求函數地值域地方法大全

1、實用文檔求函數值域方法大全（一）、最值與值域的高考地位傳統(tǒng)高考數學中的應用題中凡涉及到利潤最大（或最小），最少的人力、物力等，均可歸結于最值與值域的求解；當今高考數學中的求字母參數的取值范圍問題很大一部分歸結于最值與值域的求解通過求函數的最值與值域可大大的加深對一些數學思想的領會，提高運用數學思想解題的能力。（二）、最值與值域的關系1、有的函數知道值域就可以求最值如：函數y x2的值域是y|y 0 ,可知ymin 02、有的函數知道最值就可以求值域3、有的函數有值域但無最值如：函數y -的值域是y | y 0 ,但ymin無，ymax無 x4、有的函數有最大值但無最小值如：函數yx2 , ym

2、ax 。，但ymin無5、有的函數有最小值但無最大值如：函數y 2萬，ymin 2,但ymax無1 x6、值域有可能是一個數，也可能是幾個數構成的集合，但大多是一個不等式構成的集合如：常數函數f（x） 2的值域是27、求最值與值域的方法大同小異8、在由值域確定函數的最值時，需注意等號成立的條件下才能 取到。如：已知值域y | 3 y 1 ,只有ymin 3 ,而ymax無9、最值存在定理：連續(xù)函數在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小 值（三）、基本初等函數的定義域與值域函數名函數解析式定義域值域一次函數y kx b(k 0)RR二次函數2y ax bx c(a 0)R八4ac ba 0時，y|y4a

3、d4ac ba 0時，y|y 4a反比例數ky 一(k 0) xx|x 0y| y 0指數函數y ax(0a 1)Ry| y 0對數函數y log a x(0 a 1)x|x 0R止弦函數y sin xR-1,1 余弦函數y cosxR-1,1 正切函數y tanxx | x k2(R Z)（四）、函數的最值與值域的求解技巧即是求函數值的集合或是找到的y的不等式出來（以后者為重）如：已知函數f（x） 2x 1 , x 0,123,5則此函數的值域是（）A、9,1,2,3,5 ; B、1,1,3 ； C、9,1, 1,3,5 ; D x| 1 x 9法(一)：觀察法【及時反饋】1、函數f(x)

4、2x 1的值域是()A (, 1); B、1,); C、R; D ( 1,)法(二)：反函數法i、理論依據：巧妙根據原函數與它的反函數的定義域、值域的互調性，如下表所示：定義域值域原函數y f(x)AC反函數y f 1(x)CA由上表知，求原函數的值域就是相當于求它的反函數的定義域ii、求反函數的步驟(“三步曲”)求x (y);x、y互換；通過求原函數的值域得出反函數的定義域【及時反饋】(1)、求函數f(x)的值域x 1(2)、求函數f(x)的值域5x 4法(三)：分離變量法常用于求形如f(x) ax(ac 0)的函數的值域 cx d,即把f(x)化成求解技巧：“分子對分母說，我要變成你”“常

5、量+ a上”的形式來。 cx d【及時反饋】(1)、求函數f(x)的值域 x 1(2)、求函數f(x)的值域5x 4通過以上兩題的值域的求解，你發(fā)現了什么？(形如f(x) axb(ac 0)的函數的值域是 y|y -)cx dc2 c2(3)、已知函數f(x) 的值域是y|y 1 ,則a的值是 2x 12法(四)：基本不等式法若 a>0,b>0，則 a b 2<ab , ab (-ayb)2【及時反饋】(1)、若a、b是正數且a b 3 ab,則ab、a+b的取值范圍分別是22(2)、已知實數mi n滿足mn>0,則L的值()mnA、有最小值但沒有最大值；B、有最大值但

6、沒有最小值；C、既有最大值也有最大值；D沒有最大值也沒有最小值；y 鼻型，可直接用不等式性質， 2k x【及時反饋】求y 3的值域(答：(0,3)2 x22y 1一型，先化簡，再用均值不等式， x mx n【及時反饋】(2)求函數y也上的值域(答：0,1) x 322y X mX n型,可用判別式法或均值不等式法，mx n、，2【及時反饋】求y的值域(答：(，3U1,)x 1在使用均值不等式求函數的最值與值域時注意：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這 17字方針法(五)：配方法常用于二次型函數y af 2(x) bf (x) c(a 0)的最值與值域的求解。配方步驟：1、把二次項系數

