極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移定理

1、極值點(diǎn)偏移1-2極值點(diǎn)偏移判定定理一、極值點(diǎn)偏移的判定定理對于可導(dǎo)函數(shù)y f （x）,在區(qū)間（a,b）上只有一個極大（?。┲迭c(diǎn)x0,方程f （x） 0的解分別為x,x2, 且 a x1 x2 b ,（1）若 f（x1） f（2x0 x2），則 x一x2 （）x0,即函數(shù) y f （x）在區(qū)間（x1,x2）上極（?。┐笾?點(diǎn)x0右（左）偏；（2）若 f（xjf （2x0x2）,貝Ux12 x2（）x0,即函數(shù) y f （x）在區(qū)間（xi,x2）上極（?。┐笾迭c(diǎn)x0右（左）偏.證明：（1）因?yàn)閷τ诳蓪?dǎo)函數(shù) y f （x）,在區(qū)間（a, b）上只有一個極大（?。┲迭c(diǎn)x0,則函數(shù)f（x）的 單調(diào)遞增（

2、減）區(qū)間為 （a,x0）,單調(diào)遞減（增）區(qū)間為 （x°,b），由于a x x2 b ,有x1 七 ,且 2x0x2x0,又 f （x1）f（2x0x2），故x1（ ）2x0x2,所以x1x2（）x0 ,即函數(shù)極（?。┐?值點(diǎn)x0右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點(diǎn)左偏m 2 ）x1 x2左慢右快（極值點(diǎn)右偏m -2 ）二、運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法1、方法概述：(1)求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0；(2)構(gòu)造一元差函數(shù) F(x) f (x0 x) f(x0 x)；(3)確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性；(4)結(jié)合F (0) 0 ,判斷F(x)的符號，從而確定f (xo x)、f(x

3、o x)的大小關(guān)系.口訣：極值偏離對稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨2、抽化模型答題模板：若已知函數(shù) f(x)滿足f(x1)f(x2), xo為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求證：xi x2 2x0.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性并求出f(x)的極值點(diǎn)x0;假設(shè)此處f(x)在(，x0)上單調(diào)遞減，在(x0,)上單調(diào)遞增.構(gòu)造 F(x) f(x0 x) f (x0 x)；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成F (x) f (x) f (2x0 x)的形式.(3)通過求導(dǎo) F'(x)討論F(x)的單調(diào)性，判斷出 F(x)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(x0 x)與f(x°

4、x)的大小關(guān)系；假設(shè)此處F(x)在(0,)上單調(diào)遞增，那么我們便可得出F(x) F(x0) f(x0) f(x0) 0,從而得到：x x0時，f (x0 x) f (x0 x).(4)不妨設(shè)xix0x2,通過f(x)的單調(diào)性，f(xi)f(x2), f(x°x)與f(x°x)的大小關(guān)系得出結(jié)論;接上述情況，由于 x x0時，f(x0 x) f(x0 x)且 x1 x0 x2 , f(x1) f(x2),故 f(xj f(x2) f xo (x2 x0) fxo (x2 x0) f (2x0 x?)，又因?yàn)?' x0 ,2x0 x2 x0且f (x)在(，x0)上單調(diào)

5、遞減，從而得到 x1 2x0 x2,從而x1 x2 2x0得證.(5)若要證明f'(x2) 0,還需進(jìn)一步討論 色2與x0的大小，得出漢心2所在的單調(diào)區(qū)間，從 222而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)閤1 x2 2x0 ,故由一x2 x0 ,由于f (x)在(，x0)上單調(diào)遞減，故2f'(x_) 0.2【說明】(1)此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計(jì)算時須細(xì)心；(2)此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求f(x)的單調(diào)性、極值點(diǎn)，證明f(x0 x)與f(x0 x)(或f(x)與f (2x0 x)的大小關(guān)系；若試題難度較大

6、，則直接給出形如xi x2 2x0或f'(x1 2x2) 0的結(jié)論，讓你給予證明，此時自己應(yīng)主動把該小問分解為三問逐步解題三、對點(diǎn)詳析，利器顯鋒芒已知函數(shù) f (x) xe x(x R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若 xix2,且 f(xi)f(x2),證明：xi x2 2.【解析】容易求得第（1）問：/©在上單調(diào)遞增，在a+4上單調(diào)遞減？ /）的極值是/。）=、第 問；構(gòu)造函驗(yàn)成冷=/。十力7a冷=。+冷，W）a旅2則尸8二同01一一出力，當(dāng)父:0時,尸J:產(chǎn)在世楨0）上單調(diào)遞增，又回二口，尸OO'O,即/（1+冷>/（1-冷一二酒子巧_,不

7、妨謾巧V巧由（1）知田<1 / JCj > 1J./日） =/（叫）="十的1）】 A/" 8 功=d） . X21 , 2X21, f（x）在（，1）上單調(diào)遞增，Xi2 X2,X1X22.44 3,1、函數(shù) f（X） X-X 與直線y a（a一）交于A（X，a）、B（X2,a）兩點(diǎn).33證明：X1X22.【解析】設(shè)國文修:函數(shù)= d 的單調(diào)遞減區(qū)間為（rj）,單調(diào)遞增區(qū)間為"中0,有。al設(shè)理二川為一川-M7力=降/_*1）>,故風(fēng)力單調(diào)遞增區(qū)間為（TO,+On又耳（0）=0,所以當(dāng)x>0時式角>加6 =3 即x>0時,其，4

