正方形的定義、性質(zhì)

1、知識回顧知識回顧:定義定義 邊邊角角對對 角角 線線對對 稱稱 性性平行平行四邊四邊形形 矩矩 形形 菱菱 形形 幾種特殊四邊形的定義及性質(zhì)幾種特殊四邊形的定義及性質(zhì) 對邊平行對邊平行 且相等且相等對邊平行對邊平行 且相等且相等對邊平行對邊平行，四邊都，四邊都相等相等對角相等，對角相等，鄰角互補鄰角互補 四個角四個角都是直角都是直角對角相等，對角相等，鄰角互補鄰角互補對角線對角線互相平分互相平分對角線相等對角線相等且互相平分且互相平分對角線互相對角線互相垂直平分，垂直平分，每條對角線每條對角線平分一組對平分一組對角角中心對中心對稱圖形稱圖形軸對稱軸對稱圖形、圖形、中心對中心對稱圖形稱圖形 軸對

2、稱軸對稱圖形、中圖形、中心對稱圖心對稱圖形形兩組對邊兩組對邊分別平行分別平行的四邊形的四邊形有一個角有一個角是直角的是直角的平行四邊平行四邊形形有一組鄰有一組鄰邊相等的邊相等的平行四邊平行四邊形形請同學們畫一個四邊形，請同學們畫一個四邊形，要求它既是要求它既是矩形矩形又是又是菱形菱形。 正方形正方形 數(shù)學數(shù)學八年級八年級 ( (上冊上冊) )19.2.219.2.2探究小結(jié)探究小結(jié)矩 形正方形鄰邊鄰邊相等相等發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)： 一組鄰邊相等的矩形一組鄰邊相等的矩形 是正方形是正方形 菱菱 形形一個角一個角是直角是直角正方形發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)： 一個角為直角的菱形一個角為直角的菱形是正方形是正方形正方形定義正

3、方形定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形定義：有一組鄰邊相等定義：有一組鄰邊相等并且并且有一個角是直角的有一個角是直角的平行四邊形平行四邊形 叫做正方形。叫做正方形。一個角是直角一個角是直角一個角是直角一個角是直角一個角是直角，一組鄰邊相等一個角是直角，一組鄰邊相等一組鄰邊相等一組鄰邊相等一組鄰邊相等一組鄰邊相等平行四邊形的對邊平行且相等平行四邊形的對邊平行且相等平行四邊形的對角相等平行四邊形的對角相等平行四邊形的鄰角互補平行四邊形的鄰角互補平行四邊形的對角線互相平分平行四邊形的對角線互相平分性質(zhì)：性質(zhì)：特有性質(zhì)：特有性質(zhì)

4、：矩形的四個角都是直角矩形的四個角都是直角矩形的對角線相等矩形的對角線相等特有性質(zhì)：特有性質(zhì)：菱形的四條邊都相等菱形的四條邊都相等菱形的兩條對角線互菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條相垂直，并且每一條對角線平分一組對角對角線平分一組對角性質(zhì)：性質(zhì)：正方形兩組對邊平行，正方形兩組對邊平行，四條邊都相等四條邊都相等正方形的四個角都是直角正方形的四個角都是直角正方形的對角線相等，互正方形的對角線相等，互相平分且垂直，并且每一相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角條對角線平分一組對角正方形性質(zhì)正方形性質(zhì)邊邊角角對角線對角線對稱性對稱性圖圖形形語語言言 文文字字語語言言 符符號號語語言言ACDBA

5、CDBACDBO對邊平行，對邊平行， 四條四條邊都邊都相等相等 四四 個個 角角 都是直角都是直角對角線互相垂直對角線互相垂直平分且相等，每平分且相等，每條對角線平分一條對角線平分一組對角組對角四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形A=B=C=D=90四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD, 1= 2= 3= 4= 5= 6= 7= 8軸對稱圖形軸對稱圖形 中心對稱圖形中心對稱圖形12345678A AB BC CD DO O正方形中正方形中：（：（按組說）按組說）1 1、相

6、等的邊有哪些？、相等的邊有哪些？2 2、相等的角有哪些？、相等的角有哪些？3 3、等腰三角形有哪些？、等腰三角形有哪些？4 4、直角三角形有哪些？、直角三角形有哪些？5 5、全等三角形有哪些？、全等三角形有哪些？ 求證求證: 正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形的等腰直角三角形.這是一道文字證明題這是一道文字證明題,該怎么做該怎么做?你會做嗎你會做嗎?第一步第一步:根據(jù)題意畫出圖形根據(jù)題意畫出圖形第二步第二步:寫出已知、求證寫出已知、求證第三步第三步：進行證明進行證明ADCBO 已知已知:如圖如圖,四邊形四邊形ABCD是正方形是正

