高中數(shù)學(xué)競賽幾何專題從調(diào)和點(diǎn)列到Apollonius圓到極線

1、從交比到調(diào)和點(diǎn)列到 Apollonius圓到極線極點(diǎn)2010年10月17日結(jié)束的2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽平面幾何題目為：如圖 1,銳角三 角形ABC的外心為 O, K是邊BC上一點(diǎn)（不是邊 BC的中點(diǎn)），D是線段AK延長線 上一點(diǎn)，直線 BD與AC交于點(diǎn)N,直線CD與AB交于點(diǎn)M .求證：若 OKLMN,則ABDC 四點(diǎn)共圓.本題頗有難度，參考答案的反證法讓有些人“匪夷所思” ，其實(shí)這是一系列射影幾何中 常見而深刻結(jié)論的自然“結(jié)晶”，此類問題在國家隊(duì)選拔考試等大賽中屢見不鮮。本文擬系 統(tǒng)的介紹交比、調(diào)和點(diǎn)列、完全四邊形、Apollonius圓、極線等射影幾何的重要概念及應(yīng)用， 抽絲剝繭、溯本

2、求源，揭示此類問題的來龍去脈，并在文中給出上題的一種簡潔明了的直接 證明。知識介紹定義1 線束和點(diǎn)列的交比：如圖2,共點(diǎn)于O的四條直線被任意直線所截的有向線段比uur uurAC /BC包工也稱為線束oa、OC、OB、OD或點(diǎn)列ACBD的交比。1 AD BD定理1線束的交比與所截直線無關(guān)。圖2證明：本文用ABC表示ABC面積，則uuur uuin繪/魅AOC/BOCAD BD AOD BODCO sin AOC /COsin COB DO sin AOD DO sin BOD sin AOC / sin COB sin AOD sin BOD從而可知線束交比與所截直線無關(guān)。uurBC甥的線束稱

3、為調(diào)和線束，點(diǎn)列稱為BDuurAC定義2調(diào)和線束與調(diào)和點(diǎn)列：交比為-1 ,即第AD調(diào)和點(diǎn)列。顯然調(diào)和線束與調(diào)和點(diǎn)列是等價的，即調(diào)和線束被任意直線截得的四點(diǎn)均為調(diào)和點(diǎn)列，反之，調(diào)和點(diǎn)列對任意一點(diǎn)的線束為調(diào)和線束。定理2 調(diào)和點(diǎn)列常見形式：(O為CD中點(diǎn))211(1)、 一AD AB AC2、OC2 OB*OA(3)、 AC*AD=AB*AO(4)、 AB*OD=AC*BD證明：由基本關(guān)系式變形即得，從略。定理3 一直線被調(diào)和線束中的三條平分當(dāng)且僅當(dāng)它與第四邊平行(由定義即得，證略)定義3 完全四邊形：如圖3,凸四邊形 ABCD各邊延長交成的圖形稱為完全四邊形ABCDEF , AC、BD、EF稱為

4、其對角線(一般的四條直線即交成完全四邊形)2。定理4完全四邊形對角線互相調(diào)和分割。即 AGCH、BGDI、EHFI分別構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。圖3分析：只需證EHFI為調(diào)和點(diǎn)列，其余可類似證得，也可由線束的交比不變性得到。證法一：面積法 HE IF AECJLBDF HF IE AFC BDEAECACDBDFBEF ACDAFCBEFBDEEC AD DC AF HE IE1 ,即 。CD AF EC AD HF IF證法二：由Ceva定理里 里AB 1 ,由Menelaus定理得到旦 里幽1,故 HF DA BEIF DA BEHF IF,即EHFI為調(diào)和點(diǎn)列。定理5 完全四邊形 ABCDEF中，四