7、化為1 ；2、在一次項之后加上又同時減去一次項的一半的平方；3、把前三項湊成完全平方式。(一)、不帶限制條件的二次型函數的最值與值域的求解技巧1 :通過配方后得到y(tǒng)當 a 0 時，ymin當 a 0 時，ymax4ac b2 4a4ac b2 4a技巧2:求出對稱軸，然后把對稱軸帶入原函數即得【及時反饋】(1)、求函數y x2 x 1的最值與值域。(2)、求函數y 3x2 2x 1的最值與值域(要求配方后作出 函數的圖像)。(3)、求函數yx2 2x 8的最值與值域。2(4)、求函數y的最值與值域。(提示：分離變量后x x 1用配方法，當然還可以用判別式法處理本題。答案： ,1 ) 3(二)、

8、帶有限制條件二次型函數的最值與值域的求解有兩類：1、是求具體函數(即不含字母參數的)在閉區(qū)間m,n上的最值與值域；技巧1：通過配方后畫出圖形，由數形結合即可求解 帶有限制條件的二次函數圖像的畫法須注意以下幾 點：對稱軸；開口；頂點；與坐標軸的交點注意：先畫全圖，后根據定義域加以取舍。技巧2:可不畫圖求出對稱軸，看對稱軸與區(qū)間的位置關系若對稱軸包含在區(qū)間內，則把端點及對稱軸處的函數值 全求出來加以比較，最大者為最大值，最小者為最小值。若對稱軸在區(qū)間外，則只需把端點處的函數值求出來即 可最大者為最大值，最小者為最小值?！炯皶r反饋】(1)、求函數y x2 x 1(x 0)的最值與值域。(2)、求函數

9、 y x2 2x 5,x 1,2的值域(答：4,8)；(3)、求函數y x2 2x 3在如下區(qū)間中的的最值與值域。i、 ( 4, 2 ; ii、 ( 1,2 ; iii、 (3,5) ； iv、(，)(4)、求函數y sin x cos2x的最值與值域。(提示：先轉化為 帶有限制條件的二次型函數的最值與值域的求解)(5)、若 27 x 9,則函數 f(x) 10g3?log3(3x)()A、有最小值 32,最大值-3; R有最小值4,最大值12;9C、有最小值32,無最大值；D無最小值，有最大值12;92、是求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題(即含字母參 數的)。此時要分“軸在區(qū)間左；軸

10、在區(qū)間右；軸在區(qū)間內” 三種情況加以討論【及時反饋】(1)、當x (0,2時，函數f(x) ax2 4(a 1)x 3在x 2時取得最大值，則a的取值范圍是 (答：a)；2，(2)、分別根據下列條件，求實數 a的值：i、函數f(x) x2 2ax 1 a在區(qū)間0,1上有最大值2；(答案：a=-1或2)ii、函數f(x) ax2 2ax 1在區(qū)間 3,2上有最大值4；(答案：a=-3或3)8iii、函數f(x) ax2 (2a 1)x 1在區(qū)間 -,2上有最大值3；2(答案：a=1或？)23(3)、求函數f (x) x2 2ax 1 a在區(qū)間0,1上的最大值。小結：求二次函數的最值與值域問題，

11、勿忘數形結合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系。法（六）：換元法通過換元把一個較復雜的函數變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?，其函數特征一般是函數解析式含有根式或三角函數公式模型代數換元法【及時反饋】1、（1）、求函數y x VXF的最值與值域。解：y x , x 1 （x 1） x 1 1令 d t （運用換元法時，要特別要注意新元t的范圍），易知 t 0（why?）所以x 1 t2,所以y t2 t 1（t 0）,欲求原函數的值域，只需求y t2 t 1（t 0）的最值與值域即可（解法同上面的【及時反饋】 ）。（2）、求函數y x Cx的最值與值域。（答案：,-1 ）2、

12、y 2sin2 x 3cosx 1 的值域為（答：4,17）；83、y 2x 1收彳的值域為（答：（3,）（令t, t 0。運用換元法時，要特別要注意新元t的范圍）；4、y sin cos sin cos 的值域為 （答：1,g V2）；5、求函數yx2 2x V4x 2x2 14的最值與值域。三角換元法【及時反饋】（1）、求函數y x V1 x2的最值與值域。思考：此題同上面的 【及時反饋51)有何區(qū)別與聯(lián)系？ 解：定義域優(yōu)先考慮：由1 x2 0得1 x 1 聯(lián)想到三角函數中的sin ,cos的范圍不就也是1 sin ,cos1嗎？所以令cos x,其中x 0, (why?),則 V'

