高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點總結(jié)

1、高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念集合的含義集合的中元素的三個特性：元素的確定性如：世界上最高的山元素的互異性如：由 HAPPY的字母組成的集合H,AEY元素的無序性：如：a,b,c和a,c,b是表示同一個集合3.集合的表示：如：我校的籃球隊員, 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集N*或N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R列舉法：a,b,c描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。x

2、R|x-32 ,x| x-32語言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn 圖：4、集合的分類：有限集含有有限個元素的集合無限集含有無限個元素的集合空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合間的基本關(guān)系1 .“包含”關(guān)系一子集注意：A B有兩種可能（1） A是B的一部分，；（2） A與B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2 .“相等”關(guān)系：A=B （55,且 50,則 M 與 N 的關(guān)系是4 .設(shè)集合A= x1 x 2 , B=蟲a ,若A B,則a的取值范圍是5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學(xué)實驗做得

3、正確得有31人，兩種實驗都做錯得有 4人，則這兩種實驗都做對的有人。/6 .用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.o7 .已知集合 A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0,/若Bn CW，An C= ,求m的值二、函數(shù)的有關(guān)概念1 .函數(shù)的概念：設(shè) A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合 A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f: A-B為從集合A 到集合B的一個函數(shù).記作： y=f(x), xC A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍 A叫做函 數(shù)的定義域

4、；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xCA 叫做函數(shù)的值域. 注意：1 .定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零，(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān))；定義域一致(兩點必

5、須同時具備)(見課本21頁相關(guān)例2)2 .值域：先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法3 .函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (xCA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值 y為縱坐標(biāo) 的點P(x, y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x, y)均滿足函數(shù) 關(guān)系y=f(x),反過來，以滿足 y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對 x、y為坐標(biāo)的點(x, y),均在C上. (2)畫法描點法：圖象變換法常用變換方法有三種平移變換伸縮變換對稱變換4 .區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2)無窮區(qū)間(3)區(qū)間的數(shù)

6、軸表示.5 .映射一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合 A中的任意一個元素X,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f: A B為從 集合A到集合B的一個映射。記作“ f (對應(yīng)關(guān)系)：A (原象)B (象)”對于映射f： A- B來說，則應(yīng)滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合 B中對應(yīng)的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6 .分段函數(shù)(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況.(3)分段函數(shù)的定義域是

7、各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x C A),則 y=fg(x)=F(x)(x C A) 稱為 f、g 的復(fù)合函數(shù)。二.函數(shù)的性質(zhì)7 .函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量 x1, x2, 當(dāng)x1x2時，者B有f(x1)f(x2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增 區(qū)間.如果對于區(qū)間 D上的任意兩個自變量的值x1, x2,當(dāng)x1f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意

8、：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2)圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3) .函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：任取 x1, x2 D,且 x11,且neN*.負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是 0,記作V0 0。n n當(dāng)n是奇數(shù)時，Vaa ,當(dāng)n是偶數(shù)時,nan |a|a (a0)a (a0)2 .分?jǐn)?shù)指數(shù)哥正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義，規(guī)定：0, m,n*N ,n 1)mn 11m n m*a 下m(aa n Ja (a 0, m

9、, n N ,n 1)a n a0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于 0, 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥沒有意義3 .實數(shù)指數(shù)哥的運算性質(zhì)(a 0,r,s R).(ar)sars(a0,r,sR)；r r s_(3)(ab)a a(a0,r,sR).(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y a (a 0且a 1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量, 函數(shù)的定義域為 R.注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和 1.2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a10a0值域y0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(0, 1)函數(shù)圖象都過定點(0, 1)注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以

10、看出：(1)在a, b上，f(x) ax(a 0且 a 1)值域是f(a),f(b) 或f(b),f (a)；(2)若x 0,則f(x) 1, f(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x R;(3)對于指數(shù)函數(shù)f(x) ax(a 0且a 1),總有fa;二、對數(shù)函數(shù)(一)對數(shù)1,對數(shù)的概念：一般地，如果ax N (a 0,a 1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作：x log a N (a底數(shù)，N真數(shù)，10g a N對數(shù)式)說明：O注意底數(shù)的限制a 0,且a 1；ax N log a N x；ogaN 二3注意對數(shù)的書寫格式.兩個重要對數(shù):ln Nd常用對數(shù)：以io為底的對數(shù)lgN ； 自然對數(shù)：以無理

11、數(shù)e 2.71828為底的對數(shù)的對數(shù) 指數(shù)式與對數(shù)式的互化 募值loga N = b底數(shù)指數(shù)對數(shù)的運算性質(zhì)對數(shù)如果a 0,且a 1,M 0,N 0,那么:1 lOga(M.N ) log a M + log a NM loga - N3 logaMnn log a M (nR)注意：換底公式.log c blog a blog c a （a 0 ,且利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論0,且c1;b 0).logam bn logab(1)m ；lOgablogb a（二）對數(shù)函數(shù)D叫做對數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量,y 210g 2 x1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y log a x（ a 函數(shù)的定義域是（0,

12、 +）.注意：O 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如:, xy log 5 -5都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：（a 0,且a 1）2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a10a0定義域x0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點（1,0）函數(shù)圖象都過定點（1,0）（三）騫函數(shù)1、哥函數(shù)定義：一般地，形如 y x （a R）的函數(shù)稱為哥函數(shù)，其中為常數(shù).2、哥函數(shù)性質(zhì)歸納.（1）所有的哥函數(shù)在（0, +8）都有定義并且圖象都過點（1, 1）；（2）0時，哥函數(shù)的圖象通過原點， 并且在區(qū)間0，）上是增函數(shù).特別地，當(dāng) 1時，哥函數(shù)的圖象下凸；當(dāng) 01

13、時，哥函數(shù)的圖象上凸;（3）0時，哥函數(shù)的圖象在區(qū)間（0， ）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)X從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時，圖象在x軸上方無限例題：1.已知a0,地逼近x軸正半軸.a0,函數(shù)y=ax與y=loga（-x）的圖象只能是251og 5 27 21og 5210g 3 22.計算： 10g 27 64 2410g23 =17410.064 3 ( -)0 ( 2)3 3 16 0.75 0,01283 .函數(shù)y=log (1)40,方程 ax bx c 0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點. 2(2)4=0,方程 axb

14、x c 0有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與 x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.(3)4vo,方程ax2 bx c 0無實根，二次函數(shù)的圖象與 x軸無交點，二次函數(shù)無 令點.5.函數(shù)的模型收集數(shù)據(jù) (2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為4 .若函數(shù)f(x) loga x(0 a 1)在區(qū)間自冽上的最大值是最小值的3倍，則a=1 xf (x) log (a 0且a 1)、第三章函數(shù)的應(yīng)用 一、方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y f(x)(x D零點。2、函數(shù)零點的意義：函數(shù) y 的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。即：方程f(x) 0有實數(shù)根5.已知 a1 x, (1)求f(x)的定義域(2)求使f(x) 0的x的