理論力學(xué) 10 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程

1、10 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程 在靜力學(xué)中，我們研究了力系的簡化和平衡問題，但沒有研究物體在不平衡力系作用下將如何運(yùn)動。在運(yùn)動學(xué)中，我們僅從幾何學(xué)的角度描述了物體的運(yùn)動規(guī)律及其特征，并未涉及物體的質(zhì)量(Mass)及其所受的力。因此，靜力學(xué)和運(yùn)動學(xué)都是從不同的側(cè)面研究了物體的機(jī)械運(yùn)動。 動力學(xué)(Dynamics)則將對物體的機(jī)械運(yùn)動進(jìn)行全面分析，不僅分析物體的受力和物體的運(yùn)動，而且通過動力學(xué)定理將二者聯(lián)系起來。因此，動力學(xué)是研究物體的機(jī)械運(yùn)動與作用力之間關(guān)系的科學(xué)。 動力學(xué)研究的兩類力學(xué)模型是：質(zhì)點(diǎn)（Particle）和質(zhì)點(diǎn)系（System of particles）。所謂質(zhì)點(diǎn)，是指具有

2、一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。例如，在研究地球環(huán)繞太陽的運(yùn)行規(guī)律時，就可以不考慮地球的形狀和大小尺寸，而把它抽象為一個質(zhì)量集中于質(zhì)心（Center of mass）的質(zhì)點(diǎn)；所謂質(zhì)點(diǎn)系，是指由有限個或無限個有一定聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。這樣，任何物體（包括固體、液體、氣體）都可以看作是某個質(zhì)點(diǎn)系。剛體則是各質(zhì)點(diǎn)之間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)系。 動力學(xué)可分為質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)和質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)。前者是后者的基礎(chǔ)。 第一定律（慣性定律）第一定律（慣性定律）10. .1 動力學(xué)基本定律動力學(xué)基本定律 不受任何力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動。 首先，定律指出不受力作用的質(zhì)點(diǎn)（包括受平衡力系

3、作用的質(zhì)點(diǎn)），不是處于靜止?fàn)顟B(tài)，就是保持勻速直線運(yùn)動。這種性質(zhì)稱為慣性（Inertia）。第一定律闡述了物體作慣性運(yùn)動的條件，故又稱為慣性定律。 其次，定律還指出，若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生改變，必定是受到其他物體的作用，這種機(jī)械作用就是力。 第二定律（力與加速度關(guān)系定律）第二定律（力與加速度關(guān)系定律）maF （10-1） 式（10-1）稱為質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)基本方程。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時受多個力作用時，式（10-1）右端的F應(yīng)理解為是這些力的合力，即 FF 由該定律可知，以同樣的力作用在不同質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)上，質(zhì)量愈大的質(zhì)點(diǎn)獲得的加速度愈小，也就不易改變它的運(yùn)動狀態(tài)。這就說明了較大的質(zhì)量具有較大的慣性。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣

4、性的度量。 F a M v 圖 10-1 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，所受的力為F，由于力F的作用所產(chǎn)生的加速度為a，如圖10-1所示。則此定律可表示為 在第二定律中，力與加速度是瞬時關(guān)系，即只要某瞬時作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力不為零，則在該瞬時必有確定的加速度；沒有力作用或作用的合力為零，則加速度為零。 在地球表面，物體受重力G作用而產(chǎn)生的自由落體加速度 g稱為重力加速度。設(shè)物體的質(zhì)量為m ，根據(jù)第二定律則有： ;GmmgGg （10-2） 在國際單位制中質(zhì)量，長度和時間的單位被作為基本單位。質(zhì)量的單位為千克(kg) ,長度的

5、單位為米(m) ，時間的單位為秒(s)。力的單位是導(dǎo)出單位，即使質(zhì)量為1 kg的物體的物體獲得1 m / s2的加速度的力，稱為1牛頓(N)。即 1 N=1 kg 1m / s2 第三定律（作用與反作用定律）第三定律（作用與反作用定律） 兩質(zhì)點(diǎn)相互作用時，兩質(zhì)點(diǎn)間相互作用力，總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，分別作用在這兩質(zhì)點(diǎn)上。 這個定律不僅適用平衡的物體，而且也適用于任何運(yùn)動的物體。在動力學(xué)問題中，這一定律仍然是分析兩個物體相互作用關(guān)系的依據(jù)。 動力學(xué)基本定律中所說的靜止，速度，加速度等都只是相對于某種參考系而言的。使動力學(xué)基本定律正確成立的參考系稱為慣性參考系。在一般的工程技術(shù)問題中

