2015屆九年級數(shù)學(xué)上冊 拓展資源 與矩形相關(guān)的折疊問題 （新版）北師大版

1、與矩形相關(guān)的折疊問題在矩形的性質(zhì)及判定的應(yīng)用過程中，折疊類的題目是比較多見的，同時也是矩形和角平分線、勾股定理等知識的結(jié)合與拓展。折疊是軸對稱的另一種描述，因此，在折疊問題中找到折痕即對稱軸就是解決此類問題一個突破口。下面從幾個不同的層面展示一下。例1 將一長方形紙片按如圖的方式折疊，bc、bd為折痕，則cbd的度數(shù)為( )(a)60° (b)75° (c)90° (d)95°分析：在這個問題中是利用折疊矩形的兩個角給大家提供條件的，那么折痕bc和折痕bd就充當(dāng)了角平分線的角色，即abc=a/bc,ebd=e/bd。oacbed例2 如圖，把一張矩形紙片

2、abcd沿bd對折，使c點落在e處，be與ad相交于點o。（1）由折疊可得bcdbed，除此之外，圖中還存在其他的全等三角形，請你找出來 。（2）圖中有等腰三角形嗎？請你找出來 。（3）若ab=6,bc=8,則o點到bd的距離是 。分析：在這一折疊的過程中，因為是與全等有關(guān)的，所以除了像例1一樣提供了角的等量關(guān)系之外，邊的相等是更重要的。問題（1）好解決，進(jìn)而由全等三角形的對應(yīng)邊相等可以說明（2）的結(jié)論是等腰obd。另外，還可以從另一個角度分析。由折痕bd可以找到obd=cbd，由于在矩形中，adbc，odb=cbd，經(jīng)過等量代換obdodb，然后等角對等邊ob=od。這是在矩形中折疊比較常見

3、的“角平分線和平行線同時并存”的條件，結(jié)論就會出現(xiàn)“等角對等邊”的等腰三角形。問題（3）跟計算線段長度有關(guān)，這也是勾股定理在折疊中要發(fā)揮作用的一類題目。因為adbc，bcbe，因此在abo中可以設(shè)aox，則bood8x，因為ab6，即可以列勾股定理的等式：ab2ao2bo2進(jìn)行計算了。下面的這個題目就是用這個思路解決的。大家可以嘗試一下。例3 已知：如圖，矩形aobc，以o為坐標(biāo)原點，ob，oa分別在x軸、y軸上，點a坐標(biāo)為（0,3），oab60°,以ab為軸對折后，使c點落在d點處，求d點的坐標(biāo).例4 一個矩形紙片如圖折疊，使頂點b和d重合，折痕為ef。（1）找出圖中全等的三角形，

4、并證明。（2）重合部分是什么圖形？證明你的結(jié)論。（3）連接be，并判斷四邊形bedf是什么特殊四邊形，bd與ef有什么關(guān)系？并證明。f132cbaedf132cbaedoabcdef分析：此題的折疊不僅有前面幾個問題中線段和角的對應(yīng)相等，而且在折疊的過程中隱藏著ef垂直平分bd，這對于第三問中四邊形形狀的判斷，有著重要的作用，這仍然是軸對稱的性質(zhì)。利用這些條件易證明eodbof，則有edbf，且edbf，首先四邊形ebfd是平行四邊形，由于bd、ef互相垂直，所以就可說明四邊形ebfd是菱形。例5 在矩形abdc中，把a(bǔ)沿cf折疊，點a恰好落在矩形的對稱中心e處，若aba，acb，請你計算 的值。分析：這個問題中的折疊，體現(xiàn)出來的看似只是一對角的相等，其實還有矩形中心對稱圖形的特征。即點e是對角線的交點。由矩形的性質(zhì)可以說明aede，因為折疊可知acce，因此可得：cae是等邊三角形，即acb60°，進(jìn)而在直角acb中解決兩直角邊的關(guān)系為：。abcdef總之，由于矩形本身所獨有的特征，例如直