13、;1 一了 J1 cos2 sin2|sin | sin (why?)所以求函數y x出x2的最值與值域問題就轉化為求函數y sin cos ,0, 最值與值域。(下略)(2)、已知變量x,y滿足x2 y2 1,求3x 4y的最值。(3)、已知變量x,y滿足16x2 25y2 400,求3x 4y的最值。2(4)、已知 x (0,1),ab 0,則 f(x) -b的最小值為()x 1 xA、(a b)2 B、(a b)2 C、a2 b2D、2 ( a2 b2)(5) y x 4 J9 x2 的值域為 (答：1,3& 4);法(七)：單調性法若函數f(x)在區(qū)間a,b內單調遞增，則ymi

14、n f(a) , ymax f (b)；若函數f(x)在區(qū)間a,b內單調遞減，則ymin f(b), ymax f(a)；【及時反饋】1、求函數y x Jx 1的最值與值域。易知此函數的定義域為1,而在此區(qū)間內函數遞增，故當 xmin 1 時，ymin f(1) 1。2、求函數y x的最值與值域。(答案： 1 )23、求函數y x -(1 x 9)的最值與值域。 x法(八)：判別式法對分式函數(分子或分母中有一個是二次)都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法2上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式。如y X2 mX nx mx n型，通常用判別式法【及時反饋】

15、(1)求y的值域。1 X2(2)、求函數y 1 X 2的最值與值域。x x 12解：易知定義域為R,由y - x 2變形得X X 1_2_(y 2)x (y 1)x (y 2) 0(當二次項系數為字母參數時注意對其分等于0和不等于0兩情形加以討論)當y 2 0時，即y=2,方程變?yōu)?x 0 0,此時x 0 R當 y 2 0時，即 y 2 ,醫(yī)T? x R方程_2_(y 2)x (y 1)x (y 2) 0恒有實根" (y 1)2 4(y 2)2 0- 1 y 5 kc 2c又 2y|1 y 5 y &一x二值域為 y |1 y 5x x 1(2)、若函數y ap的值域是1,4

16、,則a,b的值為 X 1(答:a=±4,b=3,)2(3)、已知函數y 10g3 mx 28x n的定義域為R,值域為0, 2,x 1求常數m,n的值(答：m n 5)判別式法的思想意義：“判別式法”這種思想方法巧妙的把函數、不等式、方程有機的勾結起來，使得函數、不等式、方 程三者互相轉化的思想體現得淋漓盡致。法（九）：導數法導數是高等數學中的一個極其重要的概念， 是處理很多函 數問題的有力工具，自從高中數學引入了導數， 函數問題的處理 思想和方法置于更加廣闊的天地之中。 一般適用于高次多項式函 數的最值與值域的求解。曾記否？用導數求函數的最值與值域的步驟：【及時反饋】（1）、求函數

17、 f（x） 2x3 4x2 40x, x 3,3的最小值。（答:48） （2）、（ 2005高考貴州卷）用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵 皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形,然后把四邊翻轉90°角，再焊接而成（如圖），問該容器的高為多少時,容器的容積最大 ？最大容積是多少？解：設容器的高為 x,容器的體積為V 1分則 V= (90-2x) (48-2x) x,(0<x<24)=4x 3-276x 2+4320x 5分 V' =12 x 2-552x+4320 7 分由 V' =12 x 2-552x+4320=0 得 xi=10, x2

18、=36. x<10 時，V' >0,10<x<36 時，V' <0,x>36 時，V' >0,所當x=10,V有極大值V(10)=1960 10分V(0)=0,V(24)=0 11分當 x=10, V有最大值 V(10)=1960 12分(3)、(2008年高考重慶卷)已知函數yVT2的最大值為M,最小值為m,則O的值為() MA、1； B、1; C、血；D; 4222答案：C(4). (2004年高考貴州-理22)(本小題滿分14分)已知函數 f(x )=ln(1+ x)x, g(x)=xlnx.(I)求函數f(x)的最大值；

