概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復(fù)習(xí)20題及解答

1、實用文檔概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末復(fù)習(xí)20題及解答【第一章】 隨機事件與概率1、甲袋中有4個白球3個黑球，乙袋中有2個白球3個黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋 ，再從乙 袋中任取一球返還甲袋.求經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加的概率.2、某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴枺蟠巳藫芴柌怀^兩次而接通所需電 話的概率.3、已知將0,1兩字符之一輸入信道時輸出的也是字符0或1 ,且輸出結(jié)果為原字符的概率為(01).假設(shè)該信道傳輸各字符時是獨立工作的.現(xiàn)以等概率從“ 101“ 010 ”這兩個字符串中任取一個入信道.求輸出結(jié)果恰為“ 000”的概率.4、試卷中的一道選擇題有 4個答案可供選擇

2、，其中只有 1個答案是正確的.某考生如果會做這道題， 則一定能選出正確答案；若該考生不會做這道題，則不妨隨機選取一個答案.設(shè)該考生會做這道題的概率 為0.85. (1)求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對了此題，求該考生確實會做這道題的概率.【第二章】 隨機變量及其分布5、設(shè)連續(xù)隨機變量X的分布函數(shù)為F (x) A B arctan x,(3)求X的概率密度.(1)求系數(shù)A及B ; (2)求X落在區(qū)間(1,1)內(nèi)的概率;6、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)ax, 0 x0, 其它1,求：(1)常數(shù)a ; (2)P(0.5 X 1.5); (3)X的分布函數(shù)F(x).7、設(shè)二維隨

3、機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為A(1 f (x, y)0,xy),1, y其它.1;求：(1)系數(shù)A； (2)X的邊緣概率密度fX (x) ; (3)概率P(Y8、設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x, y)2x;0,其它.1.一 一 一求：(1) (X,Y)的邊緣概率密度 fx(x), fY(y); (2)概率P(X ,Y 1) ; (3)判斷X ,Y是否相互2獨立.9、設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，fY(y)X U 0, 0.2, Y的概率密度函數(shù)為 5e5y,y 0,0,y 0.(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度 f (x, y) ; (2)求概率P(Y X) .【第三章】數(shù)字特征

4、10、設(shè)隨機變量X的概率密度為(ab)xb,0 x1,f (x)a (2x),1 x2,0,其它，_ _1,、，_已知 E(X),求：(1) a,b 的值；(2) E(2X 3).211、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)Ae2x, x 0, 0, x 0.求：(1)常數(shù) A; (2) E(X)和 D(X) .(1)求X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X),E(Y),方差D(X),D(Y) . (2)求X,Y的協(xié)方差cov(X,Y)與相12、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下:X-Y0101 / 4011 / 41 / 2關(guān)系數(shù)R(X,Y).【第四章】正態(tài)分布13、假設(shè)某大學(xué)學(xué)生在一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計統(tǒng)考中的考試

5、成績X (百分制)近似服從正態(tài)分布，已知滿分為100分平均成績?yōu)?5分，95分以上的人數(shù)占考生總數(shù)的2.3%. (1)試估計本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計本次考試成績在65分至85分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的比例.已知 (1) 0.8413,(1.5) 0.9332,(2) 0.9772 14、兩臺機床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯.設(shè)隨機變量 X (單位：mm)表示軸的直徑，隨機變量 Y (單2_2位：mm)表示軸襯的內(nèi)徑，已知 X N(50, 0.3 ), Y N(52,04 ),顯然X與Y是獨立的.如果軸襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在1 3 mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任

6、取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【第五章】 數(shù)理統(tǒng)計基本知識15、設(shè)總體X N(0, 1) , Xi,X2, ,X5是來自該總體的簡單隨機樣本，求常數(shù) k 0使k(X1 2X2)X2 X2 X52t(3).16、設(shè)總體X N (40,52),從該總體中抽取容量為64的樣本，求概率 P(| X 40 | 1).【第六章】參數(shù)估計17、設(shè)總體X的概率密度為f(x；)(x 2)e0,x 2,其它，其中參數(shù)0 .設(shè)X3X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機樣本，Xi,X2, ,4為樣本觀測值(1)求參數(shù) 的矩估計量.(2)求參數(shù) 的最大似然估計量.18、設(shè)總體X的概率密度

