數(shù)列通項公式的求法(較全)

1、常見數(shù)列通項公式的求法公式:等差射列的定義£ -口一45之2）等差數(shù)列的通項公式4 勺+5 T”等差數(shù)列的求和公式S” "3- 勺）=叫+ “（丁）等差數(shù)列的性質4 - 4 = 口 r + 4 （而-元=F + 9） L尸中等比數(shù)列的定義工=牙5之2）4-i等比數(shù)列的通項公式4三勺"7等比數(shù)列*（勺一口*厘_皿1 一 ,）等比數(shù)列的求和公式3- g =1）等比數(shù)列的性質久% = %<%<»< +林=廣+ g）1、定義法若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,求通公式項時,只需求出ai與d或詡與q，再代入公式 an=a1+（n-1d或an =aqn。

2、中即可.例1、成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上 2, 5, 13后成為等比數(shù)列bn的b3,b4,b5,求數(shù)列bn的的通項公式.練習：數(shù)列 Q 是等差數(shù)列，數(shù)列 3是等比數(shù)列，數(shù)列 J中對于任何n w N*者B有,-127 一、，cn =an -bn,c1 =0,02 =一，03=，c4 =一，分別求出此二個數(shù)列的通項公式.6954-可編輯修改-形如an4-an = f (n 乂已知a1)型的的遞推公式均可用累加法求通項公式.(1) 當f(n)=d為常數(shù)時，an為等差數(shù)列，則an=a+(n1)d ；(2) 當f (n)為n的函數(shù)時，用累加法.方法如下：由an書一an = f

3、(n礙當 n 之2 時,an an=f (n 1)an1an_2=f n _ 2a3 - a2 = f 2a2 - a = f 1以上(n -1斤等式累加得an -a1 = f n -1 +f n-2 IH f 2 f 1an =a1f n-1 +f n-2 III f 2 f 1(3)已知a1，an書-an = f (n ),其中f (n )可以是關于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通 項.若f (n )可以是關于n的一次函數(shù)，累加后可轉化為等差數(shù)列求和；若f (n )可以是關于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和；若f (n )可以是關于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉化為等比數(shù)列求和；若

4、f (n )可以是關于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和求和.例2、數(shù)列an中已知a1 =1,an由一an =2n-3,求an的通項公式.練習1：已知數(shù)列an滿足an =an+3n+2且a1 = 2,<an.練習2：已知數(shù)列an中，a1 =1,an書an =3n 2n ,求an的通項公式11.1 1練習3：已知數(shù)列 峪滿足a1 = ,an4 =an+一，求求的通項公式2n n3、累乘法 形如a? " f(n)(已知ai段的的遞推公式均可用累乘法求通項公式給遞推公式an±= f (n )(n W N+)中的n依次取1,2,3,n1,可得到下面n1個式子: a n四=f 1

5、,a3 = f 2 ,a4 =f 3 ,|l,.= f n-1 .aia?a3an利用公式an =a1M生父名父旦父III父烏-,(an #0,nw N十)可得: a1 a2 a3an Jan =a1 f 1 f 2 f 3 HI f n -1 .2n例3、已知數(shù)列an滿足a1 =，an噌 =an求an.3 n 1,. a n 2,，練習1：數(shù)列an中已知 切=1,龍=,求an的通項公式 ann練習2：設an是首項為1的正項數(shù)列，且(n +1)a2書na2 +an由an = 0 ,求Ln的通項公式-可編輯修改-4、奇偶分析法(1)對于形如an+an = f (n理的遞推公式求通項公式當為 ,

6、+4 =d(d為常數(shù))時，則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2,其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論.當f (n )為n的函 數(shù)時，由an書+an = f (n ) , an +an=f (n-1)兩式 相減，得到 an+1 an。 = f (n ) f (n -1),分奇偶項來求通項.例4、數(shù)列an滿足ai =1,an+an =4,求 匕的通項公式.練習：數(shù)列 匕0滿足為=6en+ + a。= 6 ,求a。的通項公式.例5、數(shù)列 心滿足a1 =0,an由十an =2n ,求QJ的通項公式練習1：數(shù)列an滿足a1 = -1,an+ +an =n -1,求an的通項公式練習2：數(shù)列an滿足a

7、1 =2,an書+ an =3n1 ,求an的通項公式(2)對于形如an+an = f (n理的遞推公式求通項公式當an+an =d(d為常數(shù)陽，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為 2,其通項分奇數(shù)項和偶數(shù)項來討論.當f(n)為n的函數(shù)時，由an+an= f (n ),and口 = f (nT )兩式相除，得到a =f( n ),分奇偶項an-1f n-1-可編輯修改-an 滿足a =2,an斗an =4 ,求an的通項公式.來求通項.例6、已知數(shù)列-可編輯修改-練習：已知數(shù)列. .2. 一斗滿足a1 =,an41，an = -2 ,求的通項公式.3例7、已知數(shù)列an ）滿足 ai

