勾股定理試題分類

1、A/S3/Si/BS2XA、VS3Si/BCS2AB.根據(jù)此圖證明勾股定理數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理【題型一】勾股定理的驗(yàn)證與證明1. 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1,圖中三個(gè)正方形的面積分別是S、S2、S3,則它們的面積關(guān)系是 ，直角 ABC的三邊的關(guān)系是參考答案：用數(shù)方格的方法或用面積公式計(jì)算三個(gè)正方形面積，得出s+S2= S3,從而得到：aB+bC=aC.2. 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是 1,圖中三個(gè)正方形的面積分別是S、S2、S3,則它們的面積關(guān)系是 ，直角 ABC的三邊的關(guān)系是.參考答案：對(duì)于S3顯然用數(shù)方格的方法不合適，利用“相減法”或“相 加法”用面積公式計(jì)算三個(gè)正方形面積，得

2、出Si+S2= S3,從而得到：ab+bC=aC.3. 如圖，是由四個(gè)全等的Rt拼成的圖形，你能用它證明勾股定理嗎?參考答案：由 S大正方形=4®厶+S小正方形，得2 1 2c = 4 x - ab+(b a)22 , 22二 a +b = c .4. 如圖，是由四個(gè)全等的 Rt拼成的圖形，你能用它證明勾股定理嗎?參考答案：由 S大正方形=4®厶+S小正方形，得2 1 2(a+b) = 4 x ab+c22 . 22 a +b =c.5. 如圖，已知/ A=Z B= 90°且厶AEDA BCE A、E、B在同一直線上參考答案：先證明 DCE是等腰直角三角形，再根據(jù)

3、梯形面積為三個(gè) 三角形面積之和得1 2 1 1 2(a+b)2222 . 2 2- a +b = c.6. 如圖，一個(gè)直立的火柴盒倒下來就可以證明勾股定理，請(qǐng)你根據(jù)圖形，設(shè)計(jì)一種證明方法參考答案：方法類似第5題.7.（ 2011溫州） 我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1 1）.圖1 2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成.記圖1 2中正方形 ABCD正方形EFGH正方形MNKT的面積分別為 S, S,S3,若S1+S+S=10,貝y S的值是參考答案:103來朮喬竇-8. （ 2010湖北孝感）問題情境勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理

4、，它有很多種 證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利 用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出 把數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作 為地球人與其他星球 人”進(jìn)行第一次談話”的 語言。定理表述圖12請(qǐng)你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語言敘述）嘗試證明以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖 2）,請(qǐng)你利用圖2，驗(yàn)證勾股定理;知識(shí)拓展利用圖2中的直角梯形，我們可以證明：i 2.其證明步驟如下:丁 BC =a +b, AD =又在直角梯形 ABCD中有BC AD （填大小關(guān)系），即c參考答案：定理表述2 丄22如果直角三角形的兩直角邊

5、長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a b = c ,嘗試證明Rt ABE 也 Rt ：ECD, AEB 二 EDC,又.EDC . DEC =90 ,. . AEB . DEC =90.AED =90 .'S梯形 abcd = SRt ABE ' SRt.DEC ' SrAED ,1 111 (a b)(a b) ab abc2.2 22 22 2 2整理，得a b =c .知識(shí)拓展AD - . 2c, RC ： AD, a b ：、2c【題型二】以勾股定理為基礎(chǔ)的有趣結(jié)論1. 如圖， 根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，確定正方形的面積A=參考答案：10,144, 1600.2.如圖，直線l

6、積分別為5和11,則b的面積為多少?參考答案：先證兩直角三角形全等，得 正方形b的面積為16.3.如圖，以直角三角形的三邊向形外作等邊三角形，探 究S、Sb和Sc之間的關(guān)系.上有三個(gè)正方形 a、b、F參考答案：顯然Sa bce= 13 a2,4S =巧 b2 S =Sa acd=b , Sa abf42 2 2又 a +b =c二 Sa+Sb= Sc.4.如圖，以直角三角形的三邊向形外作等腰直角三角形, 探究S、Sb和Sc之間的關(guān)系.B參考答案：類似上一題5. 如圖，以直角三角形的三邊向形外作半圓，探究Sa、Sb和Sc之間的關(guān)系參考答案：類似上一題6. 如圖，已知 ABC中，/ ACB= 90

