五年級奧數(shù)時(shí)鐘問題

1、8.五年級奧數(shù)講義：時(shí)鐘問題第八講時(shí)鐘問題時(shí)鐘問題是研究鐘面上時(shí)針和分針關(guān)系的問題.鐘面的一周分為60格.當(dāng)分針走5Q格時(shí)，時(shí)針正好走曲.所以時(shí)針的速度是分針的36。=2分Ji /針每走6U+ （1占）=651（分,與時(shí)針重合一次時(shí)鐘問題變化多端, &O 11也存在著不少的學(xué)問.這里列出一個(gè)基本公式：在初始時(shí)刻需迫趕的格數(shù)一d4> =追及時(shí)間（分件），其中，1J為分針每分鐘比時(shí)針多走的格數(shù)“例1現(xiàn)在是3點(diǎn)，什么時(shí)候時(shí)針與分4卜第一次重合？T分析3點(diǎn)時(shí)分鐘指13時(shí)針指3.分針在時(shí)針后5乂3二L5 （個(gè)）格.每分鐘分針比時(shí)針多走Q-1）格.要使分針與時(shí)針重合，即使分針比時(shí)針多走1招

2、需要1A （1-） =16言 鐘）所以，所求的時(shí)刻應(yīng)為3 1 U1 14點(diǎn)16元分。W； 15-=16白（分鐘）1 uL 1答；所求的時(shí)刻應(yīng)為3點(diǎn)16分，例Z在10點(diǎn)與11點(diǎn)之間.鐘面上時(shí)針和分針在什么時(shí)刻垂直7分析分兩種情況進(jìn)行討論.在順時(shí)針方向上分針與時(shí)針成27/旬.在I暝時(shí)針方向上當(dāng)分針與時(shí)針成270。時(shí)，分針落后時(shí)針60乂（270 + 360）=45 （個(gè)）格，而在10點(diǎn)整時(shí)分針落后時(shí)針5X10=50 1個(gè)）格.因此，在 這段時(shí)間內(nèi)，分針要比時(shí)針多走50-45二5 （個(gè)）格，而每分鐘分針比時(shí)針多走Q-3）個(gè)格，因此由基本公式，到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為: 5-（1$）=* （分鐘）。在順

3、時(shí)針方向上分針與時(shí)針成9。角：在順時(shí)針方向上當(dāng)分針與時(shí)針成90。角時(shí)，分針落后時(shí)針60X（90+ 360）=15（個(gè)）格，而在10點(diǎn)整時(shí)分針落后時(shí)針5X10二50 （個(gè)）格，因此在這 段時(shí)間內(nèi)，分針要比時(shí)針多走50-15二35 （個(gè)）格，所以到達(dá)這一時(shí)12刻所用的時(shí)間為：35+ （1*）=3哈（分鐘）。解：在順時(shí)針方向上當(dāng)分針與時(shí)針成270。角時(shí)：5X10-60X（270- 360）+ （1-）（分鐘。在順時(shí)針方向上當(dāng)分針與時(shí)針成91角時(shí)；125X10-60X（90 + 360）* （1-） =38-（分鐘）。JL 乙BJL 1答：所求時(shí)刻為10點(diǎn)哈分和1。點(diǎn)3哈分。例3在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間的什

4、么時(shí)刻，分針與時(shí)針在一條直線上?分析分兩種情況進(jìn)行討論,分針與時(shí)針的夾角為180。角；當(dāng)分針與時(shí)針的夾角為180。角時(shí)，分針落后時(shí)針60X （180-360）=30 （個(gè)）格，而在9點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5xg=45（個(gè)）格.因此，在這段時(shí)間 內(nèi)分針要比時(shí)針多走45-30:15 （個(gè)）格，而每分鐘分針比時(shí)針多走（14）個(gè)格，因此，到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為：15 + （1-）=16白 1乙A乙L JL（分鐘）。分針與時(shí)針的夾角為0。，即分針與時(shí)針重合：9點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5X9=45 （個(gè)）格，而當(dāng)分針與時(shí)針重合時(shí)，分針 小匕時(shí)針多走45個(gè)格，因此到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為；45-（1-y） =4

