工程流體力學5理想流體

1、機械工程學院裝備系機械工程學院裝備系5.1 理想流體運動方程理想流體運動方程 假設存在一種流體，其粘度為零，假設存在一種流體，其粘度為零，該流體稱為理想流體。客觀上是不存在該流體稱為理想流體?？陀^上是不存在這種流體的，但當流體的粘度非常小且這種流體的，但當流體的粘度非常小且對運動過程的影響可以不考慮時，可以對運動過程的影響可以不考慮時，可以把它當理想流體處理。把它當理想流體處理。 理想流體的運動方程：理想流體的運動方程： 通常將理想流體的運動方程稱為歐拉方程。在通常將理想流體的運動方程稱為歐拉方程。在直角坐標系中有：直角坐標系中有： pFdtud xpFzuuyuuxuutuxxzxyxxxy

2、pFzuuyuuxuutuyyzyyyxyzpFzuuyuuxuutuzzzzyzxzpFuutu 例：例： 巳知流體流動的速度為：巳知流體流動的速度為： 質量力僅有重力，求流體質點在（質量力僅有重力，求流體質點在（2，3，1）位置上的壓力梯度。采用位置上的壓力梯度。采用=1000kg/m3, g9.8m/s2。 xyxux2322236yzxyyuy23xyzuz 由歐拉法描述流體運動時，我們知道由歐拉法描述流體運動時，我們知道其加速度為：其加速度為： 現(xiàn)在為了將現(xiàn)在為了將 用另一種形式表示，用另一種形式表示，首先討論以下形式：首先討論以下形式：uutudtuduuba ba aaaaa22

3、1aaaaaaaa222121當當 時，有：時，有： ababbabaababbababababaccccccuuutuuutudtud221故加速度可表示為故加速度可表示為這就是蘭勃這就是蘭勃- -葛羅米科形式的加速度表達形式。葛羅米科形式的加速度表達形式。當當 時，有：時，有：uauuuuu221pFuuu21tu2這就是這就是理想流體運動方程理想流體運動方程的蘭勃的蘭勃- -葛羅米科形式。葛羅米科形式。一、伯努里方程一、伯努里方程 當理想流體的密度僅與壓強有關時，我當理想流體的密度僅與壓強有關時，我們稱它為理想們稱它為理想正壓正壓流體。理想正壓流體在有流體。理想正壓流體在有勢質量力的作用

4、下，其運動方程在定常及無勢質量力的作用下，其運動方程在定常及無旋兩種特殊情況下可以積分出來。理想流體旋兩種特殊情況下可以積分出來。理想流體蘭勃蘭勃- -葛羅米科形式運動方程：葛羅米科形式運動方程： pFuuutu1212當理想流體為正壓流體時，則：當理想流體為正壓流體時，則： 當質量力有勢時，則：當質量力有勢時，則： 運動方程具有以下形式：運動方程具有以下形式： p1VF0212uuVutu 當流體為理想、正壓、質量力有勢且運動為當流體為理想、正壓、質量力有勢且運動為定常時，上式變?yōu)椋憾ǔr，上式變?yōu)椋?將等式兩端點乘流線的切線單位矢量將等式兩端點乘流線的切線單位矢量 ，得：得： 0212uu

5、Vuuus02102122VusuusVus 沿流線積分得：沿流線積分得： C C為積分常數，沿同一流線取相同值，不同流線為積分常數，沿同一流線取相同值，不同流線取不同的值，這就是伯努里方程。對不可壓縮取不同的值，這就是伯努里方程。對不可壓縮均質流體：均質流體： 伯努里方程寫成：伯努里方程寫成：CVu212 pdp 1gzV 122221CgpzguCpgzu 當流體為理想、正壓、質量力有勢且定常當流體為理想、正壓、質量力有勢且定常且無旋時，運動方程寫成：且無旋時，運動方程寫成： 積分得：積分得： C C為積分常數，在整個流場中取同一值。為積分常數，在整個流場中取同一值。 0212VuCgpz