19、(n)設 0<a<b,證明 0Vg(a)+g(b)-2g( *)<(b-a)ln2.(5)、(2005年高考貴州-理22)(本小題滿分12分)已知函數f(x)”二,x 0,1. 2 x(I )求f(x)的單調區(qū)間和值域;g(x) x3 3a2x 2a,x 0,1.若對于任意 x10,1,總存在 x。0,1,使得g(x°) f(xj成立，求a的取值范圍.f (x)(6) (2011年江西理19)設1x2 2ax2標準文案(2,)(1)若f(x)在(3, )上存在單調遞增區(qū)間，求a的取值范圍;(2)當0 a 2時，f(x)在1,4上的最小值為16W ,求f(x)在該區(qū)間

20、上的最大值.“、/， 【解析】(1) f(x)在(3,)上存在單調遞增區(qū)間,即存在某個子(m, n)(3，)(x) 0-'2f (x) x2a(x2)22a2' .)f (x)在區(qū)間3 ，上單調遞減, 2f (一)則只需 30 1 一 即可 2f(3)12a 0 a 解得 9 ,所以，當a19時,f(x)在 (I，)上存在單調遞增區(qū)間.令f(x)Xi1. 1 8a 1. 1 8ax111 8ax22所以設)在(，x1),(X2,)上單調遞減，在(xi,x2)上單調遞增當0 a 2時,有 x11x24,所以f(x)在1，4上的最大值為fN)p f(4)f(1)又27 6a 02

21、,f (4)f(1)所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)8a403161 ,得 a 1 , x2 2 ,從而f(x)在1,4上的最大值為f(2)103(7) (2011北京文18)已知函數k e , (I )求f x的單調區(qū)間;(II )求f x在區(qū)間0,1上的最小值。解：(I ) f/(x) (x k 1)ex,令 f/(x) 0 x k1；所以f *在(，k 1)上遞減，在(k 1,)上遞增；(II)當k 1 0,wk 1時，函數f x在區(qū)間0,1上遞增，所以 f(X)min f(0) k .當0 k 1 1即1 k 2時，由(I )知，函數f x在區(qū)間0,k 1上遞k 1減，(k 1

22、,1上遞增，所以 f(X)min f(k 1) e ；當k 1 1" 2時，函數f x在區(qū)間0,1上遞減，所以f(X)min f(1) (1 k)e o法(十)：數形結合法適用于函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率等等【及時反饋】(1)、已知變量X、y滿足x2 y2 1，求-及y 2x的取值 x 2范圍(答：,、 而而)；補圖33解析：求 上的取值范圍 就是相當于求的取x 2x ( 2)值范圍.就是相當于書圓x2 y2 1上任一點P(x,y)到定點 A(-2,0)的切線的斜率的最大值與最小值的問題。解析：令t=y 2x后，求y 2x的取值范圍就是不暗于求 直線y

23、2x t在y軸上的截距的取值范圍(2)、求函數 y J(x 2)2 J(x 8)2 的值域(答：10, )；（3） 求函數 y VX6x_13 Vx24x5 及 y Vx2_6x 13 Vx24x5的值域（答：阿 ）、（&6,庫）注意：求兩點距離之和時，要將函數式變形，使兩定點在x軸的兩側，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在x軸的同側。（4）、求函數y=|x+1|+|x-2|的值域與最值（答：3,）；本題也可用絕對值的幾何意義來求解。形如y二|x-a| + |x-b| 的函數稱為“牛角函數”（因其圖像牛 角而得名），補圖其可以轉化為分段函數來研究，值域都是|a b|,形如y二|x-a1

24、|-|x-b| 的函數稱為“Z字形函數”（因其圖像Z而得名），補圖其可以也可轉化為分段函數來研究，值域都是|a b |,| a b |（5）、已知對于任意的實數 x,均有|x+1|+|x-2|>a恒成立，則a的取值范圍是一法（十一）：函數有界性法直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定所求函數的值域，最常用的就是三角函數的有界性【及時反饋】（1）、求函數y 2sin1的值域1 sin解：由y 2sn1變形得sin 二，因為1 sin 1 ,所以1 sin2 y1 2H 1，解此不等式即得。(答案：(小x(2)、y至n1的值域(答：(，3)； (3)、y邑(答案:1 cos21 3x(0,1 )；法(十二)：對勾函數法【及時反饋】(1)、已知0 tA、B、1-,則 f(t)463 co0；C、2；81 t的最小值是(D、-2 ;(2)、(2008年高考江西卷