5、個三角形 AED、ABF、EBC、FDC的外接圓共點(diǎn)，稱 為完全四邊形的密克（Miquel ）點(diǎn)。證明：設(shè)出兩圓交點(diǎn)，證它在其余圓上即可。P圖4定義4 阿波羅尼斯（Apollonius ）圓：到兩定點(diǎn)A、B距離之比為定值 k （k 0且k 1）的 點(diǎn)的軌跡為圓，稱為 Apollonius圓，為古希臘數(shù)學(xué)家Apollonius最先提出并解決2（注：當(dāng)k=1時軌跡為AB中垂線也可看成半徑為無窮大的圓）。 ACAD AP證明：如圖4由AP=kPB ,則在AB直線上有兩點(diǎn) C、D滿足L ,故PC、bc| |bd| I bpPD分別為/ APB的內(nèi)外角平分線，則 CP，DP,即P點(diǎn)的軌跡為以CD為直徑的

6、圓O（O為CD中點(diǎn)）。（注：解析法亦可證得）顯然圖4中ACBD為調(diào)和點(diǎn)列。定理6 在圖4中，當(dāng)且僅當(dāng) PBXAB時，AP為圓O的切線。證明：當(dāng)PBLAB時/ APC=/BPC=/CDP故AP為圓。的切線，反之亦然。定理7 Apollonius圓與調(diào)和點(diǎn)列的互推如下三個條件由其中兩個可推得第三個：1 .PC （或PD）為/ APB內(nèi)（外）角平分線2 . CPXPD3 .ACBD構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列（證略）定義5 反演：設(shè)A為。O （r）平面上點(diǎn)，B在射線OA上，且滿足OA*OB=r*r，則稱A、B以。為基圓互為反演點(diǎn)。定理8 圖4中，以Apollonius圓為基圓，AB互為反演點(diǎn)。（由定理2 （2）即得

7、。）定義6極線與極點(diǎn)：設(shè)A、 B關(guān)于。O （r）互為反演點(diǎn)，過 B做OA的垂線l稱為A點(diǎn)對圓O的極線；A點(diǎn)稱為l的極點(diǎn)。3定理9當(dāng)A點(diǎn)在。O外時，A的極線為A的切點(diǎn)弦。（由定理6即得。）APDCBOQ圖5定理10 若A的極線為l,過A的圓的割線ACD交l于B點(diǎn)，則ACBD為調(diào)和點(diǎn)列。證明：如圖5,設(shè)A的切點(diǎn)弦為 PQ,則毀QPC CP CQ APAC AC即acbd為調(diào)和點(diǎn)列。BD QPD DP DQ AD AQ AD定理11配極定理：如圖6,若A點(diǎn)的極線通過另一點(diǎn) D,則D點(diǎn)的極線也通過 Ao 一般 的稱A、D互為共軻點(diǎn)。證法一：幾彳S法，作 AFLOD于F,則DFGA 共圓，得OF*OD=

8、 OG*OA = OI 2 ,由定義6知AF即為D的極線。圖6證法二：解析法，設(shè)圓O為單位圓，A ( Xi,%)，D ( x2, y2), A的極線方程為xxi yy 1 ,由D在其上，得x2x1 y2yl 1 ,則A在xx2 yy2 1上，即A在D的極線上。定理12在圖6中，若A、D共軻，則AD2 A的嘉+D的幕(對圓O)證明：AD2 AG2+DG2(AG2+BG2)+(DG2 BG2)=A的嘉+D的幕(對圓O)定義7調(diào)和四邊形：對邊積相等的圓內(nèi)接四邊形稱為調(diào)和四邊形。(因圓上任意一點(diǎn)對此四點(diǎn)的線束為調(diào)和線束，故以此命名）定理13 圖5中PDQC為調(diào)和四邊形。證明：由定理9的證明過程即得。例

9、題選講例1 如圖7,過圓O外一點(diǎn)P作其切線 PA、PB, OP與圓和AB分別交于I、M, DE為過 M的任意弦。求證：I為 PDE內(nèi)心。（2001年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克） 分析：其本質(zhì)顯然為 Apollonius圓。證明：由定理6知圓。為P、M的Apollonius圓，則DI、EI分別為 PDE的內(nèi)角平分線， 即I為乙PDE內(nèi)心。例2 如圖8, AABC中，AD ± BC, H為AD上任一點(diǎn)，則/ ADF= / ADE （1994年加拿大 數(shù)學(xué)奧林匹克試題）圖8證明：對完全四邊形 AFHEBC ,由定理4知FLEK為調(diào)和點(diǎn)列。又 AD ± BC ,由定理7得 ZADF= /