7、°，以 ABC的各邊為長(zhǎng)邊向形外作 矩形，使其寬為長(zhǎng)的一半，則這三個(gè)矩形的面積S、S2、S3之間有什么關(guān)系，并證明你的結(jié)論參考答案：類似上一題7. 如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形邊長(zhǎng)為7cm,則正方形 A、B C D的面積之和為多少？參考答案：49cm2.8. 如圖，在水平面上依次放置著七個(gè)正方形已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是 a、b、c,正放置的四個(gè)正方形的面積依次是Si、S2、S3，貝VS1 +S2+S3+ S4=. 參考答案：a+c【題型三】利用勾股定理求邊長(zhǎng)和進(jìn)行論證【選擇題】1. 在 Rt ABC中，/ C= 90°

8、;, a= 12, b= 16,貝U c 的長(zhǎng)為（）A.26B.18C.20D.21參考答案：C2. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3,4），則0P的長(zhǎng)為（）A.3B.4C.5 D.7參考答案：C3. 在 Rt ABC中，/ C= 90°,/ B= 45° ,c = 10,貝U a 的長(zhǎng)為（）A.5 B.C.參考答案：C4.等邊三角形的邊長(zhǎng)為則該三角形的面積為（C. 2'、3D.3參考答案：B5. 若等腰三角形的腰長(zhǎng)為A.6B.7C.8參考答案：C6. 若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為10,底邊長(zhǎng)為12，則底邊上的高為（D.93、4、x,則使此三角形是直角三角形的x的

9、值是（A.5 B. 6 C.-7D.5 或 7參考答案：D7. 下列各組數(shù)中以A.a=2 , b=3, c=4c=5 參考答案：A8. 要從電桿離地面A.10mB.11m參考答案：C9. 現(xiàn)有兩根木棒，長(zhǎng)度分別為44 cm和55 cm .若要釘成一個(gè)三角形木架，其中有一個(gè)角為直角，所需最短的木棒長(zhǎng)度是（）.A.22 cmB.33參考答案：B10. 個(gè)直角三角形，有兩邊長(zhǎng)分別為6和8,下列說法正確的是（A.第三邊一定為 1010參考答案：D11. 直角三角形的斜邊為A . 27cm B. 30cm C.參考答案：D12將直角三角形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是（ A 直角三角形 B 銳角

10、三角形 C 鈍角三角形 參考答案：A13. 已知，如圖，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口 A出發(fā)向東北方向航行，船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后，則兩船相距（）A. 25海里B. 30海里參考答案：D14. （2010山東臨沂）如圖，AABC和 DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，連接 BD，則BD的長(zhǎng)為（a,b, c為邊的三角形不是 Rt 的是()B.a=7, b=24, c=25C.a=6,b=8, c=10D.a=3,b=4,A.參考答案:5m處向地面拉一條長(zhǎng)為 13m的電纜，則地面電纜固定點(diǎn)與電線桿底部的距離應(yīng)為C.12mD

11、.13mB2、3cmB.20cm,40cmC.44cmD.55cm三角形的周長(zhǎng)為 25 C.兩條直角邊之比為 3 : 4,D.48cmC. 35海里D. 4.3）三角形的面積為48 D.那么這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為（D. 40海里第三邊可能為15. (2010BC= 8 cm,廣西欽州市）如圖是一張直角三角形的紙片， 兩直角邊AC= 6 cm 現(xiàn)將 ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為 DE貝U BE的長(zhǎng)為A.4 cm參考答案：B.5 cm C.6 cm D.10 cmB( )16.（2010廣西南寧）圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1, ABC的三邊a,b,c的大小關(guān)系式（A. a : c : b

12、B. a : b : c C. c a : b D. c b a 參考答案：C17.（ 2011山東煙臺(tái)）如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心 0到三條支路的距離相等來連接管道，則0到三條支路的管道總長(zhǎng)（計(jì)算時(shí)視管道為線，中心0為點(diǎn)）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m參考答案：C18. （2011湖北黃石）將一個(gè)有45度角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角 板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，如圖，則三角板的最大邊的長(zhǎng)為（）A. 3cm B. 6cm C. 3.