5、9（分鐘）JL L解：當(dāng)分針與時(shí)針的夾角為180°角時(shí)：5X9-60X（180-360）+（1.=吟（分鐘）。當(dāng)分針與時(shí)針的夾角為0。即分針與時(shí)針重合時(shí)：5X9 +。-白）=49（分鐘）。答；所求時(shí)刻為9點(diǎn)162分和9點(diǎn)49分。例4小明在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間解了一道題，開始時(shí)分針與時(shí)針正好成一條直線，解 完題時(shí)兩針正好重合，小明解題的起始時(shí)間？小明解題共用了多少時(shí)間？分析要求小明解題共用了多少時(shí)間，必須先求出小明解題開始時(shí)是什么 時(shí)刻，解完題時(shí)是什么時(shí)刻。小明開始解題時(shí)的時(shí)刻：因?yàn)樾∶鏖_始解題時(shí)，分針與時(shí)針正好成一條直線，也就是分針與時(shí)針的 夾角為180° ,此時(shí)分針落后時(shí)針60

6、X （180360）二30 （個(gè)）格，而7點(diǎn)整時(shí) 分針落后時(shí)針5X7= 35 （個(gè)）格，因此在這段時(shí)間內(nèi)分針要比時(shí)針多走35-30 = 5 （個(gè)）格，則這一段時(shí)間為：5-（1-） = 5 （分鐘）所. 以小明開始解題時(shí)是7點(diǎn)舄分。小明解題結(jié)束時(shí)的時(shí)刻，因?yàn)樾∶鹘忸}結(jié)束時(shí)，兩針正好重合，那么從7點(diǎn)整到這一時(shí)刻分針要 比時(shí)許多走5乂7 = 35 （個(gè)）格，因此這一段時(shí)間為；充= ?哈（分9鐘）.所以小明解題結(jié)束時(shí)是7點(diǎn)38亮分。這樣小明解題所用的時(shí)間就可以求出來了Q解；先求小明開始解題的時(shí)刻;5X7-60X180 + 360）一=51（分鐘），所以小明開始解題時(shí)是7點(diǎn)彳分。再求小明結(jié)束解題的時(shí)刻；

7、1225X7+。5）=38 （分鐘），所以小明結(jié)束解題時(shí)是7點(diǎn)38a分 L jL I1 X最后求小明解題所用的時(shí)間：7點(diǎn)3哈分一7點(diǎn)不分=32（分鐘）管：小明解題共用了32V分鐘。例5 一只鐘的時(shí)針與分針均指在4與6之間，且鐘面上的“5”字恰好在時(shí)針與 分針的正中央，問這時(shí)是什么時(shí)刻？分析由于現(xiàn)在可以是4點(diǎn)多，也可以是5點(diǎn)多，所以分兩種情況進(jìn)行討 論：先設(shè)此時(shí)是4點(diǎn)多:4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針指4,分針指12.從4點(diǎn)整到現(xiàn)在“5在時(shí)針與分針的正中 央”，分針走的格數(shù)多于25,少于30,時(shí)針走不足5格.由于5到分針的格數(shù)等 于5到時(shí)針的格數(shù)，所以時(shí)針與分針在這段時(shí)間內(nèi)共走30格.又由于時(shí)針的速度是分針的白

8、，所以從4點(diǎn)整到上圖（a）鐘面上這種狀態(tài)共用了： 1乙30-。+ 得）=27,（分鐘），1乙1D所以這時(shí)是4點(diǎn)27（分。再設(shè)此時(shí)是5點(diǎn)多：出，號吃全嘉分步削2.從5點(diǎn)整到現(xiàn)在“5在時(shí)針與分針的正中 鬻翁蠢郡蜉所以時(shí)針與分針在這晶'儡叁5智刷19這種狀態(tài)共用了25 + （1+*） =235（分鐘）。 JI 乙A J所川匕時(shí)是5點(diǎn)23福分。解；如果此時(shí)是4點(diǎn)多，則從4點(diǎn)整到上頁圖（a）鐘面上這種狀態(tài)共用，30* （1 + 卷）=27-（分鐘）e 141 D如果此時(shí)是5點(diǎn)多，則從5點(diǎn)整到上頁圖（b）鐘面上這種狀態(tài)共用;25- （1十焉）=23焉（舟恒。因此，這時(shí)可以是4點(diǎn)27/分，也可以是5