6、gu22 上式表明單位重量流體的總能量（動能、上式表明單位重量流體的總能量（動能、勢能和壓能的總和）在同一流線上守恒，如圖勢能和壓能的總和）在同一流線上守恒，如圖示。示。 例例1: 已知一救火水龍帶，噴嘴和泵的相對位置如圖所示。已知一救火水龍帶，噴嘴和泵的相對位置如圖所示。dA= dB求：求：Vc？Q？pB？ ？ ？ ？ ？ zA、 pA、 VA； zB、 pB、 VB； zC、 pC、 VC（1）一般水力計算問題）一般水力計算問題 例例2: 有一噴水裝置如圖示。有一噴水裝置如圖示。已知已知h10.3m，h21.0m，h32.5m，求噴水出口流速，求噴水出口流速及水流噴射高度及水流噴射高度h（

7、不計水頭（不計水頭損失）。損失）。 例例3 3：一水槽在同一：一水槽在同一側面有兩個大小相同的側面有兩個大小相同的孔口，上面的孔口離水孔口，上面的孔口離水面面2m2m，下面孔口離水面，下面孔口離水面4m4m，試求兩孔射流為定，試求兩孔射流為定常運動時，在哪一點相常運動時，在哪一點相交。交。例例4: 設管徑為設管徑為 D，孔板孔徑為，孔板孔徑為 d，11 斷面處速度為斷面處速度為 V1， 22 斷面處速度為斷面處速度為 V2，孔眼處速度為，孔眼處速度為 V。取取12斷面列能量方程和連續(xù)性方程斷面列能量方程和連續(xù)性方程)2() 1 (2gV2gV221121222211VAAVAVhppw212p

8、pgAQ理論pgAQ2對于液氣壓差計對于液氣壓差計 hp21p對于水汞壓差計對于水汞壓差計 hpHg1p21 例例5 5：液體自下而上液體自下而上流動，如圖示。液流動，如圖示。液體的密度為體的密度為，測，測壓計的流體密度為壓計的流體密度為m m ，試求管中液，試求管中液體流量。體流量。 例例6: U形水銀壓差計連接形水銀壓差計連接于直角彎管，已知：于直角彎管，已知：d1300mm， d2100mm， 管中流量管中流量Q100L/s時，時， 試問：壓差計讀數試問：壓差計讀數h等等于多少？（不計水頭于多少？（不計水頭損失）損失）例例7: 7: 常用皮托管測量流常用皮托管測量流速，皮托管測速原理速，

9、皮托管測速原理如圖示，如果被測流如圖示，如果被測流體為不可壓縮流體體為不可壓縮流體。（3 3）皮托管皮托管(測速管測速管)原理原理 根據伯努里方程有：根據伯努里方程有： 式中，式中，z z1 1=z=z2 2，且在第，且在第2 2點處點處u u2 2=0=0。根據靜壓平。根據靜壓平衡原理，有衡原理，有 ，故：，故：2222112122zgpguzgpgughppm12ghppum22121（4） 流動吸力流動吸力噴射泵噴射泵 原理：利用噴嘴處高速水流造成的低壓將液箱內原理：利用噴嘴處高速水流造成的低壓將液箱內的液體吸入泵內與主液流混合。的液體吸入泵內與主液流混合。分析：分析： ？ AA、 pA

10、、 VA； AC、 pC、 VC則則A-C列能量方程可求列能量方程可求 PC . 例例9 圖示為一抽水裝置，利用圖示為一抽水裝置，利用噴射水流在吼道斷面上造成的噴射水流在吼道斷面上造成的負壓，可將負壓，可將M容器中的積水抽容器中的積水抽出。出。 已知：已知：H、b、h（不計損失），（不計損失）， 求：吼道有效斷面面積求：吼道有效斷面面積A1與噴與噴嘴出口斷面面積嘴出口斷面面積A2之間應滿足之間應滿足什么樣的條件能使抽水裝置開什么樣的條件能使抽水裝置開始工作？始工作？一、拉格朗日積分一、拉格朗日積分 當流體為理想、正壓、質量力有勢且無當流體為理想、正壓、質量力有勢且無旋流動時，蘭勃旋流動時，蘭勃