10、 ADE 。圖9例3 如圖9,完全四邊形 ABCDEF中，GJXEFf J,則/ BJA= / DJC （2002年中國國家 集訓(xùn)隊(duì)選拔考試題）證明：由定理 4及定理7有/ BJG=/DJG且/ AJG=/CJG,貝U/ BJA= / DJC。圖10 例4 已知：如圖10, ABC內(nèi)角平分線 BE、CF交于I,過I做IQLEF交BC于P,且IP=2IQ。求證：/ BAC=60 °IQ D'I DI PI證明：做AXEF交BC于Y,由定理4知AD'ID為調(diào)和點(diǎn)列，故說 67人 樂 .，又 IP=2IQ , 則 AX=XY , 即 EF 為 AY 中垂線，由正弦定理CFs

11、in FYCFYsin 1FAsin 2CF，則AFYC共圓，同理 AEYB共圓, sin FAC故 / BYF= / BAC=ZCYE= / EYF,故/ BAC=60例5如圖11, P為圓。外一點(diǎn)，PA、PB為圓O的兩條切線。PCD為任意一條割線，CF 平行PA且交AB于E。求證：CE=EF （2006國家集訓(xùn)隊(duì)培訓(xùn)題） 證明：由定理10及定理3即得。例6 如圖12, PAB、PCD為圓O割線，AD交BC于E, AC交BD于F,則EF為P的極 線。（1997年CMO試題等價表述）證法一：作 AEB外接圓交 PE于M,貝U PE*PM=PA*PB=PC*PD ,故CDME 共圓（其實(shí) P 為

12、三圓根心且 M為PAECBD密克點(diǎn)），從而/ BMD= / BAE+ / BCD= / BOD, BOMD 共 圓。/ OMT= / OMB+ / BMT= / ODB+ / BAE=90 故 M 為 ST 中點(diǎn)，PS*PT= PA*PB=PE*PM ,由定理2 （3）知E在P極線上，同理 F亦然，故EF為P的極線。P圖10P圖11證法二：如圖 13,設(shè) PS、PT為圓 O切線。在 ABTASsin AST BDsin BDA TCsin TCB AS BD TCBSsin BST DTsin TDA ACsin ACB BS AC DTAU * BV * TW 中，可以得到*UB VT WA

13、PS PB PC / 1PB PC PT由塞瓦定理逆定理知ST、AD、BC三線共點(diǎn)于巳同理F亦然，故EF為P的極線。至此，點(diǎn)P在圓O外時，我們得到了 P點(diǎn)極線的四種常見的等價定義：1、過P反演點(diǎn)做的OP的垂線。2、過P任意作割線PAB, AB上與PAB構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列的點(diǎn)的軌跡所在的直線。3、P對圓O的切點(diǎn)弦。4、過P任意做兩條割線 PAB、PCD, AD、BC交點(diǎn)與AC、BD交點(diǎn)的連線。（注：切線為 割線特殊情形，故 3、4是統(tǒng)一的）例7 4ABC 內(nèi)切圓I分別切 BC、AB于 D、F, AD、CF分別交I于G、H。求證：DF GHFG DH3（2010年東南數(shù)學(xué)奧林匹克）A圖12證明：如圖14

14、,由定理13知GFDE為調(diào)和四邊形，據(jù)托勒密定理有GD*EF=2FG*DE ,同理 HF*DE=2DH*EF 相乘得 GD*FH= 4DH*FG 又由托勒密定理 GD*FH=例8 已知：如圖15, AABC內(nèi)切圓切 BC于D, AD交圓于E,作CF=CD , CF交BE于 Go求證：GF=FC （2008年國家隊(duì)選拔）證明：設(shè)另兩切點(diǎn)為 H、I, HI交BD于J,連JE。由定理10知AEKD為調(diào)和點(diǎn)列，由定 理11知AD的極點(diǎn)在HI上，又AD極點(diǎn)在BD上，故J為AD極點(diǎn)；則JE為切線，BDCJ 為調(diào)和點(diǎn)列，由 CF=CD且JD=JE知CF/JE,由定理3知GF=FC。（注：例8中BDCJ為一組

