用單邊Z變換解差分方程ppt課件

1、8.7 用單邊用單邊Z變換解差分方程變換解差分方程解差分方程的方法：解差分方程的方法：1時域經(jīng)典法時域經(jīng)典法2卷積和解法卷積和解法3Z變換解法變換解法一復(fù)習(xí)一復(fù)習(xí)Z變換的位移特性變換的位移特性假設(shè)假設(shè)x(n)分別是雙邊序列、雙邊左移序列、分別是雙邊序列、雙邊左移序列、雙邊右移序列時，它們的雙邊和單邊雙邊右移序列時，它們的雙邊和單邊Z變變換是不同的：換是不同的：1雙邊序列的雙邊雙邊序列的雙邊Z變換變換(p79-p83)()()()()()()(zXzmnxZTzXzmnxZTznxzXnxZTmmnn2雙邊左移序列的單邊雙邊左移序列的單邊Z變換變換nnznunxzX0)()()(100100)(

2、0)()()()()()()()()(mkkmkmkkkmmkkmnmnmnnzkxzXzzkxzkxzzkxzzmnxzzmnxnumnxZT3雙邊右移序列的單邊雙邊右移序列的單邊Z變換變換nnznunxzX0)()()(1010)(0)()()()()()()()()(mkkmkmkkkmmkkmnmnmnnzkxzXzzkxzkxzzkxzzmnxzzmnxnumnxZT因果序列是右移序列4對于因果序列對于因果序列x(n)()()(zXznumnxZTm0)(1mkkzkx10)()()()(mkkmzkxzXznumnxZT二用單邊二用單邊Z變換解差分方程的變換解差分方程的步驟和思緒步

3、驟和思緒 x(n-r),y(n-k)均為右移序列均為右移序列 兩邊取單邊兩邊取單邊Z變換變換)()(00rnxbknyaMrrNkkMrrmmrrNkkllkkzmxzXzbzlyzYza0101)()()()(初始形狀假設(shè)因果信號此項為零例：?)(2) 1()()()() 1()(nyynuanxnxnbynynbzbzbzbzazazbabzbyzXzYbyzXzYbzzXzyzYbzzY211) 1()()() 1()()(1 )()1()()(111)(2)(1)()(1111nubbabazYZTnynnn完全解里面已含有初始條件例：?)(6)2(4) 1()(10)2(02. 0)

4、 1(1 . 0)(nyyynunynyny110)1() 2()(02. 0)1()(1 . 0)(221zzzyyzzYzzyzYzzY28. 008. 0110)()02. 01 . 01 (121zzzzYzz1111 . 012 . 002. 0166. 0126. 9)(zzzzY)() 1 . 0( 2 . 0) 2 . 0(66. 026. 9 )(nunynn完全解8.8 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)一、定義：一、定義：1系統(tǒng)零形狀呼應(yīng)的系統(tǒng)零形狀呼應(yīng)的Z變換與輸入的變換與輸入的Z變換之比變換之比2系統(tǒng)單位樣值呼應(yīng)系統(tǒng)單位樣值呼應(yīng)h(n)的的Z變換變換NkkMrrzp

5、zzGzXzYzH1111)1 ()1 ()()()(0)()(nnznhzH1定義一：系統(tǒng)零形狀呼應(yīng)的定義一：系統(tǒng)零形狀呼應(yīng)的Z變換與輸入的變換與輸入的Z變換之比變換之比 假設(shè)假設(shè)x(n)是因果序列是因果序列, 那么在系統(tǒng)零形狀那么在系統(tǒng)零形狀下：下：)()(00rnxbknyaMrrNkkNkkkMrrrMrrrNkkkzazbzXzYzHzbzXzazY0000)()()()()(請留意這里與解差分有何不同？因果！零形狀2定義二：系統(tǒng)單位樣值呼應(yīng)定義二：系統(tǒng)單位樣值呼應(yīng)h(n)的的Z變換變換 鼓勵與單位樣值呼應(yīng)的卷積為系統(tǒng)零形鼓勵與單位樣值呼應(yīng)的卷積為系統(tǒng)零形狀呼應(yīng)狀呼應(yīng) 由卷積定理由卷