7、為f(x;)1-X xe0,x 0;x 0,其中參數(shù)0 .設(shè)X3X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機樣本，Xi,X2, ,Xn為樣本觀測值(1)求參數(shù) 的最大似然估計量.(2)你得到的估計量是不是參數(shù)的無偏估計，請說明理由.【第七章】假設(shè)檢驗19、矩形的寬與長之比為 0.618 (黃金分割)時將給人們視覺上的和諧美感.某工藝品廠生產(chǎn)矩形裱畫專用框架.根據(jù)該廠制定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，一批合格產(chǎn)品的寬與長之比必須服從均值為0 0.618的正態(tài)分布.現(xiàn)從該廠某日生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取25個樣品，測得其寬與長之比的平均值為x 0.646,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s 0.093.試問在顯著性水平0.05水平上能否認(rèn)為

8、這批產(chǎn)品是合格品？20、已知某種口服藥存在使服用者收縮壓(高壓)增高的副作用.臨床統(tǒng)計表明，在服用此藥的人群中實用文檔收縮壓的增高值服從均值為0 22 (單位：mmHg ,毫米汞柱)的正態(tài)分布.現(xiàn)在研制了一種新的替代藥品，并對一批志愿者進行了臨床試驗.現(xiàn)從該批志愿者中隨機抽取16人測量收縮壓增高值，計算得到樣本均值x 19.5(mmHg ),樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 5.2(mmHg ).試問這組臨床試驗的樣本數(shù)據(jù)能否支持“新的替代 藥品比原藥品副作用小”這一結(jié)論(取顯著性水平0.05).解答部分【第一章】隨機事件與概率1、甲袋中有4個白球3個黑球，乙袋中有 2個白球3個黑球，先從甲袋中任取一球放入乙袋，

9、再從乙袋中任取一球返還甲袋.求經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加的概率.【解】設(shè)A表示“從甲袋移往乙袋的是白球” ，B表示“從乙袋返還甲袋的是黑球”，C表示“經(jīng)此換球過程后甲袋中黑球數(shù)增加”，則C AB,431又P(A) ，P(B A)-于是由概率乘法定理得所求概率為7624 12P(C) P(AB) P(A)P(BA)=- - 7.2、某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?，求此人撥號不超過兩次而接通所需電話的概率.【解】 設(shè)Ai表示“此人第i次撥號能撥通所需電話”(i 1,2), A表示“此人撥號不超過兩次而接通所需電話”，則A Ai A1A2,由概率加法定理與乘法定理得所求概率為

10、P(A) P(A A1A2) P(A1) P(A1A2)19 1P(A) P(A)P(A2A) -9 1 0.2.10 10 93、已知將0,1兩字符之一輸入信道時輸出的也是字符0或1 ,且輸出結(jié)果為原字符的概率為(01).假設(shè)該信道傳輸各字符時是獨立工作的.現(xiàn)以等概率從“ 101“ 010 ”這兩個字符串中任取一個入信道.求輸出結(jié)果恰為“ 000”的概率.【解】設(shè)Ai :輸入的是“ 101 ”，A2:輸入的是“ 010 ”，B:輸出的是“ 000 ”，則P(Ai) 1/2, P(A2) 1/2, P(b|Ai) (1)2 , P(B A2)2(1),P(B) P(Ai)P(B Ai) P(A

11、2)P(B A2)12121一(1)-(1)(1).2224、試卷中的一道選擇題有 4個答案可供選擇，其中只有 1個答案是正確的.某考生如果會做這道題,則一定能選出正確答案；若該考生不會做這道題，則不妨隨機選取一個答案.設(shè)該考生會做這道題的概率為0.85. (1)求該考生選出此題正確答案的概率；(2)已知該考生做對了此題，求該考生確實會做這道 題的概率.【解】設(shè)A表示“該考生會解這道題” ，B表示“該考生選出正確答案”，則P(A)(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得0.85, P(A) 0.2, P(B A) 1, P(B| A) 0.25.P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B|

12、A)P(AB)”0.85 10.90.944. 180.85 1 0.2 0.25 0.9.【第二章】 隨機變量及其分布5、設(shè)連續(xù)隨機變量X的分布函數(shù)為F (x) A B arctan x, x(3)求X的概率密度.(1)求系數(shù)A及B ; (2)求X落在區(qū)間(1,1)內(nèi)的概率;【解】(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)可知F()如 F(x) A B ( -) 0,F( ) lim F(x) A B -x2由此解得(2) X的分布函數(shù)為于是所求概率為P( 1 X 1)(3) X的概率密度為F(x)1A -,B2arctanx (),1111F (1) F ( 1) ( arctan1) ( arctan( 1