15、常見調(diào)和點(diǎn)列）例9如圖16,圓內(nèi)接完全四邊形 ABCDEF中AC交BD于G,則EFGO構(gòu)成垂心組（即 任意一點(diǎn)是其余三點(diǎn)的垂心）。證明：據(jù)例6知EG, FG共軻，由定理12EG2 FG2 （E的幕G的幕）-（F的幕G的幕尸E的幕F的幕二EO2 FO2則OGLEF,其余垂直同理可證。圖14注：4EFG稱為極線三角形。本題結(jié)論優(yōu)美深刻，初版于1929年的4已有介紹，它涉及到調(diào)和點(diǎn)列、完全四邊形、密克點(diǎn)、極線、 Apollonius圓、垂心組等幾何中的核心內(nèi)容。 本文開頭提到的2010年聯(lián)賽題為本題的逆命題，熟悉上述內(nèi)容的情況下，采用參考答案的 反證法在情理之中：如圖 1,設(shè)D不在圓O上，令A(yù)D交圓

16、。于E, CE交AB于P, BE交 AC于Q。由例9得PQ/MN ;由定理4得MN、AD調(diào)和分割BC,同理PQ亦然，則PQ/MN/BC , 從而K為BC中點(diǎn)，矛盾！故 ABCD共圓。其實(shí)本題也可直接證明，如下：如圖17,由例3得/ 1 = /2;又K不是BC中點(diǎn)，類似例4證明可得OBJC共圓；/ MJB=/NJC=1 BOC=/BAC,由定理5得J為ABDCMN2密克點(diǎn)，則/ BDM= / BJM=Z BAN故ABDC 共圓。以例9為背景的賽題層出不窮，再舉幾例，以饗讀者。例10 4ADE中，過AD的圓。與AE、DE分別交于 B、C, BD交AC于G,直線 OG與 ADE外接圓交于 P。求證：

17、 PBD、APAC共內(nèi)心（2004年泰國數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：本題顯然為密克點(diǎn)、Apollonius圓、極線及例9等深刻結(jié)論的簡單組合。證明：如圖16,由定理5及例9知PG互為反演點(diǎn)，據(jù)定理 8知圓。為PG的Apollonius 圓，由例1知4 PBD與 PAC共內(nèi)心。例11 4ABC中，D在邊BC上且使得/ DAC= /ABC,圓。通過BD且分另交 AB、AD 于E、F, DE交BF于G, M為AG中點(diǎn)，求證：CM，AO （ 2009年國家隊(duì)選拔）A證明：如圖18,設(shè)EF交BC于J。由定理 3得AKGL為調(diào)和點(diǎn)列，由定理 2 （4）有,LJ LK LGLK*GM=LG*KA ,又/ CAD=A

18、BD= / JFD 故 EJ/CA,貝U 即 JG/CM 而由JC KA GM例 9 有 JGXOA ,故 CM ±AOo例9中OG EF對圓外切四邊形亦然。例12 如圖19,設(shè)圓O的外切四邊形 A'B' C'D'對邊交于 E'F', A'C'交B'D'交于G',則OG'E'F'。（2009年土耳其國家隊(duì)選拔）圖17 證明：設(shè)四邊切點(diǎn)為 ABCD , AC交BD于G, AB交CD于E, AD交BC于F,由例6知 BD、AC極點(diǎn)E'、F'在EF上，則G'與G重合，由例9,即得OG'E'F'。A圖18例13 如圖20, ABCD為圓O的外切四邊形， OELAC于E,則/ BEC= / DEC（2006年協(xié)作題夏令營測試題）分析：由定理7知垂直證等角必為調(diào)和點(diǎn)列。證明：如圖20,做出輔助線，由例 12知FI、GH、BD共點(diǎn)于M ,且為AC的極點(diǎn)，從而OE也過M,且BLDM 構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，由定理 7得/ BEC= / DEC。 最后我們看一道伊朗題及其推廣例14 AABC內(nèi)切圓I切BC于D, AD交I于K。BK、CK交I于E