11、- -葛羅米科形式運動方程變?yōu)椋焊鹆_米科形式運動方程變?yōu)椋?式中式中 為勢函數。為勢函數。02102122VutVut 積分上式得：積分上式得： C(t)C(t)為積分常數，僅與時間有關，同一時刻取為積分常數，僅與時間有關，同一時刻取同一常數值，這就是拉格朗日積分。同一常數值，這就是拉格朗日積分。 對不可壓縮均質流體：對不可壓縮均質流體： tCVut212pdp1gzV 拉格朗日積分寫成：拉格朗日積分寫成： 當流體為理想、正壓、質量力有勢、無旋且定當流體為理想、正壓、質量力有勢、無旋且定常時，拉格朗日積分改寫成：常時，拉格朗日積分改寫成： tCpgzut221Cgpzgu22 旁管出流的不定常

12、旁管出流的不定常過程如圖示。旁管為等直過程如圖示。旁管為等直徑的水平管，水箱很大，徑的水平管，水箱很大，近似認為出流不影響液面近似認為出流不影響液面高度，水平管內的流動近高度，水平管內的流動近似認為一維流動。根據無似認為一維流動。根據無旋流動，有：旋流動，有： xxdxtutudxxu000 根據連續(xù)性方程，有：根據連續(xù)性方程，有： 在在X X段內，段內，u u僅是時間的函數，即：僅是時間的函數，即： tCuxu0 xdtdutdxdtdutx0在同一時刻，在同一時刻，A A、B B 兩點的關系：兩點的關系： 0202puldtdughp2221ughldtdudtlghduughugh221

13、21積分得：積分得：當當t=0t=0時，時，u=0u=0，C=1C=1。因此：。因此：tlghCeughugh22211222tlghtlgheeghu 當當 時，時， tghu2例例2 2：已知不可壓縮流體作平面勢流流動，：已知不可壓縮流體作平面勢流流動，在在X X方向上的速度分量為方向上的速度分量為 ，且在，且在x xy y0 0 處，處，u ux x=u=uy y=0=0，p pp p0 0。試求。試求t t0 0 時流場的壓力分布。時流場的壓力分布。xytux 解：流體為不可壓縮流體，根據質量守恒解：流體為不可壓縮流體，根據質量守恒方程，有：方程，有： 根據勢流流動條件，有：根據勢流流

14、動條件，有： ),(10txcyuxuyuyuxuyxyyx tcxttxctxcyuxuxy1,00 由于由于x xy y0 0 處處u ux x=u=uy y=0=0條件，得條件，得C C1 1(T)=0(T)=0，所以所以 。求勢數：。求勢數： xtyuytycxxytxytuxx,2122tcytycyycxtyuyy322221,所以所以: :由拉格朗日積分得：由拉格朗日積分得： tcxyxyt3222121 tCpxtyxyttcxytCput22322121 當當x xy y0 0 處，處，u ux x=u=uy y=0=0，p pp p0 0。故：。故： tCptco30322

15、321ptcpxtyxyttcxy2200222121xtyxytxyppppxtyxytxy當當t t0 0 時，有：時，有： 2220212yxyxxypp一、動量守恒方程一、動量守恒方程 根據動量守恒原理，動量對時間的變化根據動量守恒原理，動量對時間的變化率等于流體質點受到的作用力。因此，對控率等于流體質點受到的作用力。因此，對控制體系統(tǒng)內任一質點的受到的作用力求和可制體系統(tǒng)內任一質點的受到的作用力求和可表示為：表示為： SVVdtvduvudtdvudtdR其中：其中： dtvduvudtdVVVzyxVzyxvzuyuxuuvuzuuyuuxuut因此，動量定理可以寫成下列表達式：因

16、此，動量定理可以寫成下列表達式： SVVzyxVzyxVzyxsnuuvutvuuzuuyuuxutvzuyuxuuvuzuuyuuxuutR 上式就是動量守恒方程。動量守恒方程在直角上式就是動量守恒方程。動量守恒方程在直角坐標系下，有：坐標系下，有： 的動量流量凈流出控制體對時間的變化率控制體內的動量RSzVzySyVyySxVxxsnuuvutRsnuuvutRsnuuvutR 當動量守恒方程應用于流管時，動量守恒當動量守恒方程應用于流管時，動量守恒方程右邊第一項的存在阻礙了應用動量方程的方程右邊第一項的存在阻礙了應用動量方程的積分。因為要求右邊第一項的積分，必須知道積分。因為要求右邊第一