13、2 cm D. 6, 2 cm參考答案：D19. （2011貴州貴陽）如圖， ABC中，. 是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝U AP長(zhǎng)不可能是（參考答案：D20. 直角三角形三邊的長(zhǎng)分別為3、4、x,A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D.C=90°, AC=3 / B=30°,點(diǎn) P）則x可能取的值有（）.無數(shù)多個(gè)參考答案：B斜邊可以為4或x,故兩個(gè)答案.21.如果Rt兩直角邊的比為5 : 12，則斜邊上的高與斜邊的比為（A.60 : 13B.5 : 12參考答案：D22.直角三角形一直角邊長(zhǎng)為A.121B.120C.132 D.參考答案：CC.12 : 13D.60 : 16

14、911，另兩邊均為自然數(shù)，則其周長(zhǎng)為（以上答案都不對(duì)【填空題】1.已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4,則此三角形的周長(zhǎng)為參考答案：12或7 +7 提示：因直角三角形的斜邊不明確,結(jié)合勾股定理可求得第三邊的長(zhǎng)為5 或' 7 ,所以直角三角形的周長(zhǎng)為3 + 4+ 5= 12或3 + 4+ 7 = 7+ 7 .2. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4,則它斜邊上的高為 .12參考答案：53. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為 5和12,則它斜邊上的高為 .參考答案：60，提示：設(shè)斜邊的高為 x，根據(jù)勾股定理求斜邊為122 5 . 169 =13，再利用面13積法得，1 5 12 = 13 x, x60

15、;22134. 如圖，學(xué)校有一長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)4m,寬3m。，有極少數(shù)人為了避開拐角走捷徑，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少了 步路（2步為Im），卻踩傷了花草.參考答案：4.5. 圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角 形圍成的若 AC=6 BC=5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)（圖 2實(shí)線部 分）是 參考答案：76.6. 如圖，將一根長(zhǎng) 24 cm的筷子，置于底面直徑為5 cm，高為12 cm的圓柱形水杯中,設(shè)筷子露在杯外的長(zhǎng)度為h cm，則h的取值范圍是 參考答案：11 < h&l

16、t; 12.7. 在 Rt ABC中，/ C=90° ,AB=15,BC:AC=3:4,貝U BC=.參考答案：9.8. 已知：如圖，在Rt ABC中，/ B=90°, D E分別是邊 AB AC的中點(diǎn)，DE=4 AC=10, 則 AB=.參考答案：6.9. 已知兩條線段的長(zhǎng)為 9cm和12cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為 cm時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形參考答案：15或3 T10. 在 RtABC中，/ C=90°, (1 )若 a=5, b=12，貝U c=; (2) b=8, c=17，貝U SBC =.參考答案：136011 . （2010遼寧丹東市）已知

17、ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以 Rt ABC的 斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰 Rt ACD再以Rt ACD的斜邊AD為直角邊，畫 第三個(gè)等腰Rt ADE，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 .參考答案：（2）n12. （2010浙江省溫州）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.l955 年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理.在右圖的勾股圖中， 已知/ ACB=90，/ BAC=30 , AB=4.作 PQR 使得/ R=90°,點(diǎn)H在邊QR上，點(diǎn)D, E在邊PR上，點(diǎn)G, F在 邊_PQ上

18、，那么 PQR的周長(zhǎng)等于 .參考答案：27 + 13.3.13. （2010湖北鄂州）如圖，四邊形 ABCDK ABACAD E是CB的中點(diǎn)，AE=ECBE/ BA（=3Z DBC BD=6運(yùn)+6苗，貝U AB.參考答案：1214. （2010 河南）如圖， Rt ABC中，/ C=90° ,/ ABC=30 , AB=6.點(diǎn) D在AB邊上，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn) B C重合），且DA=DE則AD的取值范 圍是.參考答案：2 WAD < 315. （2010山東淄博）如圖是由 4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的“田字格”.只用沒有刻度的直尺在這個(gè)“田字格”中最多可以作出長(zhǎng)度為-5的

19、線段參考答案：816. （2010黑龍江綏化） RtAABC中，/ BAC=90, AB=AC=2以AC為一邊，在 ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長(zhǎng)為.參考答案：4或2,5或1017. （2011重慶綦江）一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示.正方形DEFH的邊長(zhǎng)為2米，坡2 2角/ A= 30°/B= 90°,BC= 6米.當(dāng)正方形 DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE=米時(shí)，有DC = AE +BC2.參考答案:14【解答題】1.如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=9C° , CD!AB BC=6, AC=8, 求AB CD的長(zhǎng)參考答案：

