2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)全國3卷

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一測試?yán)砜茢?shù)學(xué)注息事項：1 .答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在做題卡上.2 .答復(fù)選擇題時,選出每題答案后,用鉛筆把做題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動, 用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號.答復(fù)非選擇題時,將答案寫在做題卡上.寫在本試卷上無 效.3 .測試結(jié)束后,將本試卷和做題卡一并交回.一、選擇題：此題共 12小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的.1 ,集合 A x|x 1> 0 , B 0, 1 , 2 ,那么 AI BA.0B. 1C.1, 2D,0,1,22 . 1 i 2 iA.3iB

2、.3iC.3 iD. 3 i3.中國古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來,構(gòu)件的凸出局部叫樺頭,凹進局部叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是樺頭.假設(shè)如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體,那么咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是ABC4.右 sin1一,那么 cos2 3B.C.5.x2 -X的展開式中X4的系數(shù)為C. 406.直線xy 2 0分別與x軸,y軸交于A, B兩點,點P在圓222 y 2上,那么AABP面積的取值范圍是A. 2, 68.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為一一427.函數(shù)y x x 2的圖像大致為p,各成員的支付方式相互獨立,設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動

3、支付的人數(shù),DX2.4 , P X 4 P X 6 ,那么 pC. 0.49. 4ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a2 b2a, b, c ,假設(shè)MBC的面積為10.設(shè)A, B, C, D是同一個半徑為 4的球的球面上四點, ABC為等邊三角形且其面積為 9J3 ,那么三棱錐D ABC體積的最大值為A. 12百B . 18,3C. 24,32x11.設(shè)Fi , F2是雙曲線C: -22卷1 (a 0, b 0)的左、右焦點, O是坐標(biāo)原點.過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P .假設(shè) PFJ 西OP,那么C的離心率為C.12 .設(shè) a 10g0.2 0.3 , b 10g2 0.3,那

4、么ab a ab 0二、填空題：此題共 4小題,每題5分,共20分.13 .向量a= 1,2 , b=2,2 , c= 1,入.假設(shè) c /2a + b14 .曲線yxax 1 e在點0,1處的切線的斜率為15 .函數(shù)f汽x cos 3x60 ,兀的零點個數(shù)為16.點M 1, 1和拋物線_2C: y 4x ,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A, B兩點.假設(shè)/AMB 90 ,那么 k三、解做題：共70分.解容許寫出文字說明、證實過程或演算步驟.第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17. 12 分等比數(shù)列an1求 a

5、n的通項公式;(2)記Sn為an的前n項和.假設(shè)Sm 63 ,求m .18. 12 分某工廠為提升生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比擬兩種生產(chǎn)方式的效率,選取 40名工人,將他們隨機分成兩組,每組 20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖:第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式865 5 6 8 99 7 6 270I223 4 56&S9g 77654332814 4 52 110 090(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高并說明理由；和不(2)求40名工人完成生

6、產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m ,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有 99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異附：K2n ad2bcab c da c bd,2P K匕=k0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819. 12 分如圖,邊長為 2的正方形abcd所在的平面與半圓弧 Cd所在平面垂直, m是Cd上異于D的點.(1)證實：平面AMD,平面BMC ;(2)當(dāng)三棱錐M ABC體積最大時,求面 MAB與面MCD所成二面角的正弦值.20. (12 分)22斜率為k的直線l

7、與橢圓C:人 工 1交于A,43B兩點,線段AB的中1(1)證實：k 一 ；uun(2)設(shè)F為C的右焦點,P為C上一點,且FPuuu uurFA FB 0 .證實:uuu uun ,一“FP , FB成等差uun數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.21 . (12 分)函數(shù)f2x 2 x ax In 1 x 2x .(1)假設(shè) a0 ,證實：當(dāng) 1 x 0時,f x 0(2)假設(shè) x0是f x的極大值點,求a .(二)選考題：共 10分,請考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,那么按所做的第一題計分.22.選彳4> 44 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,OO的參數(shù)方程為

8、x cos , y sin(為參數(shù)),過點0 , 拒且傾斜角為 的直線l與.O交于A, B兩點.(1)求的取值范圍；學(xué).(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.23.選彳45 :不等式選講(10分)設(shè)函數(shù)f x2x(1)畫出y的圖像;(2)當(dāng) xC0,f x < ax b ,求a b的最小值.參考答案:123456789101112CDABCADBCBCB13.14. 315.316.2217.(12 分)解：(1)設(shè)an的公比為q ,由題設(shè)得an由得q4 4q2 ,解得q 0 (舍去),q 2或q 2 .故 an ( 2)n1 或 an 2n 1 .11 ( 2)n188 ,此方程沒有正整

9、數(shù)解假設(shè) an ( 2),貝USn1 ( 2).由 Sm 63 得(2)m3假設(shè) an 2n 1,那么 Sn 2n 1.由 Sm 63 得 2m 64,解得 m 6.綜上,m 6.18. (12 分)解：(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高理由如下：(i)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(ii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此

10、第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(iii)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(iv)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布,又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.*網(wǎng)以上給出了 4種理由

