2-3函數(shù)的奇偶性與周期性

1、2-3函數(shù)的奇偶性與周期性一、選擇題1(文)函數(shù)f(x)的圖像()A關于原點對稱B關于直線yx對稱C關于x軸對稱 D關于y軸對稱答案D解析f(x)2x2xf(x)f(x)是偶函數(shù)，其圖像關于y軸對稱(理)(2011·山東理，5)對于函數(shù)yf(x)，xR，“y|f(x)|的圖像關于y軸對稱”是“yf(x)是奇函數(shù)”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析本題主要考查函數(shù)的圖像特征，函數(shù)圖像的翻折，以及充要條件的判定，令f(x)x2，則|f(x)|x2的圖像關于y軸對稱；而f(x)不是奇函數(shù)，而若yf(x)是奇函數(shù)(如f(x)x3)，則|f

2、(x)|的圖像關于y軸對稱，故選B.2(2011·遼寧文，6)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則a()A. B.C. D1答案A解析本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的應用以及利用奇、偶函數(shù)在形式上的特點來解題的能力法：f(x)是奇函數(shù)且f(x)f(x)f(x)(12a)12a，12a0，a.法：f(x)的分子是奇函數(shù)要使f(x)為奇函數(shù)，則它的分母必為偶函數(shù)12a0，a.3已知yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)在(0，)上是增函數(shù)，如果x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，則有()Af(x1)f(x2)>0 Bf(x1)f(x2)<0Cf(x1)f(

3、x2)>0 Df(x1)f(x2)<0答案D解析x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，0<x1<x2又f(x)是(0，)上的增函數(shù)，f(x1)<f(x2)又f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，f(x1)<f(x2)f(x1)f(x2)<0.選D.4已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)單調遞增，則滿足f(2x1)<f的x取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析考查偶函數(shù)的性質及含絕對值號不等式的解法由題意得|2x1|<<2x1<<2x<<x<，選A.5(2011·全國大綱卷理，9)設f

4、(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0x1時，f(x)2x(1x)，則f()()A BC. D.答案A解析本小題考查函數(shù)的周期性與奇偶性f()f()f().6(文)設f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)2x2xb(b為常數(shù))，則f(1)()A3 B1C1 D3答案D解析f(x)是奇函數(shù)，f(0)0，即020b，b1，故f(1)2213，f(1)f(1)3.(理)若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x)g(x)ex，則有()Af(2)<f(3)<g(0) Bg(0)<f(3)<f(2)Cf(2)<g(0)<f(3) Dg(0)&l

5、t;f(2)<f(3)答案D解析由題意得f(x)g(x)ex，f(x)g(x)ex，即f(x)g(x)ex，由此解得f(x)，g(x)，g(0)1，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(3)>f(2)>0，因此g(0)<f(2)<f(3)，選D.二、填空題7若函數(shù)f(x)在定義域上為奇函數(shù)，則實數(shù)k_.答案±1解析解法1若定義域中包含0，則f(0)0，解得k1；若定義域中不包含0，則k1，驗證得此時f(x)也是奇函數(shù)解法2由f(x)f(x)0恒成立，解得k±1.點評解此題時，容易受習慣影響漏掉k1.熟悉的地方也有盲點，知識不全面、平時練習偷懶、保量

6、不保質、解題后不注意反思，是面對“意外”題型無法應對的真正原因8已知函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，當x>0時，f(x)x，且當x3，1時，nf(x)m恒成立，則mn的最小值是_分析該題綜合考查了函數(shù)的性質(單調性和奇偶性)，要求考生有一定的分析能力答案1解析因為函數(shù)f(x)x在(0,2)上為減函數(shù)，在2，)上為增函數(shù)，則當x1,3時，4f(x)5.又函數(shù)yf(x)為偶函數(shù)，故當x3，1時，4f(x)5，則mn的最小值是1.三、解答題9已知函數(shù)f(x)，當x、yR時，恒有f(xy)f(x)f(y)(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)如果x>0時，f(x)<0，并且f(1)，試求f(x

7、)在區(qū)間2,6上的最值解析(1)證明：函數(shù)定義域為R，在f(xy)f(x)f(y)中令yx得，f(0)f(x)f(x)令x0，f(0)f(0)f(0)，f(0)0.f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)(2)解：設x1<x2，且x1、x2R.則f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)x2x1>0，f(x2x1)<0.f(x2)f(x1)<0.即f(x)在R上單調遞減從而f(x)在2,6上為減函數(shù)f(2)為最大值，f(6)為最小值f(1)，f(2)f(1)f(1)1，f(2)f(2)1，f(6)2f(3)2f(1)f(2)3.所以f(x)在區(qū)間2,

