高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理6.2.2直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算學(xué)案新人教B版

1、6. 2.1 向量基本定理6 . 2.2直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)共線向量基本定理掌握共線向量基本定理數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算平囿向量基本定理理解平囿向量基本定理數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算向量的應(yīng)用兩定理的熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)建模、邏輯推理直線上向量的坐標(biāo)及其運(yùn)算理解直線上向量的坐標(biāo)的含義及其運(yùn)算數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算3問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P152 P159的內(nèi)容，思考以下問題：1 .共線向量基本定理是怎樣表述的？2 .用向量證明三點(diǎn)共線有哪些方法？3 .平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？4 .如何定義平面向量基底？5 .實(shí)數(shù)與直線上的向量建立了什么關(guān)系？ 新知初探:»1 .共線向量基本定理如果aw

2、0且b/ a,則存在唯一的實(shí)數(shù) 入，使得b=入a.由共線向量基本定理及前面介紹過的結(jié)論可知，如果A, B, C是三個不同的點(diǎn)，則它們共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)入，使得AB=入AC2 .平面向量基本定理如果平面內(nèi)兩個向量 a與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量 c,存在唯一的實(shí)數(shù)對(x, y),使得 c=xa+yb.平面內(nèi)不共線的兩個向量 a與b組成的集合a, b常稱為該平面上向量的一組基底，此 時(shí)如果c=xa+yb,則稱xa + yb為c在基底a, b下的分解式.名師點(diǎn)撥(1) a, b是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量.(2)該平面內(nèi)任意向量 c都可以用a, b線性表示，且這種表示是唯一的.(3)

3、基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底.3 .直線上向量的坐標(biāo)給定一條直線l以及這條直線上一個單位向量 e,由共線向量基本定理可知，對于直線 上的任意一個向量 a, 一定存在唯一的實(shí)數(shù) x,使得a=xe,此時(shí)，x稱為向量a的坐標(biāo).當(dāng)x>0時(shí)，a的方向與e的方向相同；當(dāng)x=0時(shí)，a是零向量;當(dāng)x<0時(shí)，a的方向與e的方向相反.也就是說，在直線上給定了單位向量之后，直線上的向量完全被其坐標(biāo)確定.4.直線上向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系假設(shè)直線上兩個向量 a, b的坐標(biāo)分別為xi, x2,即a=xie, b=x2e,貝U a=b? xi= x2；_a+ b = (xi + x

4、2)e.如果u, v是兩個實(shí)數(shù)，那么 ua+vb的坐標(biāo)為uxi + vx2, ua vb 的坐標(biāo)為 uxi vx2.設(shè)A(xi), B(x2)是數(shù)軸上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 OA=xie, OB= x2e,因此， Ab=ObOa=x?e xie= (x2 xi)e.A氏 | AB =|x2-xi| .、自我檢測O判斷正誤(正確的打“，”，錯誤的打“x”)(1) 一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底.()(2)若ei, e2是同一平面內(nèi)兩個不共線向量，則 入入2/(入i,入2為實(shí)數(shù))可以表示 該平面內(nèi)所有向量.()(3)若 aei +be2=cei+d&( a,

5、 b, c, dCR),則 a=c, b=d.()答案：(i) x (2) V (3) x 如果向量a與向量b不平行，則與a, b都不平行的向量是()A. 3a+2bB. 2a3C. -2aD. 3b答案：A數(shù)軸上三點(diǎn) A B, C的坐標(biāo)分別為一i, 2, 5,則()A.AB勺坐標(biāo)為3B.BC的坐標(biāo)為3C.AC的坐標(biāo)為6D.BC的坐標(biāo)為3答案：BE)如圖所示，向量OAT用向量ei, e2表示為.解析：由題圖可知， OA= 4ei+3e2.例 已知m n是不共線向量，a=3m+ 4n, b = 6m- 8n,判斷a與b是否共線?【解】 若a與b共線，則存在 入C R,使a=入b,即3m+ 4n=

6、入（6 m- 8n）.6 入=3, 因?yàn)閙 n不共線，所以，8入=4.因?yàn)椴淮嬖?入同時(shí)滿足此方程組,所以a與b不共線.規(guī)I律仿法利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù) 入b（bw0）.而已知向量共線求 入，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.若入的值.和ei + ke2共兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得設(shè)非零向量ei和e2不共線，是否存在實(shí)數(shù) k,使kei+e2解：設(shè) kei + e2與ei + ke2共線,所以存在 入 使 kei+e2=入（ei+ke2）,則（k入）ei = （入 k 1）e

