi)練習(xí)51 .已知向量a ,作出向量-2a, 3a.2 .已知向量a的模為s ,求向量b=0.1 a , c=-3a , d =2.5a的模.3 .設(shè) c=-a , d

16、=-3b, f =2b, g =-2a -b,求 h =2a- 3c + 3f- 3d - 3g -2b .4 .甲、乙兩人從同一點(diǎn)出發(fā)，取不同方向前行.當(dāng)甲行進(jìn)2km、乙行進(jìn)6km時(shí)兩人相距4km,問(wèn)當(dāng)甲、乙繼續(xù)按原方向分別繼續(xù)行進(jìn)1.5km、4.5km時(shí)，兩人相距多少?復(fù)習(xí)引入:圖 9-18新授：1.平面向量的直角坐標(biāo)(1)坐標(biāo)基底向量設(shè)在平面上已經(jīng)建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系xOy .方向?yàn)閤軸正向的單位向量i、方向?yàn)閥軸正向的單位向量j叫做該坐標(biāo)系的坐標(biāo)基底向量(見(jiàn)圖9-16).(2)平面向量的直角坐標(biāo)在坐標(biāo)平面上Z定了向量a,平移其始點(diǎn)到原點(diǎn)后(見(jiàn)圖7-17),設(shè)xO i圖 7-16其終點(diǎn)A

17、的坐標(biāo)為(x,y).把(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作 uuua = OA =(x,y).若向量a的坐標(biāo)為(x,y),則其?？梢杂米鴺?biāo)表示為1a |= ,x2 - y2(7-2-1)坐標(biāo)基底向量也有其坐標(biāo)，分別是 i=(1,0), j=(0,1).以原點(diǎn)O為始點(diǎn)、點(diǎn)A在x,y軸上的投影為終點(diǎn)，是兩個(gè)分別平行于i, j的向量，根據(jù)向量加法定義，有y | a/1ZJyja =xi+yj,(7-2-2)即有了向量的坐標(biāo)，我們可以把它分解成坐標(biāo)基底向量的組合.xiO i xi x因?yàn)樽鴺?biāo)基底向量也是自由的，你也可以不平移a ,直接在a圖 7-17上作分解(見(jiàn)圖7-17).例如從圖7-18,我們就可以直

18、接看出AB =i-2j =(1,-2).課內(nèi)練習(xí)11.寫出圖9-18中向量OP ,EF ,CD的坐標(biāo)，并求它們 的模.2.向量關(guān)系的坐標(biāo)表不向量之間有相等、相反、平行 (共線)等關(guān)系.當(dāng)知道了向量的坐標(biāo)后，這些共線的判定就變得十分簡(jiǎn)單.(1)相等：若 a =(ai,bi),b=(a2,b2),則a = b = ai=a2, bi=b2.即兩個(gè)相等向量的坐標(biāo)相等，坐標(biāo)相等的向量相等(2)相反：若 a =(ai,bi),b=(a2,b2),則圖 7-i9a =-b :二 ai=-a2, bi=-b2.即兩個(gè)相凡向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)地互為相反數(shù)；坐標(biāo)對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)的向量相反.(3)平行(共線)：向量a=(

19、ai,bi),b=(a2,b2)平行 u 移a ,b的始點(diǎn)到原點(diǎn)后，它們的終點(diǎn) A,B與原點(diǎn)共線 u AOAiAsAoBiB(見(jiàn)圖7-i9)一 a ibi-a? b2所以兩個(gè)向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例，則它們平行；平行向量的坐標(biāo)必定對(duì)應(yīng)成比例例i 已知向量a=(2,-i),當(dāng)x為多少時(shí)，向量 b=(x,2)與a平行?解 a/bu 2 =二！£ x=-4.所以當(dāng) x=-4 時(shí) a/b .x 2課內(nèi)練習(xí)21 .根據(jù)向量坐標(biāo)，判斷下列向量中存在的共線：a=(2,-i), b=(-2, i), c=(-6, 3), d =(42,-2i), e=(2,-i), f=(8,-4), g =(-2,-

20、i).2 .已知向量a =(9,-4),當(dāng)y為多少時(shí)，向量 b=(-i2,y)與a平行？3 .平面向量運(yùn)算的直角坐標(biāo)表不(7-2-2),即可得向量運(yùn)算的(7-2-3)把向量數(shù)乘、加減法的運(yùn)算法則應(yīng)用于向量對(duì)坐標(biāo)基底的分解式 坐標(biāo)表木.(i)數(shù)乘:設(shè) a =(x,y),即 a=xi+yj, b=Xa ,則b= =:xi+y j)=，取i+少 j=(；二，Ay),即Ka = h(x,y )=( Ax,九y).即向量a數(shù)乘，后所得向量的坐標(biāo)，是 a的縱、橫坐標(biāo)的K倍.(2)加減法：設(shè) a =(ai,bi), b=(a2,b2),則a = aii+bij, b=a2i + b2j, a + b=(ai