17、項的積分，必須知道V V內的各點的詳細流動狀況。這就是為什么在內的各點的詳細流動狀況。這就是為什么在不定常運動時通常不應用動量方程的原因。當不定常運動時通常不應用動量方程的原因。當定常時，上式變?yōu)椋憾ǔr，上式變?yōu)椋?ssdQusnuuR 對于流管（如圖示），對于流管（如圖示），除流管兩端面除流管兩端面dQdQ不為不為零外，其余為零。流零外，其余為零。流管外的流體對流管的管外的流體對流管的作用力：作用力： 11112222sssdQudQudQuR常用過流常用過流截面上截面上平均速度平均速度代替代替u u，這時：，這時： 在三個坐標上的分量為：在三個坐標上的分量為： 1112221111222

18、2QQdQudQuRss111222QQRxxx111222QQRyyy111222QQRzzz 對不可壓縮均質流體，對不可壓縮均質流體，Q Q2 2=Q=Q1 1=Q=Q，2 2=1 1=。則：則： xxxQR12yyyQR12zzzQR12 二、動量方程的應用二、動量方程的應用 解題步驟：解題步驟： （1）選研究對象（控制體內的流體）選研究對象（控制體內的流體）1-12-2斷面斷面+固體壁面固體壁面 （2）選取適當的坐標系）選取適當的坐標系 （3）對控制體內的流體進行受力分析）對控制體內的流體進行受力分析 重力重力G（水平放置的管路不考慮：與管壁的（水平放置的管路不考慮：與管壁的支撐力相抵

19、消）支撐力相抵消） 兩斷面的壓力兩斷面的壓力 （表壓；注意方向）（表壓；注意方向） 邊界對液流的作用力邊界對液流的作用力R （4）速度分析：分量方向）速度分析：分量方向（5）應用動量方程）應用動量方程 說明：液流對邊界的作用力說明：液流對邊界的作用力R與與R是作用是作用力與反作用力。力與反作用力。反實際方向與假設方向相同實際方向與假設方向相未知，假設方向求解00RRR例例1 射流的背壓射流的背壓(反推力反推力) 容器在液面下深度等于容器在液面下深度等于h 處有一比液面面積微處有一比液面面積微小得多的出流孔，其面積為小得多的出流孔，其面積為A。在出流孔微小的前。在出流孔微小的前提下，假使只就一段

20、很短的時間來看，那出流過提下，假使只就一段很短的時間來看，那出流過程就可以當作近似的穩(wěn)定流動。程就可以當作近似的穩(wěn)定流動。 理想流體的出流速度：理想流體的出流速度： 這一瞬刻在容器內的流體，它在水平這一瞬刻在容器內的流體，它在水平方向的動量變化將方向的動量變化將 決定于單位的時間決定于單位的時間內內容器流出來的動量：內內容器流出來的動量： ghV22AVQVhAAghAVF222 例例2 2：在水平平面上的：在水平平面上的45450 0彎管（如圖示），入口彎管（如圖示），入口直徑為直徑為d d1 1=600mm=600mm，出口直，出口直徑為徑為d d2 2=300mm=300mm，入口表壓，

21、入口表壓強強p p1 1=1.4bar=1.4bar，出口表壓強，出口表壓強p p2 2=0=0，流量，流量Q=0.425mQ=0.425m3 3/s/s，不考慮摩擦，試求液體對不考慮摩擦，試求液體對彎管的作用力。彎管的作用力。 例例3: 自由射流對擋板的壓力（水平）自由射流對擋板的壓力（水平） 射流從噴咀以速度沖向水平擋板，射流沖擊射流從噴咀以速度沖向水平擋板，射流沖擊擋板后將沿擋板表面分成兩股射流，速度分別擋板后將沿擋板表面分成兩股射流，速度分別為為u1，u2，流量從，流量從Q0分成分成Q1和和Q2。由于射流。由于射流的沖擊作用，在擋板上產生一個作用力的沖擊作用，在擋板上產生一個作用力R。