7、2.k入=0, 因?yàn)閑i與巳不共線，所以只能有*則卜=±入 k-i=0,用基底表小向量如圖，在平行四邊形 ABCDK設(shè)對角線A&a, Bb= b,試用基底a,b表示Ab bC【解】由題意知，AO=Oc= 2AC= 2a,lb.所以 XB=戢務(wù) Ob=MBo= 2a-2b, BC>BOfOg= 2a+ 1b.規(guī)律方俄將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性 運(yùn)算法則對待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程跟蹤訓(xùn)煉:組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.如圖，已知在梯形 ABC由，AD/ BC E, F分

8、別是AD,BC邊上的中點(diǎn)，且 BC= 3AD BA= a, BC= b.試以a, b為基底表示EF, DF,Cd八一，- i解：因?yàn)锳D/ BC且AD= 3BCL 一 1 一 1所以 AD= -BC= -b.33因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以於 ED=1 AD= 6b.一 i所以BF= b,所以 EF= EmAb+bfDf=d ef=6b+3ba=6ba.CD=CF+ FD= (DF+FC=-(DF+BF)=-11”+2b)= a-2b.3探究點(diǎn)直線的向量參數(shù)方程式的應(yīng)用已知平面內(nèi)兩定點(diǎn) A b,對該平面內(nèi)任一動點(diǎn)C,總有Oc= 3入O甘（1 3入）Ob（入e R點(diǎn)O為直線AB外的一點(diǎn)），則點(diǎn)C的軌

9、跡是什么圖形？簡單說明理由.【解】 法一：3入+ （1 3入）=1且ICR,結(jié)合直線的向量參數(shù)方程式可知點(diǎn) 跡是直線AB法二：將已知向量等式兩邊同時(shí)減去OA得 一 OC- OA= （3 入1） OA + （1 3 入）OB=（1 - 3 入）（OB- OA=（1 - 3入）廂即 AC= （1 -3入）Ah ICR,所以A B, C三點(diǎn)共線，即點(diǎn) C的軌跡是直線 ABC的軌規(guī)律方r法直線的向量參數(shù)方程式的應(yīng)用若A, B, C三點(diǎn)共線，則有 OC= xO&yOB且x + y=1.(2)若OC= xOAFy而 且x+y=1,則有A, B, C三點(diǎn)共線.跟蹤訓(xùn)練. 1>. 一在ABC3,

10、 D為AB上一點(diǎn)，若AD= 2DBCD=-C/A 入 CB則入=3解析：法一：因?yàn)锳D= 2而所以 AD= 2AB= 2(CB-C/A. 33因?yàn)樵?acdK CD=CAAD=CAf2(CB-CA 3=疑 3cB所以入=". 3法二：因?yàn)锳D= 2Db所以A, B, D三點(diǎn)共線，又因?yàn)镃在直線AB外，則1+入=1,所以入=1.33答案:23探究點(diǎn)直線上向量的坐標(biāo)及長度運(yùn)算例4 已知數(shù)軸上 A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1, x2,根據(jù)下列題中的已知條件，求點(diǎn)A的坐標(biāo)x1.(1)X2=5, BA勺坐標(biāo)為一3;(2) x2= - i , | AB =2.【解】（1）因?yàn)锽A勺坐標(biāo)為xi （ 5）

11、= 3,所以xi=8.(2)因?yàn)?| AB = |-1xi| = 2,所以 xi=1 或 xi=3.規(guī)律直線上向量的坐標(biāo)及長度計(jì)算的方法（1）直線上向量的坐標(biāo)的求法：先求出 （或?qū)ふ乙阎┫鄳?yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算向量的坐標(biāo).（2）直線上向量的長度的求法：先求出向量的坐標(biāo)，再計(jì)算該向量的長度.跟蹄訓(xùn)練已知數(shù)軸上三點(diǎn) A, B, C的坐標(biāo)分別是一8, 3, 7,求的 BC CA的坐標(biāo)和長度.解：AB勺坐標(biāo)為(3) (8) =5, | AB = 5;BC勺坐標(biāo)為 7( 3) = i0, | BC= i0;CA勺坐標(biāo)為(8) 7= i5, | CA = i5.側(cè)評案怎金向臉i .已知平行四邊形 ABCD則

12、下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是（）A.ABDCB.而 BCC.BCCBD. A DA解析:選d.由于XB, 麗共線，所以可以作為一組基底.2.設(shè)D為ABC/f在平面內(nèi)一點(diǎn)，若 BC= 3CD則（）>i-T»A.A D)=- -AB+ 3_ T> i4»B.A D= -AB -AC33八 4_ if.C.A D= -AB+ -AC 33D.AD> 3AB iAC解析：選A.因?yàn)锽C= 3CD所以 AC-AB= 3( Ad>Ac) = 3 AD>- 3AC所以 3Ad> 4AC-AB,所以 XD> 3M 1XB$= -3aB