6、，如果忽略地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)而不致帶來大的誤差時，可以近似地把固結(jié)于地球上的參考系看作慣性參考系。在以后如無特別說明，我們均取固定在地球上的參考系作為慣性參考系。10. .2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程 牛頓第二定律，建立了質(zhì)點(diǎn)的加速度與作用力的關(guān)系。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到n個力 F1， ， Fn 。作用時，式（10-1）寫成 Fam (10-3) 將式（10-3）中的加速度表示為位置參數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，就得到各種形式質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程。 10.2.1 矢量形式 設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，作用于其上的合力為： FF矢徑為r，加速度為a ，如圖10-2所示。 oxyzrM ( x , y , z )Fv圖10-2由

7、運(yùn)動學(xué)知： 22ddtra 代入式（10-3）得Fr22ddtm（10-4） 式（10-4）即為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的矢量形式。 10.2.2 直角坐標(biāo)形式 把式（10-4）投影到直角坐標(biāo)系oxyz的三個坐標(biāo)軸上（見圖10-2），并注意到 xtxax 22ddytyay 22dd22ddzzaztxxFFyyFFzzFF得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的直角坐標(biāo)形式： zyxFzmFymFxm (10-5) 10.2.3 自然坐標(biāo)形式 設(shè)已知質(zhì)點(diǎn)M的軌跡曲線如圖10-3所示。以軌跡曲線上質(zhì)點(diǎn)所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，取自然軸系，并把式（10-3）向各軸投影，由運(yùn)動學(xué)知： 222d;0;dnbnbnbsvaaaFFFFF

8、Ft2220nnbbd smamFdtvmamFmaF分別表示加速度a和力F在自然軸軸上的投影，則 (10-6) 式（10-6）稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的自然坐標(biāo)形式。在運(yùn)動軌跡己知的情況下，宜采用自然形式的方程。 n M (+) () b 圖 10-3 10. .3 質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的兩類基本問題題 第一類問題己知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的。 若己知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，選擇相應(yīng)坐標(biāo)系，列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，運(yùn)用微分運(yùn)算，便可求得加速度在坐標(biāo)軸上的投影，由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程求出要求的力。因此，求解第一類問題歸結(jié)為微分問題。 第二類問題己知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。 這類問題的求解歸

9、結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程的積分。如作用于質(zhì)點(diǎn)上的力是常力，或力為時間、位置坐標(biāo)、速度的簡單函數(shù)，積分一般不會有困難；如果該函數(shù)關(guān)系比般復(fù)雜，會使積分計算遇到困難，甚至有時只能求得近似解。此外，要確定積分常數(shù)，還需給出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的初始條件，即質(zhì)點(diǎn)t = 0時的初始位置，初始速度等。 例10-1 小球質(zhì)量為m，懸掛于長為l的細(xì)繩上。小球在鉛垂面內(nèi)擺動時，在最低處時速度的大小為v ；擺到最高處時，繩與鉛垂線夾角為j ，如圖10-4所示，此時小球速度為零。試計算小球在最低與最高位置時繩的拉力。2/navl由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程沿法向投影式： 21/nFmgmamvl 解：小球作圓周運(yùn)動，受有重力G = m g和

10、線的拉力 F 作用，在最低處有法向加速度為： 繩的拉力為： 221/(/ )Fmgmvlm gvl最高處j角時，速度為零，法向加速度為零，則其運(yùn)動微分方程沿法向投影式為： O jF1 F2 v mg mg v=0 圖 10-4 0cos2nmamgFjjcos2mgF 繩的拉力 解：本題屬于第一類基本問題，采用直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程進(jìn)行求解。 小球在任一瞬時所受主動力未知，可假設(shè)它在坐標(biāo)軸上的投影為F x和F y，對小球的運(yùn)動方程求導(dǎo)，求出M點(diǎn)的加速度在固定坐標(biāo)軸上的投影：2222cossinxatxybty 由式（10-5）求得作用力F在坐標(biāo)軸上的投影： 22xyFm xm xFm

