求函數(shù)地值域地方法大全

1、實(shí)用文檔求函數(shù)值域方法大全（一）、最值與值域的高考地位傳統(tǒng)高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用題中凡涉及到利潤(rùn)最大（或最?。钌俚娜肆?、物力等，均可歸結(jié)于最值與值域的求解；當(dāng)今高考數(shù)學(xué)中的求字母參數(shù)的取值范圍問(wèn)題很大一部分歸結(jié)于最值與值域的求解通過(guò)求函數(shù)的最值與值域可大大的加深對(duì)一些數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)會(huì)，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題的能力。（二）、最值與值域的關(guān)系1、有的函數(shù)知道值域就可以求最值如：函數(shù)y x2的值域是y|y 0 ,可知ymin 02、有的函數(shù)知道最值就可以求值域3、有的函數(shù)有值域但無(wú)最值如：函數(shù)y -的值域是y | y 0 ,但ymin無(wú)，ymax無(wú) x4、有的函數(shù)有最大值但無(wú)最小值如：函數(shù)yx2 , ym

2、ax 。，但ymin無(wú)5、有的函數(shù)有最小值但無(wú)最大值如：函數(shù)y 2萬(wàn)，ymin 2,但ymax無(wú)1 x6、值域有可能是一個(gè)數(shù)，也可能是幾個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合，但大多是一個(gè)不等式構(gòu)成的集合如：常數(shù)函數(shù)f（x） 2的值域是27、求最值與值域的方法大同小異8、在由值域確定函數(shù)的最值時(shí)，需注意等號(hào)成立的條件下才能 取到。如：已知值域y | 3 y 1 ,只有ymin 3 ,而ymax無(wú)9、最值存在定理：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小 值（三）、基本初等函數(shù)的定義域與值域函數(shù)名函數(shù)解析式定義域值域一次函數(shù)y kx b(k 0)RR二次函數(shù)2y ax bx c(a 0)R八4ac ba 0時(shí)，y|y4a

3、d4ac ba 0時(shí)，y|y 4a反比例數(shù)ky 一(k 0) xx|x 0y| y 0指數(shù)函數(shù)y ax(0a 1)Ry| y 0對(duì)數(shù)函數(shù)y log a x(0 a 1)x|x 0R止弦函數(shù)y sin xR-1,1 余弦函數(shù)y cosxR-1,1 正切函數(shù)y tanxx | x k2(R Z)（四）、函數(shù)的最值與值域的求解技巧即是求函數(shù)值的集合或是找到的y的不等式出來(lái)（以后者為重）如：已知函數(shù)f（x） 2x 1 , x 0,123,5則此函數(shù)的值域是（）A、9,1,2,3,5 ; B、1,1,3 ； C、9,1, 1,3,5 ; D x| 1 x 9法(一)：觀察法【及時(shí)反饋】1、函數(shù)f(x)

4、2x 1的值域是()A (, 1); B、1,); C、R; D ( 1,)法(二)：反函數(shù)法i、理論依據(jù)：巧妙根據(jù)原函數(shù)與它的反函數(shù)的定義域、值域的互調(diào)性，如下表所示：定義域值域原函數(shù)y f(x)AC反函數(shù)y f 1(x)CA由上表知，求原函數(shù)的值域就是相當(dāng)于求它的反函數(shù)的定義域ii、求反函數(shù)的步驟(“三步曲”)求x (y);x、y互換；通過(guò)求原函數(shù)的值域得出反函數(shù)的定義域【及時(shí)反饋】(1)、求函數(shù)f(x)的值域x 1(2)、求函數(shù)f(x)的值域5x 4法(三)：分離變量法常用于求形如f(x) ax(ac 0)的函數(shù)的值域 cx d,即把f(x)化成求解技巧：“分子對(duì)分母說(shuō)，我要變成你”“常