22、（設（設A1=A2）例例4: 一個水平放置的一個水平放置的90彎管輸送水彎管輸送水 已知：已知：d1150mm，d275mm p1 2.06105Pa，Q0.02m3/s 不計水頭損失不計水頭損失求：水流對彎管的作用力大小和方向求：水流對彎管的作用力大小和方向 例：例： 水從水頭為水從水頭為h1大容器通過小孔流大容器通過小孔流出出(大容器的水位可以認為是不變的大容器的水位可以認為是不變的)，射流，射流沖擊在一塊大平板上，它蓋住了第二個大容沖擊在一塊大平板上，它蓋住了第二個大容器的小孔，該容器水平面到小孔的距離為器的小孔，該容器水平面到小孔的距離為h2 ，設兩個小孔的面積都一樣。若設兩個小孔的面

23、積都一樣。若h2給定，求射給定，求射流作用在平板上的力剛好與板后的力平衡時流作用在平板上的力剛好與板后的力平衡時h1為多少？為多少？ 例：例：水平面上自由水平面上自由射流與平板相遇，如圖所射流與平板相遇，如圖所示。已知射流速度示。已知射流速度V1=20m/s，總流量，總流量Q1=24L/s及及Q2=8L/s ，=1000kg/m3，不計水的，不計水的粘性，并假定流動定常，粘性，并假定流動定常，在足夠遠處在足夠遠處V2和和V3均勻。均勻。求求Q3、V2、V3和和；平板上所受到的力。平板上所受到的力。 例：例： 如圖所如圖所示，水從示，水從3m寬的矩寬的矩形水渠閥門流下，形水渠閥門流下，流量為流量

24、為13m3s，閘，閘門前后的水位分別門前后的水位分別為為2m和和lm（為一維（為一維流動）。試求作用流動）。試求作用在閘門上的力，并在閘門上的力，并指出在閘門上的壓指出在閘門上的壓力分布是否符合靜力分布是否符合靜壓分布規(guī)律。壓分布規(guī)律。一、動量矩方程一、動量矩方程 動量對某一參照點的矩稱為動量矩。因此，動量對某一參照點的矩稱為動量矩。因此，對控制體系統(tǒng)內任一點的動量對某一參照點的對控制體系統(tǒng)內任一點的動量對某一參照點的矩求和可表示為：矩求和可表示為： T snuurutrudtdrs 同動量方程的原因一樣，動量矩方程只同動量方程的原因一樣，動量矩方程只用于定常流動，這時上式變?yōu)椋河糜诙ǔＡ鲃樱?/p>

25、這時上式變?yōu)椋?snuursT離心泵葉輪離心泵葉輪r1r2u2u1u1eu2ru1ru2e對于某一流道（如圖示），除兩過流截面有流對于某一流道（如圖示），除兩過流截面有流體流入和流出外，無流體穿過葉片表面。故流體流入和流出外，無流體穿過葉片表面。故流道內的動量矩可表示為：道內的動量矩可表示為： 21 12111222SSSsnuursnuursnuurT常用平均速度常用平均速度代替代替u u，這時：，這時：當為不可壓縮均質流體時，當為不可壓縮均質流體時，Q Q2 2=Q=Q1 1=Q=Q，2 2=1 1=。則則 111122221111122222QRQRdQurdQurTss QRRT1122二、動量矩方程的應用二、動量矩方程的應用 例例1：離心泵葉輪如圖示，已知：離心泵葉輪如圖示，已知Q，R1，R2，求牽連速度、相對速度、絕對求牽連速度、相對速度、絕對速度和單位重量流體所獲得的能量。速度和單位重量流體所獲得的能量。 進出口子午面流速：進出口子午面流速： ， 。其中其中 ， 。 圓周速度：圓周速度： ， 2 2）求絕對速度）求絕對速度C C1 1和和C C2 2 22AQun11AQun1112b