13、)22f(x) F (x)(1x2)6、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)ax, 0 x 1,0, 其它，實用文檔y x2求：(1)常數(shù) a ； (2) P(0.5 X1.5)； (3)X的分布函數(shù)F(x).【解】(1)由概率密度的性質(zhì)可知f(x)dx1axdx01,由此得(2)P(0.51.5)12xdx1/22 .3/20dx101/20.75.(3)當(dāng) xx 1時,1時，有所以,0時，有F(x)x0dx0;F(x)F(x)X的分布函數(shù)為7、設(shè)二維隨機變量求：(1)系數(shù)A; (2)00dx00dxF(x)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f (x, y)A(10,X的邊緣概率密度fX(x)【解】(1

14、)由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)可知由此得(2)當(dāng)1 x 1時，有當(dāng)x 1或x 1時，顯然有所以X的邊緣概率密度(3)P(Y X2)x2xdx012xdx0,2x ,1,xy),(3)x0dx10,x 1,1.1, y其它.概率P(Y1.1;f (x, y)dxdydx 1 A(1fX(x)f (x, y)dyfX(x)fX(x)1/2,0,xy)dy4A1,f (x, y)dxdy1dx10.x2 114xy . dy 41 x 1;其它.%y一(一 x14 2x21)dx -23實用文檔8、設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x, y)1, 0 x 1,0 y 2x;0,其它.求：(1) (X,

15、Y)的邊緣概率密度獨立. 1fx(x) , fY(y) ； (2)概率 P(X - ,Y21) ； (3)判斷X ,Y是否相互【解】(1)當(dāng)0 x 1時，有2xfx (x)f(x,y)dy 0 dy 2x;當(dāng)x 0或x 1時，顯然有fx(x) 0.于是X的邊緣概率密度為2x, 0x1; fX(x)0,其它.當(dāng)0 y 2時，有1yfY (y)f (x, y)dx y dx 1 52當(dāng)y 0或y 2時，顯然有fY(y)0.于是Y的邊緣概率密度為1、(2) P(X 2,Y 1)1 fY(y)2,0,11/ 2dy f (x, y)dx0 y 2；其它.11/21dy dx .0y/24(3)容易驗證

16、f (x, y)fX(x) fY(y),故X與Y不獨立.9、設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X U 0, 0.2, Y的概率密度函數(shù)為fY(y)5e5y, y 0,0, y 0.(2)求X和Y的聯(lián)合概率密度 f (x, y) ； (2)求概率P(Y X).【解】(1)由題意知，X的概率密度函數(shù)為fX(x)5,0,0 x 0.2;其它.因為X和Y相互獨立，故 X和Y的聯(lián)合概率密度5y25e ,0 x 0.2, y 0;f (x, y)fX(x)fy(y)0 其它 )(2)0.2 x0.2P(Y X) f (x,y)dxdy ° dx °25e 5ydy 5。(1 e )dx

17、 e【第三章】數(shù)字特征10、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)b,(a b)x a(2 x) 0,0x1,1 x 2, 其它，1,已知E(X),求：(1) a,b的值;2【解】(1)由概率密度的性質(zhì)可知(2)E(2X3).E(X)聯(lián)立方程組f (x) dxxf (x)dx10(ab)x bdx10(ab)x2押2bxdxb2 b61,12,x) dx21a(2x)xdx解得(2) 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有E(2X3) 2E(X)4.11、設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)Ae2x0,0,0.求：(1)常數(shù) A; (2) E(X)和 D(X) .【解】(1)由概率密度的性質(zhì)可知f (x)dxAe2xdx

18、由此得(2)由數(shù)學(xué)期望公式得E(X)2x 2x ,x 2e dxtetdtH2)由于E(X2)2x t a2e 2xdx40 t2e tdt13)%2!故利用方差計算公式得2211 21D(X) E(X ) E(X)()224【解】 由(X ,Y)的聯(lián)合概率分布知X,Y服從"0 1"分布:12、設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下：-Y0101 / 4011 / 41 / 2(1)求X,Y的數(shù)學(xué)期望E(X),E(Y),方差D(X), D(Y). (2)求X,Y的協(xié)方差cov(X,Y)與相 關(guān)系數(shù)R(X,Y).3/16 , 1/4 ,從而E(XY) 0 0 1/4010101/41

19、11/41/2,cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)1/2 3/4 1/2 1/8,P(X 0) 1/4, P(X 1) 3/4,P(Y 0) 1/2, P(Y 1) 1/2,由"0 1"分布的期望與方差公式得E(X) 3/4, D(X) 3/4 (1 1/4)E(Y) 1/2, D(Y) 1/2 (1 1/2)由(X,Y)的聯(lián)合概率分布知cov(X,Y)1/8.3R(X,Y).D(X) D(Y) , 3/16 1/43【第四章】正態(tài)分布13、假設(shè)某大學(xué)學(xué)生在一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計統(tǒng)考中的考試成績X (百分制)近似服從正態(tài)分布,已知滿分為100分平均成績?yōu)?5分，9