9、點(diǎn)231分。例6 一只舊鐘的分鐘和時(shí)針每65分鐘（標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的65分鐘）重合一次,問這只 舊鐘一天（標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間24小時(shí)）慢或快幾分鐘？分析前面己知標(biāo)準(zhǔn)鐘每65亮標(biāo)準(zhǔn)分鐘時(shí)針、分針重合一次.舊鐘每65分鐘重合一次，顯然舊鐘此本題的難點(diǎn)在于從舊鐘兩針的重合所耗用的65標(biāo) 準(zhǔn)分鐘推算出舊鐘時(shí)針或分針的旋轉(zhuǎn)速度（每標(biāo)掛分鐘旋轉(zhuǎn)多少格），進(jìn)而推 算出舊鐘的針24標(biāo)準(zhǔn)小時(shí)旋轉(zhuǎn)多少格，它與標(biāo)準(zhǔn)鐘的針用24標(biāo)準(zhǔn)小時(shí)所走的格 數(shù)的差就是舊鐘鐘面上顯示的比標(biāo)準(zhǔn)鐘快的時(shí)間讀數(shù)。設(shè)舊鐘分針每標(biāo)準(zhǔn)分鐘走漢格那么，每走1格用1標(biāo)準(zhǔn)分鐘.如用復(fù)合 X單位表示：舊鐘分針?biāo)俣葹閄 （格/標(biāo)準(zhǔn)分）.舊鐘分針走60格時(shí)針走5格，時(shí)針?biāo)?/p>

10、度總是分針的卷，所以舊鐘時(shí)針?biāo)俣葹樯ǜ?標(biāo)準(zhǔn)分）,每次重合 耗用65標(biāo)準(zhǔn)分鐘，而且兩次重合之間分針趕超了前針60格，列方程：60 (x - -yx) = 65。14解此方程，黑如,得一臺等標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天有60乂24=1440標(biāo)準(zhǔn)分，一天內(nèi)日鐘分針走的格數(shù)為:19X19H X 60x 24但是我們只須求出舊鐘分針比標(biāo)準(zhǔn)鐘分針多走了多少格，即 16X J112X1?減去1440個(gè)(標(biāo)準(zhǔn)鐘的)格，所以有M60X2H 60X21 15X11(12x12 144 743= 6-1 x 60 x 24 =><60x24 13x1113x11602410 人裕找、但讀者一定明白，這10捐只是舊鐘

11、上顯示的多走的格數(shù)，也是舊鐘的非 標(biāo)準(zhǔn)分鐘數(shù).并非標(biāo)準(zhǔn)的分鐘數(shù)9解：設(shè)這只舊鐘的分針用標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間1分鐘走X格，則舊鐘的時(shí)針?biāo)俣葹檠蒟格/標(biāo)準(zhǔn)分614根據(jù)舊鐘的時(shí)針與分針每重合一次耗用65標(biāo)準(zhǔn)分鐘，列方程得，60 +3幺)=65, 1乙標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天有60 X 24標(biāo)準(zhǔn)分,標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天內(nèi)舊鐘分針走的格數(shù)為:144區(qū)1Ts 2電這只舊鐘的分針標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天所走的格數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)鐘分針一天走的格數(shù)差 卻14410X60X260X24 = 10-（舊鐘格）。答：這只舊鐘在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天內(nèi)快10工分鐘（按舊鐘上的時(shí)間）O143五年級奧數(shù)講義下：時(shí)鐘問題習(xí)題習(xí)題A1 .在6點(diǎn)和7點(diǎn)之間，兩針什么時(shí)刻重合？2現(xiàn)在是2點(diǎn)1

12、5分，再過幾分鐘，時(shí)針和分針第一次重合？3 2點(diǎn)鐘以后，什么時(shí)刻分針與時(shí)針第一次成直角？工在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間（包含7點(diǎn)與8點(diǎn)）的什么時(shí)刻，兩針之間的夾角為 1200 ?5,在1Q點(diǎn)與11點(diǎn)之間，兩針在什么時(shí)刻成一條直線？6, 一舊鐘鐘面上的兩針每66分鐘重合一次，這只舊鐘在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的一天中 快或慢幾分鐘？，李叔叔下午要到工廠上3點(diǎn)的班.他估計(jì)快到上班時(shí)間了，到屋里看鐘， 可是鐘早在12點(diǎn)M分就停了.他上足發(fā)條后忘了撥針，匆匆離家，到工廠一看 離上班時(shí)間還有10分鐘.冽、時(shí)工作后夜里11點(diǎn)下班，李叔叔回到家里，一看鐘 才9點(diǎn)整.假定他上班和下班在路上用的時(shí)間相同，那么他家的鐘停了多長時(shí) 間？五年級