8、 =3,an+ an - .2|,求an的通項公式.練習1：數(shù)列an滿足闞=2,an中,% =3n,求an的通項公式練習2：數(shù)列an滿足ai =1,an中，an =2n,求&的通項公式5、待定系數(shù)法（構造法）若給出條件直接求 an較又t，可通過整理變形等從中構造出一個等差或等比數(shù)列，從而根據等差或者等比數(shù)列的定義求出通項.常見的有：（1）an + = pan+q（p,q為常數(shù)）=an*+t = p（an+t）構造an+t為等比數(shù)列.3 an十=pan +tpn% p為常數(shù)理山士 相居+ tp p-可編輯修改-.n + .米Zr, 兩邊同時除以pn+Hn41PHn,百f分.開H,.,。、

9、an + = pan+tq中(t, p,q為吊數(shù))p一 支=上4+t,再參考類型(1)(3)q q q(4)an i = pan qn r p,q,r是常數(shù) 一 an 1 n 11 - p an - n -(5) anq2 =pan書+qan= an率-tan+ = p(an*-tan )構造等比數(shù)列an書tan例8、已知數(shù)列an中，a1 =1 , an4=2an+3,求an.練習：已數(shù)列值中，ai =1且an+=1an+1,則an =.2例9、已知數(shù)列&中，4=3自中=3an+3",求an的通項公式練習1：已知數(shù)列an中，a =一3自=2an+2n,則an =.2練習2：已

10、知數(shù)列4中，a1 =2,an+=3an+4 3n,求Ln的通項公式3例 10、已知數(shù)列an滿足 an¥ =6an+2nta1 =1，求an.練習1：設數(shù)列an滿足ai =1,an書=3an+2n ,則an =r.511 Y平練習2:已知數(shù)列an 中，a1 = , an+ = an + (，求 為.630-可編輯修改-練習3：已知數(shù)列 Qn(nw N*)的滿足：a1=1 -3k,an = 4nl-3anj1n -2,k ,k R7(1)4n 判斷數(shù)列Ian - '是否成等比數(shù)列；7例11、數(shù)列an中已知a1 =1,an書=2an +3n,求an的通項公式練習1：數(shù)列an中已知a

11、1 =2,an+=3an -n+2,求an的通項公式練習2：數(shù)列an中已知ai =2,an#=3an+2n2 n+2,求an的通項公式例12、已知數(shù)列an中，a1 =5,a2 =2,an =2an+3an(n 3 ),求求QJ的通項公式.,21, 練習1：已知數(shù)列an中，a1 =1,a2 =2,an+2 = an+1+ an ,求求an的通項公式.333練習2：在數(shù)列an中，ai =1, a2 =一532人and2 =an# 十一 an ,令 bn =an由一an 。53(1)求證:數(shù)列 bn是等比數(shù)列，并求 bn(2)求數(shù)列an的通項公式6、利用an與Sn的關系a1n = 1如果給出條件是a

12、n與Sn的關系式，可利用an =1求解.S -s,n_2例13、已知數(shù)列an的前n項和為Sn =n2 2n+3,求 匕0的通項公式1 2, r練習1：已知數(shù)列 Q的前n項和為Sn=-n -n+3,求an的通項公式 43r ，練習2：若數(shù)列an 的前n項和為Sn = an 3,求小的通項公式2-可編輯修改-練習3:已知數(shù)列an 前n項和Sn =4 - an1.F，求Ln 的通項公式.27、倒數(shù)法(1) 為書= 工=阻& =1+9,構造!2I是等差數(shù)列qan pan 1panan Panpan1qan t _ t 1 qan 1=一qan tan 1 PanP anP2Sn r r例14、

13、已知數(shù)列an 滿足ai=1, an書=n,求an 的通項公式 3an 2練習：已知數(shù)列an中，a1=3,an+= an ，則an =1 2an例15、已知數(shù)列an滿足a=1,2a . . ,an =,求an的通項公式3an j 4.22a.練習：已知數(shù)列an中，a1=且科=一n-,則an =31 an8、an+ = pan (p >0,an >0 ) t Igan由=lg p +rlg an,轉化為ae= pan + 嚴例 16、已知數(shù)列an中,a =100,an+=10 a；,求 an練習：已知數(shù)列an中,3,、a1 =2,an4 =2 an,求 an9、其他例17、已數(shù)列 配中，a1 =-1, anj1 an=an5an,則數(shù)列通項an =例18、在數(shù)列aj中，a1 = 1, n>2時，an、Sn、Sn -成等比數(shù)列.2(1)求az - H；(2)求數(shù)列口的通項公式.例19、已知在等比數(shù)列an中，a1 =1,且a2是a1和a3 1的等差中項.(1)求數(shù)列an的通