20、5分以上的人數(shù)占考生總數(shù)的2.3%. (1)試估計本次考試的不及格率(低于60分為不及格)；(2)試估計本次考試成績在65分至85分之間的考生人數(shù)占考生總數(shù)的比例.已知 (1) 0.8413,(1.5) 0.9332,(2) 0.9772 2【解】 由題意，可設(shè) X近似服從正態(tài)分布 N(75,).已知P(X 95) 2.3%,即95 7520P(X 95) 1 P(X 95) 1() 1(一)2.3%,由此得 (20) 0.977,于是型 2,10,從而近似有 X N(75, 102).(1)60 75P(X 60)()( 1.5) 1(1.5) 1 0.9332 0.0668,10由此可知，

21、本次考試的不及格率約為6.68%.(2)85 75P(65 X 85) F(二)(1) 2 (1) 1 2 0.8413 1 0.6826,由此可知，成績在 65分至85分之間的考生人數(shù)約占考生總數(shù)的68.26% .14、兩臺機床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯.設(shè)隨機變量X (單位：mm)表示軸的直徑，隨機變量 Y (單位：mm)表示軸襯的內(nèi)徑，已知 X N(50, 0.32), Y N(52,0.42),顯然X與Y是獨立的.如果軸 襯的內(nèi)徑與軸的直徑之差在1 3 mm之間，則軸與軸襯可以配套使用.求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率.已知 (2) 0.9772【解】 設(shè)Z Y X,由X與Y的獨立性及獨

22、立正態(tài)變量的線性組合的性質(zhì)可知， 一_ 22Z Y X N(52 50,0.30.4 ),即Z N(2,0.52).于是所求概率為 _3 21 2P(1 Z 3)(/)崇)(2)( 2)0.50.52 (2) 1 2 0.9772 1 0.9544.【第五章】 數(shù)理統(tǒng)計基本知識15、設(shè)總體 X N(0, 1),k(X1 2X2)X2 X2 X52t(3).Xi,X2, ,X5是來自該總體的簡單隨機樣本，求常數(shù)【解】 由XN(0, 1)知Xi 2X2 N (0, 5),于是X1 2X212 N (0,1),%52又由分布的定義知所以X； x2 x；2(3),(X1 2X2)/ ,5X1 2X2,

23、(X； X： X；)/3X3 X4= t(3), X；比較可得從而16、設(shè)總體X由題設(shè)2、N(40,5 ),從該總體中抽取容量為64的樣本，求概率 P(| X 40 | 1).P(|XX401 1) P(|-64,于X n4058 N (0,1)408| 一) 5/85P(|u| 8) 2 (1.6) 1 2 0.9452 1 0.8904.5【第六章】參數(shù)估計17、設(shè)總體X的概率密度為f(x；)(x 2)e0,x 2,其它，其中參數(shù)0 .設(shè)X3X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機樣本，Xi,X2, ,Xn為樣本觀測值(1)求參數(shù) 的矩估計量.(2)求參數(shù) 的最大似然估計量. x 2 t1

24、【解】(1) E(X) xf(x, )dx 2 xe (x 2)dx0 (t 2)e tdt - 2 ,1令X E(X),即X 2,解得參數(shù)的矩估計量為(2)樣本似然函數(shù)為L()nf (X,i 1(xi 2)xi 2n)i 1上式兩邊取對數(shù)得上式兩邊對求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為零得lnL()nlnn(Xii 12n),d ln L()dn n一(xi 2n) 0, i 1n 1解得 ，從而參數(shù)的最大似然估計量為X 2n x 2i 11X 218、設(shè)總體X的概率密度為f(x；)1-x xe0,x 0;x 0,其中參數(shù)0 .設(shè)X1，X2, ,Xn是取自該總體的一組簡單隨機樣本，入,*2, ,4為樣本觀測值(1

25、)求參數(shù) 的最大似然估計量.(2)你得到的估計量是不是參數(shù)的無偏估計，請說明理由.【解】(1 )樣本似然函數(shù)為nnxinr1-1L( ) f(X, ) xie二 xxi1上式兩邊取對數(shù)得求導(dǎo)數(shù)得ln L( ) 0解得(2) E(X)于是lnL( ) 2nlnlnL()2n i 112 x/-yX edxIn Xi i 12nXi的極大似然估計量為2n i 1XiX t/X、2 x/ ()e dX,2 t,t e dX0? X 1-11E(?) E(-)E(X) E(X) 222221 nX X i 是 的無偏估計.2n i 12【第七章】假設(shè)檢驗19、矩形的寬與長之比為 0.618 (黃金分割)時將給人們視覺上的和諧美感