20、在 Rt ABC中，BC=6 AC=8AB 2 =AC 2 + BCAB= - 36 84 = /100 = 1 0AC BC 6 8CD= 4.8AB 102.如圖，是由五個(gè)邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的“紅十字”形, 試求/ BAC的大小.參考答案：/ BAC=45A、B、C均在頂點(diǎn)上,3. （2011四川廣安）某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造.測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m 8m.現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形.求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng).參考答案：由題意可得，花圃的周長(zhǎng)=8+8+8、. 2 =16+8、24. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方 形邊長(zhǎng)都是1，

21、每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格 點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫 三角形（涂上陰影）.在圖1中，畫一個(gè)三角形，使它的 三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；在圖2、圖3中，分別畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無理數(shù).（兩個(gè)三角形不全等）5. 已知：如圖， ABC中，/ C=90°, D是AC的中點(diǎn). 求證：aB"+3bC=4bD.參考答案：ABC中，/ C=90°,aB = bC+aC, aB+3BC= 4BC+AC,又 bc=bD cD, aB+3bC= 4BD 4CD+aC,又 AC=2CD aB+3bC=4BD【題型四】勾股定理在非直角三角形中的應(yīng)用【選擇題】1.若厶 ABC中, AB

22、 "3cm, AC “5cm，高 ad=12,則 BC的長(zhǎng)為（）A、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不對(duì)參考答案：C2 一木工師傅測(cè)量了一個(gè)等腰三角形的腰、底邊和底邊上的高的長(zhǎng)度，但他卻把這三個(gè)數(shù)據(jù)弄混了，請(qǐng) 你幫他找出來，應(yīng)該是（）A. 13 , 12, 12 B 12, 12, 8 C 13, 10, 12 D 5, 8, 4參考答案：C【填空題】1.等腰三角形ABC的面積為12 cm 2,底上的高AD= 3切，則它的周長(zhǎng)為cm.參考答案：由面積求出底邊為8,進(jìn)而求出腰圍5，故周長(zhǎng)為18.2. （ 2010四川宜賓）已知，在 ABC中，/ A= 45 ° A

23、C= 2, AB=羽+1，則邊 BC的長(zhǎng)為參考答案：2.D3.某市在“舊城改造”中計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境， 已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要元.參考答案：150a.【解答題】1. 如圖， ABC中，AC= 12,/ B= 45°,/ A= 60° . 求厶ABC的面積.參考答案：54 + 18.3（作CD丄AB于D）2. 已知等腰三角形腰長(zhǎng)為 10,底邊長(zhǎng)為16，求它的面積 參考答案：48 （作底邊上的高）CAB3 .已知：如圖，在 ABC中，AB= 15, BC= 14 , AC= 13.求 ABC的面 積.參考答案

24、：作任一邊上的高，用勾股定理建立方程，求解【題型五】禾U用勾股定理求不規(guī)則圖形的面積1.如圖，/ B=Z » 90°,/ A= 60°, AB= 4, CD= 2. 求四邊形ABCD的面積.參考答案：6J3 （分別延長(zhǎng)AD BC或分別延長(zhǎng)AB DC轉(zhuǎn)化成特殊的直角三角形研究）2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,求圖中格點(diǎn)四邊形 ABCD勺面積.D25參考答案：（用正方形面積減去四個(gè)直角三角形面積或轉(zhuǎn)化成2以AC為底的兩個(gè)三角形求解）D3.如圖，四邊形且/ ABC= 900,ABCD中, AB= 3cm, BC= 4cm, CD= 12cm, DA= 13cm, 求

25、四邊形ABCD勺面積。參考答案：連接AC/在 Rt ABC中,2 2 2AC =AB +BCAC = . 916 =5cms aBc=ABC23 42=6cm2在厶 ACD中, AC 2 +cD=25+144=169, Da=132=169,2 2 2 DA =AC +CD & AC= AC DC =30 cm22 22 S 四邊形 ABCD= Sabc+ S ac=6+30=36 cm4.已知：如圖，四邊形 ABCD中 / B, / D是 Rt / , / A=45°,若 DC=2cm, AB=5cm, 求AD和BC的長(zhǎng).參考答案:3, 5 - 2 2 （分別延長(zhǎng)AD BC