6、積定理)(*)()(nhnxny)()()(zHzXzY)()()(zXzYzH0)()(nnznhzH二、對系統(tǒng)特性的影響二、對系統(tǒng)特性的影響 由極點分布決議系統(tǒng)單位樣值呼應(yīng)由極點分布決議系統(tǒng)單位樣值呼應(yīng) 由極點分布決議系統(tǒng)穩(wěn)定性由極點分布決議系統(tǒng)穩(wěn)定性 由零極點分布決議系統(tǒng)決議系統(tǒng)頻率特由零極點分布決議系統(tǒng)決議系統(tǒng)頻率特性性8.9)1由極點分布決議系統(tǒng)單位樣由極點分布決議系統(tǒng)單位樣值呼應(yīng)值呼應(yīng))()()()1 ()1 ()()(10101111111nupAnApzzAAFTzpzzGFTzHFTnhnNkkkNkkkNkkMrr普通 為復(fù)數(shù)它在 平面的分布位置決議了系統(tǒng) 特性kpZ)(n

7、h極點分布對極點分布對h(n)的影響的影響RezImzj113p2由極點分布決議系統(tǒng)穩(wěn)定性由極點分布決議系統(tǒng)穩(wěn)定性 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位樣值呼應(yīng)絕系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位樣值呼應(yīng)絕對可和。即：對可和。即： 因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件為 ：h(n)是單是單邊的而且是有界的。即：邊的而且是有界的。即：因果因果穩(wěn)定穩(wěn)定nnh)(nnhnunhnh)()()()(非因果也可以穩(wěn)定)(nx)(nhkknxkhnhnxny)()()(*)()( Mnx)(kkkhMknxkhny)()()()(kkh)(離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充是要條件為離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充是要條件為h(n)絕對可和絕對可和0

8、0)()()(1nnnnhznhzHzfor對穩(wěn)定的因果系統(tǒng)收斂域為：對穩(wěn)定的因果系統(tǒng)收斂域為：1z全部極點位于單位圓內(nèi)全部極點位于單位圓內(nèi)對于非因果系統(tǒng)，收斂域并不是在圓外區(qū)域，極點不限于單對于非因果系統(tǒng)，收斂域并不是在圓外區(qū)域，極點不限于單位圓內(nèi)。位圓內(nèi)。例：知因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下：例：知因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下：試闡明該系統(tǒng)能否穩(wěn)定？試闡明該系統(tǒng)能否穩(wěn)定？解：解：21111)(zzzzH)() 1()(23212321jzjzzzzH12, 12321223211pjpjp臨界穩(wěn)定例：知系統(tǒng)函數(shù)如下，試闡明分別在例：知系統(tǒng)函數(shù)如下，試闡明分別在12兩種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性：兩種情況下系統(tǒng)的

9、穩(wěn)定性： 1 2解：解：1 因果系統(tǒng)，右邊序因果系統(tǒng)，右邊序列列 z10105 . 0 z z10)10)(5 . 0(5 . 9)(zzzzH10105 . 05 . 0)(zzzH)()10()5 . 0()(11nunhnn1105 . 0221zzz因果系統(tǒng)但極點在單位圓外，不穩(wěn)定發(fā)散2 非因果系統(tǒng)，非因果系統(tǒng)， 右序右序 左序左序 有界有界所以，該非因果系統(tǒng)，但是，是穩(wěn)定所以，該非因果系統(tǒng)，但是，是穩(wěn)定的的) 1()10()()5 . 0()(11nununhnn105 . 0 z10作業(yè) 舊版：8-214，8-233， 8-242 新版：同上8.8 離散系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)離散系統(tǒng)的頻率

10、呼應(yīng)一、什么是離散系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)？一、什么是離散系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)？定義一：單位樣值呼應(yīng)的傅定義一：單位樣值呼應(yīng)的傅立葉變換立葉變換定義二：離散系統(tǒng)在正弦序定義二：離散系統(tǒng)在正弦序 列作用下的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)列作用下的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)二、系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)的幾何確定二、系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)的幾何確定定義一：序列的傅立葉變換定義一：序列的傅立葉變換序列的傅立葉變換：序列的傅立葉變換：由由S_Z的映射來看，當(dāng)?shù)挠成鋪砜?，?dāng) ，那，那么么 ，于是相當(dāng)于自變量沿著，于是相當(dāng)于自變量沿著z=1單位圓周變化，那么：單位圓周變化，那么：0js jTTjsTeeez1)()()()(jnnjnneXenxznxzXnnjjenxeX)()