8、福）=H苞戶/Q十（向1 /尊一面,又不 <17 2 / < 1 ?又函魏,，（工）二7一：1里調(diào)遞減區(qū)間為（fj）,所以再<2否,即七十否（2.2已知函數(shù) f （x） In X ,右 X1X2,且 f（X1） f（X2）,證明：X1 X2 4 .X2 一 一【斛析】由函數(shù) f（X） In X單倜性可知：右 f（X1）f（X2）,則必有X1 2 x2,。X所以4 X12 ,22而 f(X1) f (4 X1)一 In X1 ln(4X1),X14 X1令 h（X）In x ln(4 x),則h'(x)22x (4 x) x_2_ 2222(4 x) 2x x(4 x)

9、 x (4 x)22x (4 x)_ 28(x 2)0x2(4 x)2所以函數(shù)h(x)在(0,2)為減函數(shù)，所以h(x) h(2) 0,所以 f(xi)f (4xi)0 即 f(xi) f (4 xi),所以 f(x2) f (4x2),所以 xi x24.2已知函數(shù)f xx2 ex a x 1有兩個零點(diǎn).設(shè)總區(qū)是f x的兩個零點(diǎn)，證明：xx22.【解析】不妨設(shè)%由題苣知/當(dāng)三)=0 一要證不等式成立n只需證號石1三時,原不等式成立即可.令尸=/。對一1十句，則廣當(dāng)才時，X(x)0二尸(田 尸(。)=。即/(L4即勺)2-*而&.2一毛e(Lm),且("在上述增，故叫w 2百

10、？即巧4"巧:2一四、招式演練已知函數(shù)g x ex ax2,其中a R,e 2.71828”為自然對數(shù)的底數(shù)，f x是g x的導(dǎo)函數(shù).(I)求f x的極值；(n)若 a 1 ,證明：當(dāng)為 x2，且 f k f x2 時，x1 x2 0.【答案】(1)當(dāng)a 0時，f x無極值；當(dāng)a 0時，f x有極小值f In a a aln a ;(2)詳見解析.【解析】試題分析：(I)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；(n)求出函數(shù) f (x)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)函數(shù) F (x) =f (x) - f (- x),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.試題

11、解析：,、_x. 、_x(i) f x g x e ax 的te義域?yàn)椋?f x e a當(dāng)a 0時，f x 0在x , 時成立f x 在 , 上單調(diào)遞增， f x無極值.當(dāng) a 0時，f xex a 0解得 x In a由 fx 0 得xln a；由 fx 0 得xln a所以f x在 ，lna 上單調(diào)遞減，在 In a , 上單調(diào)遞增,故f x有極小值f ln a a aln a .f x , f x變化情況如下表:(n)當(dāng)a 1時，f x ex x的定義域?yàn)閤,000,f x0+f x單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由f x ex 1 0 ,解得x 0 .當(dāng)x變化時,xix2 ,且 fxifx2,則

12、 X 0x2（不妨設(shè)xix2）i曜數(shù)月(x) = /(力一/1(£)=也T+ 戈)二，一士一2x(尤士。)一叫句=/十3-2.&當(dāng)上<。時,0<s<U .'.+>2. ne，當(dāng)工<0時，F(xiàn)*(x)>Q.，函數(shù)產(chǎn)出在(T期上單調(diào)遞增F(x)<F(0) = 0,即當(dāng)尤 V0時，不(西)一/).又了(再>=，(&)#二/(巧)</(一再)二，(力在他的)上單調(diào)遞增：。<為且0V一小/_Xj < 一七一，毛 + 巧 <&2已知函數(shù)f x lnx ax ,其中a R(1)若函數(shù)f x有兩個零

13、點(diǎn)，求a的取值范圍；若函數(shù)f x有極大值為 -,且方程f x m的兩根為為此，且x x2,證明：xi x2 4a.21【答案】(1) 0 a 一； (2)見解析.2e【解析】試題分析；先求/'卜3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,只需令(力的極大值彳 /1/£)=加桓)一?。即可得結(jié)果，C2結(jié)合由，0)的極大值求得。研究的數(shù) 巴，”，一2-切的單調(diào)性，可得巧卜從而可得結(jié)以11 _ C ?試題解析：1)fx) = -2aX = -=-(xQ)戈x(1)當(dāng)a 0時，f x 0函數(shù)f x在0, 上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點(diǎn)當(dāng) a 0時，f x 0,x J 2ax甲Y 2a2 2af x0-f x/極大值f x的極大值為 f J In1,由In J 1 0得0 a 工；2a2a 2,1 2a 22eaa2a2a內(nèi)為 f e In e ae a ae 0,所以f x在e a, J 必存在一個零點(diǎn)； 2a顯然當(dāng)x 時，f x 0,所以f x在 J,上必存