5、量+ a上”的形式來(lái)。 cx d【及時(shí)反饋】(1)、求函數(shù)f(x)的值域 x 1(2)、求函數(shù)f(x)的值域5x 4通過(guò)以上兩題的值域的求解，你發(fā)現(xiàn)了什么？(形如f(x) axb(ac 0)的函數(shù)的值域是 y|y -)cx dc2 c2(3)、已知函數(shù)f(x) 的值域是y|y 1 ,則a的值是 2x 12法(四)：基本不等式法若 a>0,b>0，則 a b 2<ab , ab (-ayb)2【及時(shí)反饋】(1)、若a、b是正數(shù)且a b 3 ab,則ab、a+b的取值范圍分別是22(2)、已知實(shí)數(shù)mi n滿足mn>0,則L的值()mnA、有最小值但沒(méi)有最大值；B、有最大值但

6、沒(méi)有最小值；C、既有最大值也有最大值；D沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值；y 鼻型，可直接用不等式性質(zhì)， 2k x【及時(shí)反饋】求y 3的值域(答：(0,3)2 x22y 1一型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式， x mx n【及時(shí)反饋】(2)求函數(shù)y也上的值域(答：0,1) x 322y X mX n型,可用判別式法或均值不等式法，mx n、，2【及時(shí)反饋】求y的值域(答：(，3U1,)x 1在使用均值不等式求函數(shù)的最值與值域時(shí)注意：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這 17字方針?lè)?五)：配方法常用于二次型函數(shù)y af 2(x) bf (x) c(a 0)的最值與值域的求解。配方步驟：1、把二次項(xiàng)系數(shù)

7、化為1 ；2、在一次項(xiàng)之后加上又同時(shí)減去一次項(xiàng)的一半的平方；3、把前三項(xiàng)湊成完全平方式。(一)、不帶限制條件的二次型函數(shù)的最值與值域的求解技巧1 :通過(guò)配方后得到y(tǒng)當(dāng) a 0 時(shí)，ymin當(dāng) a 0 時(shí)，ymax4ac b2 4a4ac b2 4a技巧2:求出對(duì)稱軸，然后把對(duì)稱軸帶入原函數(shù)即得【及時(shí)反饋】(1)、求函數(shù)y x2 x 1的最值與值域。(2)、求函數(shù)y 3x2 2x 1的最值與值域(要求配方后作出 函數(shù)的圖像)。(3)、求函數(shù)yx2 2x 8的最值與值域。2(4)、求函數(shù)y的最值與值域。(提示：分離變量后x x 1用配方法，當(dāng)然還可以用判別式法處理本題。答案： ,1 ) 3(二)、

8、帶有限制條件二次型函數(shù)的最值與值域的求解有兩類：1、是求具體函數(shù)(即不含字母參數(shù)的)在閉區(qū)間m,n上的最值與值域；技巧1：通過(guò)配方后畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合即可求解 帶有限制條件的二次函數(shù)圖像的畫法須注意以下幾 點(diǎn)：對(duì)稱軸；開口；頂點(diǎn)；與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)注意：先畫全圖，后根據(jù)定義域加以取舍。技巧2:可不畫圖求出對(duì)稱軸，看對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系若對(duì)稱軸包含在區(qū)間內(nèi)，則把端點(diǎn)及對(duì)稱軸處的函數(shù)值 全求出來(lái)加以比較，最大者為最大值，最小者為最小值。若對(duì)稱軸在區(qū)間外，則只需把端點(diǎn)處的函數(shù)值求出來(lái)即 可最大者為最大值，最小者為最小值?！炯皶r(shí)反饋】(1)、求函數(shù)y x2 x 1(x 0)的最值與值域。(2)、求函數(shù)

9、 y x2 2x 5,x 1,2的值域(答：4,8)；(3)、求函數(shù)y x2 2x 3在如下區(qū)間中的的最值與值域。i、 ( 4, 2 ; ii、 ( 1,2 ; iii、 (3,5) ； iv、(，)(4)、求函數(shù)y sin x cos2x的最值與值域。(提示：先轉(zhuǎn)化為 帶有限制條件的二次型函數(shù)的最值與值域的求解)(5)、若 27 x 9,則函數(shù) f(x) 10g3?log3(3x)()A、有最小值 32,最大值-3; R有最小值4,最大值12;9C、有最小值32,無(wú)最大值；D無(wú)最小值，有最大值12;92、是求區(qū)間定(動(dòng))，對(duì)稱軸動(dòng)(定)的最值問(wèn)題(即含字母參 數(shù)的)。此時(shí)要分“軸在區(qū)間左；軸