11、(序列的傅立葉正變換0序列的傅立葉反變換序列的傅立葉反變換deeXnxedeeeXjdzzzXjnxjnjjzjjnjzn)(21)()()(21)(21)(111序列的傅立葉逆變換延續(xù)信號和離散序列的傅立葉變換的延續(xù)信號和離散序列的傅立葉變換的比較比較 延續(xù)延續(xù) 離散離散dtetxjXtj)()(dejXtxtj)(21)(nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)(定義一：系統(tǒng)頻率呼應(yīng)即系統(tǒng)單位樣定義一：系統(tǒng)頻率呼應(yīng)即系統(tǒng)單位樣值函數(shù)的傅立葉變換值函數(shù)的傅立葉變換 當(dāng)當(dāng)h(n)知時，以下表達(dá)式表示系統(tǒng)頻率知時，以下表達(dá)式表示系統(tǒng)頻率呼應(yīng)函數(shù)，呼應(yīng)函數(shù)， 是以是以 h(n) 為加

12、權(quán)系數(shù)，對各次諧為加權(quán)系數(shù)，對各次諧波進(jìn)展加權(quán)或改動的情況物理意義。波進(jìn)展加權(quán)或改動的情況物理意義。nnjjenheH)()()(jeH)(n)(nh)()()(*)(nhnrnhn 系統(tǒng)的鼓勵是系統(tǒng)的鼓勵是 時，它的頻譜覆蓋了時，它的頻譜覆蓋了 的的 范圍范圍 于是系統(tǒng)的單位樣值呼應(yīng)于是系統(tǒng)的單位樣值呼應(yīng) 可以看可以看成對各次的諧波的濾波的總的效果成對各次的諧波的濾波的總的效果 )(n)(nh)()(nnx)(jeX1n)(nh)(jeH)()(jjeHeY反映了系統(tǒng)對整個頻帶的濾波作用定義二：正弦序列及其作用下系統(tǒng)的定義二：正弦序列及其作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)的傅立葉變換之比穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)的傅立葉變

13、換之比)(sin)(1nAnx)(nh)(sin)(2nBnyss)(sin)(1nAnx)(sin)(2nBnyss12)()()()()()(12)()()(12ABeHeABeeHeHjjjjj)()()(jjjeXeYeHje由于由于 是周期的，所以是周期的，所以 也是周期的，也是周期的，其周期為反復(fù)頻率其周期為反復(fù)頻率 。)(jeHTs2定義二的物理意義把把 看成無數(shù)個窄帶濾波器，每個濾看成無數(shù)個窄帶濾波器，每個濾波器的幅頻特性是波器的幅頻特性是 ，且對信號有，且對信號有相移作用相移作用 。)(jeH)(jeH)()()(120s2sLPBPHPBSAP二、系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)的幾何確定二

14、、系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)的幾何確定)(1111)()()()()()(jjNkkjMrrjNkkMrreeHpezepzzzzHkrjkkjjrrjeBpeeAzeNkkMrrjBAeH11)(NkkMrr11)(系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)的幾何確定法系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)的幾何確定法RezImzj1p2pje1z2z1122NkkMrrjBAeH11)(NkkMrr11)()()()(jjeeHzH由幾何法可以看出：由幾何法可以看出：1z=0處的零極點對幅頻特性處的零極點對幅頻特性 沒有沒有影響，只對相位有影響影響，只對相位有影響2當(dāng)當(dāng) 旋轉(zhuǎn)某個極點旋轉(zhuǎn)某個極點 附近時，附近時，例如在同一半徑上時，例如在同一半徑上時，

15、 較短，那么較短，那么 在該點該當(dāng)出現(xiàn)一個峰值，在該點該當(dāng)出現(xiàn)一個峰值， 越短，越短， 附近越鋒利。假設(shè)附近越鋒利。假設(shè) 落在單位圓上，那落在單位圓上，那么么 ，那么，那么 處的峰值趨于無窮大。處的峰值趨于無窮大。3對于零點那么其作用與極點的作用正對于零點那么其作用與極點的作用正好相反。好相反。jez ipiBiB)(jeH)(jeHipip0iBip1pje低通1p1zje高通)(jeH)(jeH001p2p帶通)(jeH01p2p1zjeje)(jeH0帶阻1p2prrr1r11z2z)(jeH全通T2T20)(jeHjeje接近單位圓周的極點附近有尖峰例：8-34)(nx1z1z1z)c