26、或分別延長(zhǎng)AB DC轉(zhuǎn)化成特殊的5.四邊形 積.參考答案:直角三角形研究）ABCD中, AD丄 DC AD=8 DC=6 CB=24, AB=26求四邊形 ABCD的面144 （連接 AC）C【題型六】勾股定理與方程（組）【選擇題】2 m,當(dāng)他把繩子1. 小明想測(cè)量教學(xué)樓的高度他用一根繩子從樓頂垂下，發(fā)現(xiàn)繩子垂到地面后還多了 的下端拉開6m后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好接觸地面，則教學(xué)樓的高為（）A. 8 m B. 10 m C. 12 m D. 14 m2 2參考答案：A 解：設(shè)教學(xué)樓的高為 x,根據(jù)題意得：（X'2）二X36，解方程得：x=8.2. 如果梯子的底端離建筑物9 m,那么15 m

27、長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是（）A. 10 m B. 11 m C. 12 m D. 13 m2 2 2參考答案：C解：設(shè)建筑物的高度為 x,根據(jù)題意得：15 -9 -x，解方程得：x=12.3. 已知 Rt ABC中，/ C=90°, a+b=14, c=10，則 Rt ABC的面積是(A.24B.36C.48D.60參考答案：A.24.（方程組）4. 等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32,則三角形的面積為（）A.56B.48C.40D.32參考答案：B.48.5. 已知，如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm AD=9cm將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF, ABE的面

28、積為（）cnf.A. 6 B. 8 C. 10 D. 12參考答案：A.AEdE6. 如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端 A到墻根0的距離為2m,梯子的頂端 B到地 面的距離為7m現(xiàn)將梯子的底端 A向外移動(dòng)到A',使梯子的底端 A'到墻根O的距 離等于3m.同時(shí)梯子的頂端 B下降至B',那么BB'（ ） A.小于1m B .大于1m C .等于1m D .小于或等于 1m參考答案：A提示：移動(dòng)前后梯子的長(zhǎng)度不變，即Rt AOB和Rt A' OB的斜邊相等.由勾股定理，得 32 + B' O2= 22 + 72, B' O=，44 , 6v

29、 B' O< 7,貝U O< BB' V 1.7. 如圖，Rt ABC中，兩直角邊 AC=6cm,BC=8cm現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）m.A.2B.3C.4D.5參考答案：B.Br【填空題】1. 在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為 2米，問這里水深是m.參考答案：1.5.2 .在 ABC中，CE是AB邊上的中線， CDL AB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,則DE的長(zhǎng)為.參考答案：2.3 .在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下

30、樹走到離樹20米處的池塘的 A處.另一只爬到樹頂 D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高.參考答案：15米.4. （ 2011 貴州安順）如圖，在 Rt ABC中，/ C=90°, BC=6cm AC=8cm 按圖中所示方法將 BCD沿 BD折疊，使點(diǎn)C落在AB邊的C'點(diǎn)，那么 ADC的面積 是.參考答案：6cm25、如右圖將矩形 ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F處，已知CE=3,AB=8，則BF= 參考答案：6.F【解答題】1. 已知，如圖，在 Rt ABC中，/ C=90°, AD平分/ CAB CD=1.5,

31、 BD=2.5,求 AC的長(zhǎng).2.如圖，鐵路上 A B兩點(diǎn)相距 25 km,CD為兩村莊，DAL AB于A,CB丄AB于B,已知DA=15畑，CB=10 m,現(xiàn)在要在鐵路 AB上修建一個(gè)土特產(chǎn)收購站 E,使得C D兩村到E站的距離相等，則 E站應(yīng)修建在離A站多少千米處？參考答案：設(shè) E站應(yīng)修建在離 A站x千米處則BE=25-x。由題意知：AD2 AEBE2 BC2,即 155 x2 -102(25 -X)2x=10BCA的仰角為30 °已知側(cè)角儀3.如圖，某公園內(nèi)有一棵大樹，為測(cè)量樹高，小明C處用側(cè)角儀測(cè)得樹頂端高DC= 1.4m, BC= 30米，請(qǐng)幫助小明計(jì)算出樹高AB （3取1

32、.732，結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）參考答案：過點(diǎn) D作DEL AB于點(diǎn)E,貝U ED- BC= 30米，EB= DC= 1.4米. 設(shè) AE= x 米，在 Rt ADE中，/ ADE= 30°，貝U AD= 2x.由勾股定理得：Al+ eD= aD，即 x2 + 302 =（ 2x） 2,解得 x= 10 W3 17.32 . AB= AE+ EB 17.32 + 1.4 18.7 （米）. 二；答：樹高AB約為18.7米.4.小東拿著一根長(zhǎng)竹竿進(jìn)一個(gè)寬為3米的城門，他先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來拿，結(jié)果竹竿比城門高1米,當(dāng)他把竹竿斜著時(shí)，兩端剛好頂著城門的對(duì)角，問竹竿長(zhǎng)多少米？參考答案：