10、在區(qū)間右；軸在區(qū)間內(nèi)” 三種情況加以討論【及時(shí)反饋】(1)、當(dāng)x (0,2時(shí)，函數(shù)f(x) ax2 4(a 1)x 3在x 2時(shí)取得最大值，則a的取值范圍是 (答：a)；2，(2)、分別根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù) a的值：i、函數(shù)f(x) x2 2ax 1 a在區(qū)間0,1上有最大值2；(答案：a=-1或2)ii、函數(shù)f(x) ax2 2ax 1在區(qū)間 3,2上有最大值4；(答案：a=-3或3)8iii、函數(shù)f(x) ax2 (2a 1)x 1在區(qū)間 -,2上有最大值3；2(答案：a=1或？)23(3)、求函數(shù)f (x) x2 2ax 1 a在區(qū)間0,1上的最大值。小結(jié)：求二次函數(shù)的最值與值域問(wèn)題，

11、勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系。法（六）：換元法通過(guò)換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征一般是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型代數(shù)換元法【及時(shí)反饋】1、（1）、求函數(shù)y x VXF的最值與值域。解：y x , x 1 （x 1） x 1 1令 d t （運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元t的范圍），易知 t 0（why?）所以x 1 t2,所以y t2 t 1（t 0）,欲求原函數(shù)的值域，只需求y t2 t 1（t 0）的最值與值域即可（解法同上面的【及時(shí)反饋】 ）。（2）、求函數(shù)y x Cx的最值與值域。（答案：,-1 ）2、

12、y 2sin2 x 3cosx 1 的值域?yàn)椋ù穑?,17）；83、y 2x 1收彳的值域?yàn)椋ù穑海?,）（令t, t 0。運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元t的范圍）；4、y sin cos sin cos 的值域?yàn)?（答：1,g V2）；5、求函數(shù)yx2 2x V4x 2x2 14的最值與值域。三角換元法【及時(shí)反饋】（1）、求函數(shù)y x V1 x2的最值與值域。思考：此題同上面的 【及時(shí)反饋51)有何區(qū)別與聯(lián)系？ 解：定義域優(yōu)先考慮：由1 x2 0得1 x 1 聯(lián)想到三角函數(shù)中的sin ,cos的范圍不就也是1 sin ,cos1嗎？所以令cos x,其中x 0, (why?),則 V'

13、;1 一了 J1 cos2 sin2|sin | sin (why?)所以求函數(shù)y x出x2的最值與值域問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y sin cos ,0, 最值與值域。(下略)(2)、已知變量x,y滿足x2 y2 1,求3x 4y的最值。(3)、已知變量x,y滿足16x2 25y2 400,求3x 4y的最值。2(4)、已知 x (0,1),ab 0,則 f(x) -b的最小值為()x 1 xA、(a b)2 B、(a b)2 C、a2 b2D、2 ( a2 b2)(5) y x 4 J9 x2 的值域?yàn)?(答：1,3& 4);法(七)：?jiǎn)握{(diào)性法若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)單調(diào)遞增，則ymi

14、n f(a) , ymax f (b)；若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)單調(diào)遞減，則ymin f(b), ymax f(a)；【及時(shí)反饋】1、求函數(shù)y x Jx 1的最值與值域。易知此函數(shù)的定義域?yàn)?,而在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)遞增，故當(dāng) xmin 1 時(shí)，ymin f(1) 1。2、求函數(shù)y x的最值與值域。(答案： 1 )23、求函數(shù)y x -(1 x 9)的最值與值域。 x法(八)：判別式法對(duì)分式函數(shù)(分子或分母中有一個(gè)是二次)都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法2上，也可先通過(guò)部分分式后，再利用均值不等式。如y X2 mX nx mx n型，通常用判別式法【及時(shí)反饋】