11、ym y 故力F 的大小為：mryxmFFFyx222222 O x v M y F x y 圖 10-5 例10-2 設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在固定平面內(nèi)運(yùn)動，如圖10-5所示。己知質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是m，運(yùn)動方程是： ， sinybt ，其中，a，b和都是常量。求作用于質(zhì)點(diǎn)的力F。 cosxatr 是質(zhì)點(diǎn) M 到原點(diǎn)O 的距離(稱為極距)，F(xiàn) 的余弦方向是cos(, )cos(, )yxFFxyFrFr F iF j作用力22()xyFFm xym Fijijr可見，力F 與 M點(diǎn)的矢徑 r 的方向相反，也就是說 F 指向原點(diǎn)O。這種作用線恒通過固定點(diǎn)的力稱為有心力。而這個固定點(diǎn)則稱為力心。 以上兩例都是動力學(xué)的

12、第一類基本問題，由此可歸納出求解第一類問題的步驟如下： （1） 取研究對象并視為質(zhì)點(diǎn)； （2）分析質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時的受力，并畫出受力圖； （3） 分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，求質(zhì)點(diǎn)的加速度； （4） 列質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程并求解。 例10-3 以初速v0自地球表面豎直向上發(fā)射一質(zhì)量為 m 的火箭，如圖10-6所示。若不計空氣阻力，火箭所受引力 F 之大小與它到地心距離的平方成反比，求火箭所能到達(dá)的最大高度。 解：（1）取火箭為對象，視為質(zhì)點(diǎn)。 （2）受力分析，火箭在任意位置 x 處，僅受地球引力F 作用。由題意知，F(xiàn) 的大小與 x2 成反比，設(shè) u 為比例系數(shù)，則有：當(dāng)火箭處于地面時，即 x = R 時 F

13、= m g ，由式(a)可得 u = mgR 2，于是火箭在任意位置 x 處所受地球引力 F 的大小為 2uFx(a)22mg RF = x(b) O R F x H M x 圖 10-6 （3）列運(yùn)動方程求解，由于火箭作直線運(yùn)動，火箭的直線運(yùn)動微分方程式為： 2222ddxmg Rmtx (c)分離變量積分式(c) 22ddddddddddxvvxvvttxtx 因為22ddvmg Rmvxx 22ddxvvg Rx (d)初始條件為：當(dāng) t = 0 時，x = R ，v = v 0 ；當(dāng)火箭到最大高度 H 時，x m a x = R + H，v = 0；對式 (d) 積分得：0022ddR

14、 HvRxvvg Rx2201112vg RRRH火箭能達(dá)到的高度H20202v RHg Rv(e)0220vgR 討論：欲使火箭脫離地球引力，所需初速度 v0 應(yīng)多大？ 欲使火箭不受地球引力作用，必須要求 x = R +H ，由于R為常量，由式（e）知，即要求gRv20即（f）23s/km108 . 9gkm6370R將及代入式（f）得v0 = 11.2 km / s這就是火箭脫離地球引力所需的最小發(fā)射速度，稱為第二宇宙速度或逃逸速度。 例10-4 在重力作用下以仰角a初速 v0 拋射一質(zhì)點(diǎn)（見圖10-7）。假設(shè)空氣阻力與速度一次方成正比，與速度方向相反( F = -gv) ， g為阻力系數(shù)

15、。求拋射體的運(yùn)動方程。 解：這是二個自由度的平面曲線運(yùn)動。求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，屬于第二類問題。應(yīng)用直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程進(jìn)行求解。 （1）以質(zhì)點(diǎn)作為研究對象。 （2）受力分析：質(zhì)點(diǎn)在任意位置處受重力G和阻力F作用。 （3）列運(yùn)動方程求解：coscosmxFvxgg sinsinmyFGvmgymggg a F G v v0 x y 圖 10-7 令： mg gyyxx0(a)其一般解為：tgeDDyeCCxtt2121(b)初始條件(當(dāng)t = 0 時 )： 000,0;cos,sinxyxvyvaa代入式(b) 得： 1212202000cossinCCDDgCvDvaa(c)將式(d)代入式(b) ，得運(yùn)動方程： aatgegvyevxtt1sin1cos00這就是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程，也可看成以時間 t 為參數(shù)的軌跡方程式。 aagvDDvCCsincos021021(d) 例10-5 如圖10-8（a）所示一彈性桿。下端固定，上端有一質(zhì)量為 m 的物塊，使其質(zhì)量塊偏離原位置 a 后釋放。質(zhì)量塊在桿的彈性恢復(fù)力下開始振動，桿的質(zhì)量不計。試求質(zhì)量塊的運(yùn)動規(guī)律。 解：取質(zhì)量塊為研究對象，并視其為質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)量塊