7、方形,對對 角線角線AC、BD相交于點相交于點O. 求證求證:ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形.證明證明: 四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都都是等腰直角三角形是等腰直角三角形,并且并且 ABO BCO CDO DAO分析分析:利用正方形的性質(zhì)利用正方形的性質(zhì),對角線互相垂直平分且相對角線互相垂直平分且相等等,每條對角線平分一組對角每條對角線平分一組對角.平分平分可以產(chǎn)生可以產(chǎn)生線段等量線段等量關(guān)系關(guān)系,垂直垂直可以產(chǎn)生可以產(chǎn)生直角直角,于是可以得到四個全

8、等的等于是可以得到四個全等的等腰直角三角形腰直角三角形.平行四邊形平行四邊形矩形矩形菱形菱形正正方方形形平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系圖例題解析 1.已知:正方形ABCD中,點E、F、G 、H分別是AB 、BC 、CD 、DA的中點,試判斷四邊形EFGH是正方形嗎?為什么?定義：有一組鄰邊相等定義：有一組鄰邊相等并且并且有一個角是直角的有一個角是直角的平行四邊形平行四邊形 叫做正方形。叫做正方形。例例2如圖如圖(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O， 分析：分析：要證明要證明BMCN，大家觀察，大家觀察圖形可以考慮證哪兩個三角形全等圖形可以考慮證哪兩個三角形全等

9、? MNAB且且MN分別交分別交OA、OB于于M、N，求證：求證：BMCN。 你能完成證明嗎你能完成證明嗎?ABBC，1245 條件夠嗎？條件夠嗎？還需要的條件是還需要的條件是 AMBNABM BCN你所要證明的兩個三角形已經(jīng)滿足你所要證明的兩個三角形已經(jīng)滿足了哪些條件了哪些條件?由正方形可以得到的條件有：由正方形可以得到的條件有：例例2如圖如圖(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交相交于于O，MNAB且且MN分別交分別交OA、OB于于M、N，求證：求證：BMCN。 證明：證明：四邊形四邊形ABCD是正方形是正方形 OAOB ,12345 又又MNAB OMN13ONM45 OM

10、ON OAOMOBON 即即AMBN下面大家自己完成證明下面大家自己完成證明練習練習1已知：正方形已知：正方形ABCD對角線對角線AC、BD相相交于點交于點O，且，且ABacm，如圖，如圖(2)。求：求：AC的長及正方形的面積的長及正方形的面積S。 練習練習2已知：在正方形已知：在正方形ABCD中，對角線中，對角線AC、BD相交于點相交于點O，且，且AC6 cm，如圖，如圖求：正方形的面積求：正方形的面積S。 2例例3已知：如圖已知：如圖(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F(xiàn)為為CD延長線延長線 上一點，上一點，CEAF于于E，交，交AD于于M， 求證：求證：MFD45分析：分析：欲證欲證M

11、FD45，由于，由于MDF是直角三角形是直角三角形,只須證只須證MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要證即只要證 _=_要證要證MDFD，大家只須證得哪兩個三角形全等，大家只須證得哪兩個三角形全等? 試一試試一試看能不能完成證明看能不能完成證明?CMD ADF例3已知：如圖已知：如圖(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F(xiàn)為為CD延長線上一點，延長線上一點，CEAF于于E，交，交AD于于M，求證：求證：MFD45證明：證明：CEAF ADCAEM90 又又CMDAME 12又又CDAD，ADFMDCRtCDM RtADF(AAS) DM=DF 下面的證明請大家完成下面的證明請大家完成練習練習如

12、圖如圖(5)，在，在AB上取一點上取一點C，以，以AC、BC為正方形的一邊在同一側(cè)作正為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形方形AEDC和和BCFG連結(jié)連結(jié)AF、BD延長延長BD交交AF于于H。求證：求證：(1) ACF DCB (2) BHAF 證明：證明： 例例4如圖如圖(6)，ABC的外面作正方形的外面作正方形ABDE和和ACFG，連，連結(jié)結(jié)BG、CE，交點為，交點為N。求證：求證：CEAABG 分析：分析：欲證欲證CEAABG，大家想一想證明兩個角相等的方法，大家想一想證明兩個角相等的方法，你有辦法了嗎？通過自己的努力，看能不能解決問題？你有辦法了嗎？通過自己的努力，看能不能解決問題？證明：證明：四邊形四邊形ABDE和四邊形和四邊形ACFG是正方形。是正方形。AEABAGAC1290又又EAC1BAC90BAC BAG2BAC90BACEACBAGAEC ABG(SAS) CEAABG 2.已知:正方形ABCD中,點E、F、G 、H分別在AB 、BC 、CD 、