15、(1)求y的值域。1 X2(2)、求函數(shù)y 1 X 2的最值與值域。x x 12解：易知定義域?yàn)镽,由y - x 2變形得X X 1_2_(y 2)x (y 1)x (y 2) 0(當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為字母參數(shù)時(shí)注意對(duì)其分等于0和不等于0兩情形加以討論)當(dāng)y 2 0時(shí)，即y=2,方程變?yōu)?x 0 0,此時(shí)x 0 R當(dāng) y 2 0時(shí)，即 y 2 ,醫(yī)T? x R方程_2_(y 2)x (y 1)x (y 2) 0恒有實(shí)根" (y 1)2 4(y 2)2 0- 1 y 5 kc 2c又 2y|1 y 5 y &一x二值域?yàn)?y |1 y 5x x 1(2)、若函數(shù)y ap的值域是1,4

16、,則a,b的值為 X 1(答:a=±4,b=3,)2(3)、已知函數(shù)y 10g3 mx 28x n的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?, 2,x 1求常數(shù)m,n的值(答：m n 5)判別式法的思想意義：“判別式法”這種思想方法巧妙的把函數(shù)、不等式、方程有機(jī)的勾結(jié)起來(lái)，使得函數(shù)、不等式、方 程三者互相轉(zhuǎn)化的思想體現(xiàn)得淋漓盡致。法（九）：導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)極其重要的概念， 是處理很多函 數(shù)問(wèn)題的有力工具，自從高中數(shù)學(xué)引入了導(dǎo)數(shù)， 函數(shù)問(wèn)題的處理 思想和方法置于更加廣闊的天地之中。 一般適用于高次多項(xiàng)式函 數(shù)的最值與值域的求解。曾記否？用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值與值域的步驟：【及時(shí)反饋】（1）、求函數(shù)

17、 f（x） 2x3 4x2 40x, x 3,3的最小值。（答:48） （2）、（ 2005高考貴州卷）用長(zhǎng)為90cm,寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵 皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成（如圖），問(wèn)該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大 ？最大容積是多少？解：設(shè)容器的高為 x,容器的體積為V 1分則 V= (90-2x) (48-2x) x,(0<x<24)=4x 3-276x 2+4320x 5分 V' =12 x 2-552x+4320 7 分由 V' =12 x 2-552x+4320=0 得 xi=10, x2

18、=36. x<10 時(shí)，V' >0,10<x<36 時(shí)，V' <0,x>36 時(shí)，V' >0,所當(dāng)x=10,V有極大值V(10)=1960 10分V(0)=0,V(24)=0 11分當(dāng) x=10, V有最大值 V(10)=1960 12分(3)、(2008年高考重慶卷)已知函數(shù)yVT2的最大值為M,最小值為m,則O的值為() MA、1； B、1; C、血；D; 4222答案：C(4). (2004年高考貴州-理22)(本小題滿分14分)已知函數(shù) f(x )=ln(1+ x)x, g(x)=xlnx.(I)求函數(shù)f(x)的最大值；

19、(n)設(shè) 0<a<b,證明 0Vg(a)+g(b)-2g( *)<(b-a)ln2.(5)、(2005年高考貴州-理22)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)”二,x 0,1. 2 x(I )求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;g(x) x3 3a2x 2a,x 0,1.若對(duì)于任意 x10,1,總存在 x。0,1,使得g(x°) f(xj成立，求a的取值范圍.f (x)(6) (2011年江西理19)設(shè)1x2 2ax2標(biāo)準(zhǔn)文案(2,)(1)若f(x)在(3, )上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍;(2)當(dāng)0 a 2時(shí)，f(x)在1,4上的最小值為16W ,求f(x)在該區(qū)間