21、i+bij)+(a2i+b2j)=(ai+a2)i +(bi + b2)j,即a + b=(a 1+ a2, bi+b2).同理也有 a-b=(ai-a2, bi-b2).所以向量a, b的和、差向量的坐標(biāo)，等于a, b的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的和、差 (3)給定始終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)向量a = AB”.若已知點(diǎn) A,B在坐標(biāo) A(xi,yi),B(x2,y2)(見(jiàn)圖7-20),則 0A =(Xi, yi),OB =(X2, y2),AB = OB -OA =(x2-x1,y2-y 1).(7-2-6)所以給定了始終點(diǎn)坐標(biāo)的向量的坐標(biāo)，等于終點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)減去始點(diǎn)坐例 2 已知 a=(1, -2), b=(2, 3

22、),求 a +b,a -b, 2a 7b.例 3 已知 A(1,2), B(-2, 1),求 AB-,BA .解應(yīng)用公式(10-2-6),AB =(-2-1,1-2)=(-3,-1) ; BA =(1-(-2),2-1)=(3,1).例4 已知平行四邊形 ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(1,1), B(2,3),C(-1,4)(見(jiàn)圖7-21),求頂點(diǎn)D點(diǎn)坐標(biāo).(7-2-4)(7-2-5)例5 已知A(2,3), B(-2,5)，且AB =2 AC ,求C點(diǎn)的坐標(biāo).例6某人第一天按圖9-23所示方向、以速度 5km/h步行3小時(shí)到達(dá)A處；第二天又按圖 9-23所示方向、以速度 15km/h騎了3小時(shí)自行車

23、到達(dá) B處.問(wèn)B離此人出發(fā)點(diǎn)的直線距離是多少？ 課內(nèi)練習(xí)21 .已知 a=(T, 2), b = (2, 2),求 a+ b, a -b, a+2b .2 .已知 a =(-2+x, 4), b = (-3,-1-y),且 a =b,求 x, y . uuiruuu3 .根據(jù)下列條件求 AB與BA的坐標(biāo)：(1)A(1,0), B(2,)；(2)A(q,1), B(3,1); (3)A(2,1), B(0,2); (4)A(N,4), B(4,8).4 .已知平行四邊形 ABCD的A(1,0), B(2, 5), C(1, 1)，求D點(diǎn)坐標(biāo).uuuuuir5 .已知 A(6, 4), B(3,

24、55),且 AB= -2 AC ,求 C 點(diǎn)的坐標(biāo).復(fù)習(xí)引入：新授：1 .向量的數(shù)量積圖 7-25(1) 平面向量所成的角給定兩個(gè)非零平面向量a,b,移它們的始點(diǎn)到同一點(diǎn)，以表示向量的線段所在直線為始終邊的角，叫做向量a, b所成的角，記作(ab)(見(jiàn)圖7-25);為了使兩個(gè)非零向量所成的角唯一，規(guī)定0MaAb)Wr.零向量0與任何向量所成的角認(rèn)為可以任意.為了方便有時(shí)也把(a Ab)叫做向量之間的夾角.從向量所成角定義，立即可知(a Ab)=0仁a b (即a, b共線)；(a Ab)=冗仁a =- b (即a,b互為相反向量).特別地，當(dāng)(aAb)= £ ,則我們說(shuō)a與b垂直，記

25、作a_Lb.(2) 向量的數(shù)量積已知向量a , b, a , b的數(shù)量積是一個(gè)以下式定義的數(shù)量：ab=|a| b|cos( a Ab)其中(aAb)表示向量a, b之間所成的角.向量作為既有方向、又有大小的量，與數(shù)量有著區(qū)別.這種區(qū)別在運(yùn)算方面的體現(xiàn)，是向 量的有一些運(yùn)算在數(shù)量運(yùn)算中是找不到與之對(duì)應(yīng)的類別的，數(shù)量積就屬于這種運(yùn)算.這是因?yàn)?向量的數(shù)量積，反映的是一個(gè)向量與它在另一個(gè)向量方向上投影的積.例1求下列向量的數(shù)量積：(1)| a |=5,| b|=4, ( aAb)=2n,求 ab;(2) a=(3,4),|b|= - , ( aAb)=2I,求 ab;322(3) a =(3,4),