33、由題意得：設(shè)城門高為x,（x+1） =x +32 2x +2x+1=x+92x=8x = 4竹竿長(zhǎng)為4+1 = 5米。 答：竹竿長(zhǎng)為5米。4.小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多 發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。參考答案：由題意得：（x+1）2 = x 2 + 2 52 2x +2x+1=x+251米，當(dāng)他把繩子的下端拉開 5米后,參考答案：3.（作DEI AB于E）2x = 24x=12答：旗桿的高度為12米。長(zhǎng)BC為10cm.當(dāng)小紅折疊5. 如圖，小紅用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬 AB為8cm,頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE）.想一想，此時(shí)

34、 EC有多長(zhǎng)？ 參考答案：設(shè)EC為x,/ADE 與AAFE 對(duì)折2 2=AF AB.EF = DE=8 x在 Rt ABF 中，EFBF= , 100 - 64 =6 FC = BC BF=10 6 = 4在 RtFCE 中，EC=x,EF=8 x,FC = 4,/ 、 2 2 ,2(8 x) =x +46416x+x2=x2+1616x = 48x = 3 EC=36. 如圖，平面直角坐標(biāo)系中,AB丄AC求點(diǎn)B的坐標(biāo).參考答案：設(shè) OB=x則 BC=x+ 1; OC=1, OA=2在 Rt OAB中，aB"=oA+ OB2,在 Rt ABC中，aB"=bC aC, X2+

35、 4= (X+ 1) 2 ( 22 十 12) , x=4,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(一4, 0)7. 如圖，已知將一矩形紙片 ABCD沿著對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C'處，BC交AD于點(diǎn)E,已知AD=8cmAB=4cm求重疊部分 BED的面積。 參考答案：由折疊知，/ EBD=/ CBD由AD / BC,知/ EDBN CBD,/ EBD玄 EDB EB=E設(shè) EB = ED=Xcm 貝U AE= (8 x) cm, 在 Rt ABE 中,AE+ AB=bE , ( 8 X) 2十 42=X, X=5 , SA BED=10 (cm).【題型七】利用勾股定理求最值A(chǔ)1 . （2009年北恩施

36、）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15 ,寬為10 ,高為20 ,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5 , 一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn) A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是（）A. 5、21 B . 25 C . 10、5 5 D . 35參考答案：B.主要利用圖形的展開、勾股定理.2. 一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm寬為3 cm,高是5 cm的長(zhǎng)方體紙箱的 A點(diǎn)沿紙箱爬到 B 點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是 cm。參考答案：.743. （ 10分）如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn) B D作AB丄BD, ED± BD,連 結(jié) AC EC,已知 AB=5, DE=1, BD=8,設(shè) CD=xBCD（1）用含x的代數(shù)式

37、表示 AC十CE的長(zhǎng)；（2）試求AC十 CE的最小值；參考答案：（1） AC+CE= ，- 歸- /i（2） 最小值134. 如圖所示，無蓋玻璃容器，高18cm ,底面周長(zhǎng)為60cm ,在外側(cè)距下底1 cm的 點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的容器的上口外側(cè)距開口1 cm的F處有一蒼蠅，試求急于撲貨蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長(zhǎng)度參考答案：將曲線沿 AB展開，如圖所示，過點(diǎn) C作CEL AB于E.在 Rt.CEF,. CEF =90 , EF=18-1-1=16 ( cm),1CE=30(cm),2. 60由勾股定理，得 CF= CE2 EF2 h302 162 =34(cm)5. 如圖，一個(gè)牧

38、童在小河的南 4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋 B的 西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家 .他要完成這 件事情所走的最短路程是多少？參考答案：如圖，作出 A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A B交MNT點(diǎn)P, 則A B就是最短路線.在Rt A DB中，由勾股定理求得 A B=17km.【題型八】勾股定理逆定理及其應(yīng)用【選擇題】A1 下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫叺娜切尾皇侵苯侨切蔚氖牵ǎ〢. 1.5 , 2, 3 B. 7, 24, 25C. 6, 8, 10D. 3, 4, 5參考答案：A2. 分別以下列四組為一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)：6、8、10;5、12、13;