20、上的最大值.“、/， 【解析】(1) f(x)在(3,)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,即存在某個(gè)子(m, n)(3，)(x) 0-'2f (x) x2a(x2)22a2' .)f (x)在區(qū)間3 ，上單調(diào)遞減, 2f (一)則只需 30 1 一 即可 2f(3)12a 0 a 解得 9 ,所以，當(dāng)a19時(shí),f(x)在 (I，)上存在單調(diào)遞增區(qū)間.令f(x)Xi1. 1 8a 1. 1 8ax111 8ax22所以設(shè))在(，x1),(X2,)上單調(diào)遞減，在(xi,x2)上單調(diào)遞增當(dāng)0 a 2時(shí),有 x11x24,所以f(x)在1，4上的最大值為fN)p f(4)f(1)又27 6a 02

21、,f (4)f(1)所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)8a403161 ,得 a 1 , x2 2 ,從而f(x)在1,4上的最大值為f(2)103(7) (2011北京文18)已知函數(shù)k e , (I )求f x的單調(diào)區(qū)間;(II )求f x在區(qū)間0,1上的最小值。解：(I ) f/(x) (x k 1)ex,令 f/(x) 0 x k1；所以f *在(，k 1)上遞減，在(k 1,)上遞增；(II)當(dāng)k 1 0,wk 1時(shí)，函數(shù)f x在區(qū)間0,1上遞增，所以 f(X)min f(0) k .當(dāng)0 k 1 1即1 k 2時(shí)，由(I )知，函數(shù)f x在區(qū)間0,k 1上遞k 1減，(k 1

22、,1上遞增，所以 f(X)min f(k 1) e ；當(dāng)k 1 1" 2時(shí)，函數(shù)f x在區(qū)間0,1上遞減，所以f(X)min f(1) (1 k)e o法(十)：數(shù)形結(jié)合法適用于函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離、直線斜率等等【及時(shí)反饋】(1)、已知變量X、y滿足x2 y2 1，求-及y 2x的取值 x 2范圍(答：,、 而而)；補(bǔ)圖33解析：求 上的取值范圍 就是相當(dāng)于求的取x 2x ( 2)值范圍.就是相當(dāng)于書圓x2 y2 1上任一點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn) A(-2,0)的切線的斜率的最大值與最小值的問(wèn)題。解析：令t=y 2x后，求y 2x的取值范圍就是不暗于求 直線y

23、2x t在y軸上的截距的取值范圍(2)、求函數(shù) y J(x 2)2 J(x 8)2 的值域(答：10, )；（3） 求函數(shù) y VX6x_13 Vx24x5 及 y Vx2_6x 13 Vx24x5的值域（答：阿 ）、（&6,庫(kù)）注意：求兩點(diǎn)距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使兩定點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩點(diǎn)距離之差時(shí)，則要使兩定點(diǎn)在x軸的同側(cè)。（4）、求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域與最值（答：3,）；本題也可用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)求解。形如y二|x-a| + |x-b| 的函數(shù)稱為“牛角函數(shù)”（因其圖像牛 角而得名），補(bǔ)圖其可以轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)研究，值域都是|a b|,形如y二|x-a1

24、|-|x-b| 的函數(shù)稱為“Z字形函數(shù)”（因其圖像Z而得名），補(bǔ)圖其可以也可轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來(lái)研究，值域都是|a b |,| a b |（5）、已知對(duì)于任意的實(shí)數(shù) x,均有|x+1|+|x-2|>a恒成立，則a的取值范圍是一法（十一）：函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過(guò)函數(shù)的有界性，來(lái)確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性【及時(shí)反饋】（1）、求函數(shù)y 2sin1的值域1 sin解：由y 2sn1變形得sin 二，因?yàn)? sin 1 ,所以1 sin2 y1 2H 1，解此不等式即得。(答案：(小x(2)、y至n1的值域(答：(，3)； (3)、y邑(答案:1 cos21 3x(0,1 )；法(十二)：對(duì)勾函數(shù)法【及時(shí)反饋】(1)、已知0 tA、B、1-,則 f(t)463 co0；C、2；81 t的最小值是(D、-2 ;(2)、(2008年高考江西卷