13、奧數(shù)講義：時(shí)鐘問題習(xí)題解答習(xí)題八解答1 .解：在6點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5X6= 30 （個(gè)）格，到分針與時(shí)針 重合時(shí).分鐘要比時(shí)針多走30個(gè)格，而每分鐘分針比時(shí)針多走Q.白）個(gè) 格，所以到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為：30+ （1 .3）=32（分鐘）.因此J M1 1所求的時(shí)刻為6點(diǎn)32得分。答：在6點(diǎn)322分時(shí)分針與時(shí)針重合。2 .解：在2點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5X2= 10 （個(gè)）格，到分針與時(shí)針重合 時(shí)，分針要比時(shí)針多走10個(gè)格，所以到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為；10 +（1-磊）=1哈（分鐘），因?yàn)榕蠄?所以2點(diǎn)嗎分不是所求的 時(shí)刻.現(xiàn)在看3點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5X3=15 （個(gè)）格，到分針與時(shí)

14、針重合針 時(shí)，分針要比時(shí)針多走15個(gè)格，這樣到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為：4 .解！當(dāng)分針落后時(shí)針而與時(shí)針成120。角時(shí)，當(dāng)分針落后時(shí)針而與時(shí)針成120。角時(shí)，分針落后時(shí)針60乂 （120-360） = 20（個(gè)）格，而7點(diǎn)整時(shí)分針落后時(shí)針5X7=351個(gè)）格，因此在這段時(shí)間內(nèi) 分針要比時(shí)針多走3520二15，個(gè)）格，所以到達(dá)這一時(shí)刻所 用的時(shí)間為：15- （14）=16 （分鐘）.因此，在7點(diǎn)吟分時(shí)，兩針 之間的夾角為120。°當(dāng)分針超過時(shí)針而與時(shí)針成120。角時(shí)：當(dāng)分針超過時(shí)針而與時(shí)針成120。角時(shí)，分針超過時(shí)針20格，而7點(diǎn)整時(shí)分 針落后時(shí)針35格，因此在這段時(shí)間內(nèi)分針要比時(shí)針多走

15、35十20二55 （個(gè)） 格，所以到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為，乃。白）=60 1分鐘）.因此， 在7點(diǎn)60分即8點(diǎn)整時(shí)，兩針之間的夾角為120。°答：在7點(diǎn)16（分與8點(diǎn)整時(shí)，兩針之間的夾角為120。°5 .解，當(dāng)分針與時(shí)針的夾角為180。角時(shí)：當(dāng)分針與時(shí)針的夾角為180。角時(shí)，分針落后時(shí)針60X （180360）二30 （個(gè)）格，而10點(diǎn)整時(shí)分針落后時(shí)針5X 10=50 （個(gè)）格，因此在這段時(shí)間內(nèi)分 針要比時(shí)針多走50-30=20 （個(gè)）格，所以到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí) 間為：20 +。1）=2+ 1分鐘）.因此在10點(diǎn)2斗分時(shí)分針與時(shí)針在 14A JL1條直線上。當(dāng)分針與時(shí)針

16、的夾角為0。即分針與時(shí)針重合時(shí):1。點(diǎn)整時(shí)分針落后時(shí)針5。個(gè)格，因此當(dāng)分針與時(shí)針重合時(shí)分針要比時(shí) 針多走50個(gè)格，所以到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為：50-（1-） = 54 （分 鐘）.因此在10點(diǎn)54微分時(shí)分針與時(shí)針在一條直線上。96答：在10點(diǎn)215分與10點(diǎn)545分時(shí)分針與時(shí)針在一條直線上。6 .解：設(shè)舊鐘在分針用標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間1分鐘走x格，則舊鐘的時(shí)針?biāo)俣葹镴x1乙格衍準(zhǔn)分。根據(jù)舊鐘的時(shí)針與分針每重合一次耗用66標(biāo)準(zhǔn)分鐘，列方程得：60-Cx-X)=66, 1乙190標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天有60X24標(biāo)準(zhǔn)分，標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天內(nèi)舊鐘走的格數(shù)為：嶄X 60 乂 24格。則這只舊鐘標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天慢:12010960義24 愣義60義24 = 11署（舊鐘格），答，這只舊鐘在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天內(nèi)慢11言分鐘（按舊鐘上的時(shí)間）67 .解法1：依題意，鐘停的時(shí)間與上班路上用的時(shí)間之和為：14點(diǎn)50分-12 點(diǎn)10分二160 1分鐘）.鐘信的時(shí)間與下班路上用的時(shí)間之差為：11點(diǎn)-9點(diǎn)=120（分鐘）;因