39、&15、17;7、8、9,其中能構(gòu)成直角三角形的有（）.A.4組B.3組C.2組D.1組參考答案：B, 對(duì).3. （ 2010四川瀘州）在 ABC中，AB=6, AC=8 BC=1Q則該三角形為（）A.銳角三角形B直角三角形C .鈍角三角形D等腰直角三角形參考答案：B4. 下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（）53A.9 , 12, 15 B. - 1 -, 0.3 , 0.4D.40, 41 , 94 ' ' 4參考答案：C5. 滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）C.三邊之比為 3 : 2 :5 D.三個(gè)內(nèi)角比為1 : 2 : 3A.三個(gè)內(nèi)角比為

40、1 : 2 : 1 B.三邊之比為1 : 2 :5參考答案：C6. 已知三角形兩邊長(zhǎng)為2和6，要使這個(gè)三角形為直角三角形，則第三邊的長(zhǎng)為（A. 2 B. 2.10 C. 4 . 2或2、.10 D.以上都不對(duì)參考答案：C7.五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7, 15,20, 24,25,現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（7(A)(B)2420(C)參考答案：C8.三角形的三邊A.直角三角形參考答案：A9 .若 ABC的三邊 a、b、c 滿足 a2+ b2 + c2十 338= 10a + 24b + 265則厶 ABC的面積是（A.338B.24C.26D.302=ca、b、c滿足關(guān)系：（a十

41、b）B 、銳角三角形 C 鈍角三角形+ 2ab,則這個(gè)三角形是（）D條件不足，不能確定參考答案:6013參考答案：D10.A ABC的三邊 a、b、c 滿足 a三邊為9、12、15的三角形，其面積為.參考答案：54.4.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c滿足ab=10,ab=18 , c=8，則此三角形為 三角形.參考答案：直角三角形5.在三角形 ABC中，AB=12cm , AC=5cm , BC=13cm，貝y BC邊上的高為 AD=cm .+b3+a ABC的三邊分別是7、24、25，則三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是.參考答案：90° .b+ab2-ac2-bc2=0,則厶 ABC

42、的形狀是（）A、直角三角形； B等邊三角形；C等腰三角形； D等腰直角三角形。參考答案:A11 .如果Rt 的兩直角邊長(zhǎng)分別為2n 1, 2n (n>1),那么它的斜邊長(zhǎng)是（)A.2 nB.n+1C. n2 1D. n2+1參考答案:D【填空題】21.若一個(gè)三角形的三邊滿足c - a2 .2=b ，則這個(gè)三角形是參考答案:直角三角形.6. 已知兩條線段的長(zhǎng)為 5cm和12cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為 m時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形.參考答案：13cm或.而【解答題】1. 如圖，已知四邊形 ABCD中，/ B=90°, AB=3 BC=4 CD=12AD=13,求四邊形ABCD

43、的面積.參考答案：36 (連接AC12. 如圖，E、F分別是正方形 ABCD中 BC和CD邊上的點(diǎn)，且 AB=4, CE=_ BC,4人巳問厶AEF是什么三角形？請(qǐng)說明理由 . 參考答案：由勾股定理得 AE=25, EF=5,AF2=20A自 EF2 +AF2, AEF是直角三角形3. 在厶ABC中，BC=rr-n2, AC=2mn AB=n2(m>n). 求證： ABC是直角三角形.參考答案：證(m2 n2) 2+(2mn) 2= (m2+n2)24. 張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中設(shè)計(jì)了如下的數(shù)表：n2345a22 - 132 - 142 - 152 - 1b46810c22 + 1

44、23 + 124 + 125 + 1請(qǐng)你分別觀察 a b c 與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù) n (n>1)的式子表示:b= , c=a=F為CD的中點(diǎn)，連接 AF、DFC猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？并證明你的猜想。參考答案： n 2-1,2n,n 2+1猜想：以abc為邊的三角形為直角三角形。證明略5.觀察下列勾股數(shù)：第一組：3=2 X 1+ 1 ,4=2X 1 X(1+1),5=2X 1 X(1+1)+1；第二組：5=2 X 2+ 1 ,12=2X 2 X(2+1),13=2X 2X(2+1)+ 1；第三組：7=2 X 3+ 1 ,24=2X 3 X(3+1),25