8、6上的最大值為1，最小值為3.一、選擇題1(2011·湖北理，6)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)axax2(a>0，且a1)，若g(2)a，則f(2)()A2 B.C. Da2答案B解析本題考查函數(shù)奇偶性的應用f(x)g(x)axax2，f(2)g(2)a2a22，又 f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)a2a22.得：g(2)2，a2.得：2f(2)2(a2a2)，f(2)a2a24.2(文)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)是一個減函數(shù)，且x1x20，x2x30，x3x10，則f(x1)f(x2)f(x3)的值()A大于0 B小于0C

9、等于0 D以上都有可能答案A解析由x1x20，得x1x2.又f(x)為減函數(shù)，f(x1)f(x2)，又f(x)為R上的奇函數(shù)，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.同理f(x2)f(x3)0，f(x1)f(x3)0，f(x1)f(x2)f(x3)0.(理)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖像關于直線x1對稱，并且當x(0,1時，f(x)x21，則f(462)的值為()A2 B0C1 D1答案B解析f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)圖像關于直線x1對稱，f(2x)f(x)，f(2x)f(x)f(x)，f(4x)f(2(2x)f(2x)f(x)，f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(4

10、62)f(115×42)f(2)，f(2x)f(x)成立，f(2)f(0)，又f(x)是R上奇函數(shù)，f(0)0，f(462)0.故選B.二、填空題3(2011·廣東文，12)設函數(shù)f(x)x3cosx1.若f(a)11，則f(a)_.答案9解析本題主要考查函數(shù)的基本性質，奇偶性令g(x)x3cosx，則f(x)g(x)1，g(x)為奇函數(shù)f(a)g(a)111，所以g(a)10，f(a)g(a)1g(a)19.4(文)函數(shù)f(x)在1,1上是奇函數(shù)，則f(x)的解析式為_答案f(x)解析f(x)f(x)，f(0)0，即a0，即f(x)，又f(1)f(1)，解得b0，則f(x

11、).由于f(x)f(x)，f(x)為奇函數(shù)，符合題意(理)已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，則f(2010)_.答案解析令y1得4f(x)·f(1)f(x1)f(x1)即f(x)f(x1)f(x1)令x取x1則f(x1)f(x2)f(x)由得f(x)f(x2)f(x)f(x1)即f(x1)f(x2)f(x)f(x3)，f(x3)f(x6)f(x)f(x6)即f(x)周期為6，f(2010)f(6×3350)f(0)對4f(x)f(y)f(xy)f(xy)，令x1，y0，得4f(1)f(0)2f(1)，f(0)，即f(2010

12、).三、解答題5已知函數(shù)f(x)(a，b，cZ)是奇函數(shù)，又f(1)2，f(2)<3，求a，b，c的值解析由f(x)f(x)，得bxc(bxc)，c0.又f(1)2，得a12b，而f(2)<3，得<3，解得1<a<2，又aZ，a0或a1.若a0，則bZ，應舍去；若a1，則b1Z，a1，b1，c0.6(2012·廣東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x2(x0，常數(shù)aR)(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)f(x)在x2，)上為增函數(shù)，求a的取值范圍解析(1)當a0時，f(x)x2，對任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)為

13、偶函數(shù)當a0時，f(x)x2(a0，x0)取x±1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0.f(1)f(1)，f(1)f(1)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(2)方法一：要使函數(shù)f(x)在x2，)上為增函數(shù)等價于f(x)2x0在x2，)上恒成立，即a2x3在x2，)上恒成立，a(2x3)min16.a的取值范圍是(，16方法二：設2x1<x2，f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a要使函數(shù)f(x)在x2，)上為增函數(shù)，必有f(x1)f(x2)<0恒成立x1x2<0，即a<x1x2(x1x2)恒成立，又x1x2>4，x1x2>4，x1x2(x1x2)>16.a的取值范圍是(，167設函數(shù)f(x)是定義在1,0)(0,1上的奇函數(shù)，當x1,0)時，f(x)2ax(aR)(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若a>1，試判斷f(x)在(0,1上的單調性；(3)是否存在實數(shù)a，使得當x(0,1時，f(x)有最大值6.解析(1)設x(0,1，則x1,0)，f(x)2axf(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)當x(0,1