16、os(2N1)cos(22N)(ny?)()4(?)3(?)()2(?)() 1 (jrkeHzpzHnh解)2() 1()cos(2) 1()cos()()(22nynynxnxnyNN)()cos()cos(21)cos()cos(21)cos(1)(222212221212NNjjNNNNNezezzzzzzzzzzzH)(cos)(2nunhNnNNjjNepepzz2221221)cos(01z2zRezImzj)(jeH02N2IIRDF例:(8-23)因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下,試闡明這些系統(tǒng)能否穩(wěn)定?因果系統(tǒng)的極點必需在單位圓內(nèi)3282)() 1 (2zzzsH解)34)(12(2

17、)(zzzsH432121pp極點在單位圓內(nèi), 系統(tǒng)穩(wěn)定。432121ppRezjImz12121252)1 (8)()2(zzzzsH解)2)(12() 1(8)(2zzzzsH22121pp有一個極點在單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。jImz21212ppRez121111)()3(zzzsH解)231)(231()1(1)1()(2jzjzzzzzzzsH2312, 1jp有一對共軛極點在單位圓上，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。jImzRez1p2p1例：8-29求如下一階離散系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)) 1()()(naynxnyjnenxnunx)()2()()() 1 (解)(1)1(111)(azzaa

18、zzazzazzzY1)() 1 ()()()1)(1zzzXazzzHzXazzY知：)(11)(1)(nuanuaaanyn暫態(tài)解穩(wěn)態(tài)解jnenx)()2(jezzzX)(jjjjezeazazeaezzazzzY1)()()()()()(nueeaenuaeaanynjjjnj暫態(tài)解穩(wěn)態(tài)解例：8-31知系統(tǒng)函數(shù)如下：kzzzH)(求：1寫出對應(yīng)的差分方程； 2畫出系統(tǒng)構(gòu)造圖 3求系統(tǒng)的頻率呼應(yīng)，并畫出k=0, 0.5 , 1 三種 情況下系統(tǒng)的幅度呼應(yīng)和相位呼應(yīng)解)() 1()(nxnkyny)(11)()()()(1zXkzzXkzzzXzHzY)(nx1z)(nyk1)(1)(0)

19、1 (jeHzHk5 . 0)(5 . 0)2(jjjeeeHk1)(1)3(jjjeeeHkHHH)()(8.10 數(shù)字濾波器的根本原理和構(gòu)成數(shù)字濾波器的根本原理和構(gòu)成)()()(jjjeHeXeY)(jeX)(jeH)(jX)(1)(kssjkXTeXksjskXeHGTY)()()(1)(周期頻譜延續(xù)頻譜非周期連續(xù)頻譜周期頻率特性濾波結(jié)果加矩形窗)(X)(jeX)(jeHsmmcc)(G1ksjskXeHGTY)()()(1)()(jeYmmmm數(shù)字濾波器的構(gòu)成數(shù)字濾波器的構(gòu)成 普通差分方程普通差分方程 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù))()(00rnxbknyaMrrNkkNkkkMrrrzazbzX

20、zYzH101)()()()()()(1010rnxbknyanyaMrrNkk(1)遞歸式數(shù)字濾波器遞歸式數(shù)字濾波器(IIR)(a)直接式直接式)(nx1a) 2() 1()() 2() 1()(21021nxbnxbnxbnyanyanyE1E1) 1( ny)2( ny2aE1E10b1b2b0a) 1( nx)2( nx)(nyb簡化直接式簡化直接式)(nx1aE1E12a0a1b2b) 2() 1()() 2() 1()(21021nxbnxbnxbnyanyany0b)(ny簡化直接式的證明：簡化直接式的證明：MrrrNkkkMrrrNkkkzbzWzYzHzazXzWzHzHzH

21、zbzazH02112101)()()(11)()()()()(11)()()()(1zXzHzW)()()(2zWzHzY)()()(1knwanxnwNkkMrrrnwbny0)()(1aE1E12a0a1b2b0b)(ny)(nx)(nw) 1( nw) 2( nw1a2a0a1b2b0b)(zW1)(zzW1z1z2)(zzW)(zX)(zY)(11)()()(11zXzazXzHzWkkkMrrrzbzWzWzHzY02)()()()(c)級聯(lián)方式級聯(lián)方式kiizHAzH10)()(22112211111111)(11)(zazazbzbzHzazbzHiiiiiiii1zia1ib11zia1ib11zia2ib2)(1zH)(2zH(d