11、,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分(2)由莖葉圖知 m 7981 80.2列聯(lián)表如下:超過m不超過mA種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)由于K240(15 15 5 5)10 6.635,所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率20 20 20 20有差異.19. (12 分)解：(1)由題設(shè)知,平面CMD,平面 ABCD,交線為 CD.由于BC±CD,BC 平面ABCD,所以BOX 平面 CMD ,故 BCXDM .由于M為Cd上異于C, D的點,且DC為直徑,所以 DMXCM.又BC| CM=C,所以DM,平面 BMC.而DM 平面 AMD,故平面 AMD,平面

12、BMC. uur(2)以D為坐標(biāo)原點,DA的方向為x軸正方向,建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時,M為CD的中點.由題設(shè)得 D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), M (0,1,1),uuuruuuuuuAM ( 2,1,1),AB (0,2,0), DA (2,0,0)設(shè)n (x, y, z)是平面 MAB的法向量,那么uuurn AM 0, 2x y z 0, uuu 即n AB 0,2y 0.可取 n (1,0,2).uuurDA是平面MCD的法向量,因此uur一uuu n DA5cost n, DA uuu- ,|

13、n|DA|5sinhDA；幻一.2.5所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是 .520. (12 分)2222解：(1)設(shè) A(x1,yi), B(X2,y2),那么 x-1,冬 里 4343兩式相減,并由江當(dāng) k得x1X2Vl V230.由題設(shè)知 xx2- 1,y-應(yīng) m,于是2224m由題設(shè)得0 m(0,0).(2)由題意得 F(1,0),設(shè) P(x3,y3),那么(X3 1,y3) (X1 1,y1)(X2 1,y2)由(1)及題設(shè)得x33(X1x2)1,y3(y1y2)2m 0.又點P在C上,所以m 一 ,從而P(1,3 uuu 32)'|FP|2uuu|FA|1)22Vi

14、(X 1)2 3(12x1Xiuuu同理|FB|x2 2uuu所以|FA |uuu|FB|2(x1X2)3.uuu故2|FP |uur|FA|uuuULJUuuuuuu|FB| ,即 |FA|,|FP|,|FB |成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d,那么2|d|uuu uuu 11 2|FB| |FA| 2四 x2| 2(為 x2)4x1x2所以I的方程為yx 7 ,代入C的方程,并整理得47x214x0.故X1x22,xx21 ,一 ,代入解得| d|2832128所以該數(shù)列的公差為國或283.212821.(12 分)解：(1)當(dāng)a0時,f(x)(2 x)ln(1x) 2x,f (x)ln(1

15、x)設(shè)函數(shù)g(x)f (x)ln(1xx) r一,那么 g (x) xx(1 x)2當(dāng) 1 x 0 時,g (x) 0 ;當(dāng) x0時,g (x) 0 .故當(dāng)x1時,g (x) g(0) 0 ,且僅當(dāng)x 0時,g(x) 0 ,從而f (x) 0 ,且僅當(dāng)x 0時,f (x) 0 .所以f(x)在(1,)單調(diào)遞增.學(xué)#又 f(0) 0,故當(dāng) 1 x 0 時,f(x) 0；當(dāng) x 0 時,f(x) 0.(2)假設(shè)a 0,由(1)知,當(dāng) x 0 時,f(x) (2 x)ln(1 x) 2x 0 f (0),這與 x 0是f (x)的極大值點矛盾.f (x)2x(ii)右 a 0 ,設(shè)函數(shù) h(x) 2

16、 ln(1 x) 2.2 x ax2 x ax由于當(dāng)|x| min1,Jj；時,2 x ax2 0 ,故h(x)與f (x)符號相同.2,2 2八 /、x (a x 4ax 6a 1)2_ 2-(x 1)(ax x 2)又h(0) f (0) 0 ,故x 0是f (x)的極大值點當(dāng)且僅當(dāng) x 0是h(x)的極大值點.h (x)12(2 x ax2) 2x(1 2ax)1 x(2 x ax2 )2如果6a 1 0,那么當(dāng)0 x6a 1 口,且 | x |4a iimin 1,J時,h (x)|a|0 ,故x 0不是h(x)的極大值點故當(dāng)x (為,0),且如果6a 1 0 ,那么a2x2 4ax

17、6a 1 0存在根為 0 ,| x | min1,Jj時,h (x) 0 ,所以x 0不是h(x)的極大值點如果6a 1 0,那么h(x)(x3/x (x1)(x224)6x 12)2那么當(dāng)x(1,0)時,h(x)0 ;當(dāng) x (0,1)時,h (x) 0 .所以x 0是h(x)的極大值點,從而 x 0是f(x)的極大值點綜上,a22.選彳4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)【解析】(1) e O的直角坐標(biāo)方程為 x2 y2 1 .一時,l與e O交于兩點. 2時,記tan 2的方程為y kx衣.l與eO交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)| -2 | 1 ,解得 k.1 k1 或 k 1 ,即一,一或一,4 22 4綜上,的取值范圍是一,.4 42 l的參數(shù)方程為x t cos ,y 、2 tsint為參數(shù),一4設(shè)A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為那么 tp"-IB,且