26、 b =(-3,-4)，求 a b;(4) a =(1,3)，求 a a; (5) a=0, b=(x,y)，求 a b.課內(nèi)練習(xí)11.求下列向量的數(shù)量積：(1)| a |=2,| b|=8, ( a Ab)= 2 ,求 a b ; (2) a =(1,3),| b |= - , ( bAa )=,求 a b ;432(3) a=(-3,-2),b=(3,2)，求 a b; (4) a =(5,3)，求 a a; (5) a=(10,y) , b=0,求 a b.(3)向量數(shù)量積的基本運(yùn)算法則根據(jù)向量數(shù)量積的定義，立即可知成立如下運(yùn)算法則:交換律：a b = b a ;(1)平面向量數(shù)量積的坐

27、標(biāo)表示數(shù)乘分配率：(九a)b=a (，_b)=Ma b),(任意 爐R);分配率：(a+b) c=a c+b c.例 2 設(shè)適=(3,-1), | CD'|=2, 0=( AB-aCDt)=2I ,求3(1)(2 AB) (3CD)； (2)( AB +2CD) aB ； (3)(-4 AB) ( Ab +2CD).課內(nèi)練習(xí)21 .已知 |a |=4, |b|=3, a 與 b 的夾角為 5L ,求(2a W (a+2b).2 .已知 A(-1,2),B(1,4), |CD|=4, 6=( AB-aCD)=-,求 3(1) AB- (3CD); (2)(2 AB-+CD) AB'

28、; ; (3) Ab' (- Ab' +2 CD).(4)向量數(shù)量積的基本結(jié)論從向量數(shù)量積的定義，可以得到一些經(jīng)常用到的基本結(jié)論，這些結(jié)論是必須熟記的. a _lb u a b=0;當(dāng)ab且同向時(shí)，ab = |a|b|;當(dāng)ab且方向相反時(shí)，a b=-|a|b|;a a =|a|2,所以 |a|= Ja a ; cos(aAb尸 a b .(7-3-2)|a| |b|最后一個(gè)公式(9-3-2)對(duì)求向量所成角十分有用.例3已知|a|=4, |b|=5,分別在下列條件下求a b:(1)a/b ; (2)a_Lb.例 4 已知 |a |=2, |b|=4, a b=-6,求(aAb)的

29、余弦值.課內(nèi)練習(xí)31 .已知 a/b, |a|=1, |b|=2,求 a b.2 .下述四個(gè)命題中哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的？并說(shuō)明理由：(1)0a =0; (2)|a |=a a; (3)a b=|a|b|; (4)a b = |a b|; (5)|a b|=|a |b11cos(a>b)|;(6)(a b)(a b)=(a a)(b b)=|a|2|b|2； (7)a/b u 存在實(shí)數(shù)兒,使 a b=k|a|2;(8)(a + b) (a-b)=|a |2-|b|2； (9)(a + b) (a-b)=a2-b2.3 .已知 |a |=1, |b|=4, a b=2 V3 ,求(a

30、Ab).2.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示向量數(shù)量積(9-3-1)是不依賴于坐標(biāo)系的幾何定義，如果在坐標(biāo)平面上討論，把向量數(shù)字化 (即求 出向量的坐標(biāo))，那末就能以坐標(biāo)計(jì)算來(lái)表示向量的數(shù)量積.首先考察坐標(biāo)基底向量i, j的數(shù)量積，有1 i=1; i j=j i=0 ; j j=1 .(4)現(xiàn)設(shè)向量 a , b的坐標(biāo)為a=(xi,yi), b=(x2,y2),即a =xii +y ij, b=X2i +y2j,則 a b=(xii +yij)( x2i +y2j)=xix2i i + yiy2j j + xiy2i j + yix2j i,即 a b=xix2+yiy2.(7-3-3)這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們坐標(biāo)的的對(duì)應(yīng)乘積的和.以坐標(biāo)表示向量數(shù)量積的基本公式，能得到我們熟知的一些公式：設(shè) a =(x, y),貝U a a=|a|2=x2+y2,即向量模公式|a|=x2 +y2 ;特別地當(dāng)a = AB ,且起終點(diǎn)坐標(biāo) A(x1,yi),B(x2,y2)為已知時(shí)，由 AB =(x2-xi,y2-yi),即得 |a|=|AB |=：'(x2 -xi)2 +(y2 yi)2 ,此即為兩點(diǎn)間的距離.例5求