45、=2x 3X(3+1)+ 1；第三組：9=2 X 4+ 1 ,40=2X 4 X(4+1),41=2X 4X(4+1)+ 1；觀察以上各組勾股數(shù)的組成特點(diǎn)，你能求出第七組的a,b,c各應(yīng)是多少嗎？第 n組呢?參考答案：第七組，a =2 7 1=15,b=2 7 (7 1) =112,c =112 1 =113.第 n組，a = 2n 1,b =2n(n 1),c =2n(n 1)16. (2011四川綿陽)王偉準(zhǔn)備用一段長(zhǎng) 30米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔 .已知第一條邊長(zhǎng)為a米，由于受地勢(shì)限制，第二條邊長(zhǎng)只能是第一條邊長(zhǎng)的2倍多2米.(1)請(qǐng)用a表示第三條邊長(zhǎng)； 問第一條邊

46、長(zhǎng)可以為 7米嗎？為什么？請(qǐng)說明理由，并求出 a的取值范圍； 能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長(zhǎng)均為整數(shù)？若能，說明你的圍法；若不能，請(qǐng)說明理由參考答案：第一條邊為a,第二條邊為2a+2,第三條邊為30-a- (2a+2) =28-3a(2)不可以是7,v第一條邊為7,第二條邊為16,第三條邊為7,不滿足三邊之間的關(guān)系，不可以構(gòu)成三角形。13兀 > a > 55,12,13,可以圍成一個(gè)滿足條件的直角三角形【題型九】勾股定理及逆定理與實(shí)際問題1.如圖，在高為5m坡面長(zhǎng)為13m的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少A.17mB.18mC.25m參考答案：A依勾股定理先求出底邊為D

47、.26m12，而地毯長(zhǎng)等于兩直角邊的和,即 12+5=17.2將一根24cm的筷子，置于底面直徑為 15cm,高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè) 筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為hem,則h的取值范圍是（）.A. h< 17cmB. h>8cmC. 15cm< h < 16cmD . 7cm< h< 16cm參考答案：D3. 木工師傅要做一個(gè)長(zhǎng)方形桌面，做好后量得長(zhǎng)為80cm,寬為60cm,對(duì)角線為100cm,則這個(gè)桌面.（填“合格”或“不合格”） 參考答案：合格4. 輪船在大海中航行，它從 A點(diǎn)出發(fā)，向正北方向航行 20嘰遇到冰山后，又折向東航行15 g 則此時(shí)

48、輪船與A點(diǎn)的距離為 km .參考答案：255. （ 2009年安徽）長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成 45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為 60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了 m.參考答案：2（.3-.2），利用勾股定理即可.6. 如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東 60。的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？參考答案：（1）過點(diǎn)A做AC丄BF于點(diǎn)C,由A、B C三點(diǎn)構(gòu)造直角三角形， 根據(jù)勾股定理求出

49、直角邊 AC=16Q 160< 200 A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響；（2）以點(diǎn)A為圓心以200為半徑畫圓弧交 BF于D E,在 Rt ACD中，CD = VaD2AC2 = <2002 -1602 =120 所以DE=24Q A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為240* 40=6 （小時(shí)）7. 如圖1，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5m，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端 C距離為1.5m,梯子滑動(dòng)后停在 DE的位置上，如圖2，測(cè)得BD長(zhǎng) 為0.5m，求梯子頂端 A下落了多少米.參考答案：在 Rt ABC中，AB"= AC+ BC 2.5 2 = AC+ 1.52, AC= 2 （m）.在 Rt

50、EDC中, DE= CE+ CD, 2.5cE + 22 CE = 2.25 , CE= 1.5 （ m）, AE= AC CE= 2 1.5 = 0.5 （ m） 答：梯子頂端A下落了 0.5m.8. 如圖，矩形零件上兩孔中心 A、B的距離是多少（精確到個(gè)位）？參考答案：43 （提示：做矩形兩邊的垂線，構(gòu)造Rt ABC利用勾股定理，B與墻角圖1圖2丄AB2= AC + bC= 192+ 392= 1882, AB43)9. （ 2009年湖北十堰）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，小明同學(xué)在點(diǎn)P處測(cè)得教學(xué)樓A位于北偏東60°方向，辦公樓B位于南偏東45°方向.小明沿正東方向前進(jìn) 60米到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得教學(xué)樓 A恰好位于正北方向， 辦公樓B正好位于正南方