13、j+ 3 ac.3.已知向量a, b是一組基底，實(shí)數(shù) x, y滿足(3x 4y)a+(2x3y)b=6a+3b,則x-y的值為解析：因?yàn)閍, b是一組基底，所以a與b不共線,因?yàn)?3 x 4y) a+ (2 x 3y) b= 6a + 3b,所以，3x-4y=6,2x-3y=3, 所以x-y = 3.x = 6解得y=3答案：34.已知數(shù)軸上四點(diǎn)A B, C, D的坐標(biāo)分別是一4, 2, c, d.若|的=6,求d的值;(2)若AO 3AQ 求證：3CD= 4AC解：(1)因?yàn)?| BD = 6, 所以 |d(2)| =6, 即 d+2=6或 d+2 = 6, 所以d=4或d= 8.(2)證明

14、：因?yàn)锳C勺坐標(biāo)為c+4, AD勺坐標(biāo)為d+4, 所以 c+4=-3(d+4),即 c=3d16.因?yàn)?3CD勺坐標(biāo)為 3(d-c) =3d-3c=3d- 3(-3d-16) =12d+48,4AC勺坐標(biāo)為4c-(-4) =-4c- 16= -4( - 3d 16)16= 12d+48,所以 3CD- 4AC強(qiáng)化培優(yōu)通關(guān)A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)若e1, e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是A.e1 - e2, e2 aC. 2e23e1, 6e4e2D. e+e2, e1 一e2解析：選D.e1 + e2與e1 e2不共線，可以作為平面向量的基底，另外三組向量都共線, 不能作為基底

15、.2.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)MN,且| MN =4.若xm=3,則xn等于()A. 1B. 2C. 7D. 1 或一7解析：選 D.| MN= |xn( 3)| =4,所以 Xn ( 3) = ± 4,即 Xn= 1 或一7.3.如圖，向量ab等于()A. - 4ei - 2e2D. 3ei-e2C. ei - 3e2解析：選 C.不妨令 a=CA b=CB 則 ab=CAvCB=BX由平行四邊形法則可知B冷 ei 3e2.4.已知O是4AB的在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為邊BC的中點(diǎn)，且2OAO打0陣0,則（）A.AO=OdB. Xb= 2ODC.AO= 3ODD.2 AO= OD解析：選A.因?yàn)樵?

16、ABC, D為邊BC的中點(diǎn)，所以 O國OC= 2OD所以2（OAOd = 0,即OAfOD= 0,從而 AO=Od 2 1 5.在ABC4點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且C色鼻C加鼻CB又AP= tAB,則t的值為（）331 A.-32 B.-31 C.2解析：選 a.因?yàn)?AP= tAB,所以 CP-CA= t(CB-CA, CP= (1 -t)CAV tCB.又CP= ICAv 3CB且CA< 麗共線，所以t = 3.6.如圖，在平行四邊形 ABCD,點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為OB的中點(diǎn)，設(shè)AB= a, Ad=b,若用a, b表示向量AN|則AN=,i 2 i所以入1+入2= 6+3=2.AN=

17、AN DN平面內(nèi)兩個不共線的向量,若DE= XiAb+入所入i,AId解析：以Ab= a, XD> b作為以A點(diǎn)為公共起點(diǎn)的一組基底，則=ad I Db=Ad> 3( Ab- AD)= 4AN 4AB= 4a+4b.-31答案：4a + 4b7.若向量a=4ei + 2e2與b= kei + e2共線，其中ei, e2是同一 則k的值為.解析：因?yàn)橄蛄縜與b共線，所以存在實(shí)數(shù) 入，使得b=入a,即 kei + e2=入(4 ei + 2e2)= 4 入 ei + 2 入 e2.因?yàn)閑i, e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，k= 4 入,所以，所以k=2.i = 2 入,答案：28

18、.設(shè) D, E分別是 ABCW邊 AB, BC上的點(diǎn)，AD= 1AB BE= 223入2為實(shí)數(shù))，則入i+入2的值為 .解析：如圖，由題意知，D為AB的中點(diǎn)，9.如圖，平行四邊形 ABCDK AB= a, AD= b, H, M分別是_ ._ 1一AD DC的中點(diǎn)，BF= -BC；3以a, b為基底表示向量 AMKHF1DC的中點(diǎn)，BF=弓BC3>_ _> -> ->HF=AFAH= A班BF- 2AD=a+3b-2b=a-6b.10.如圖，在矩形 OACBP, E和F分別是邊AC和BC上的點(diǎn),滿足 AC= 3AE BC= 3BF,若Oc=入O日WOf其中入科e r,求

19、入，科的值.解：在矩形 OACBL QC=OafQB又OC=入O9WOf=入（9通+科（O國前=入3A3Ob所以3±廣=13=1,解：在平行四邊形 ABCDK AB= a, AD= b, H, M分別是AD所以 AM= AD>DM=AD> 2降加 2AB= b+ga,L3所以入=(1=4.B能力提升11.如果ei, e2是同一平面a內(nèi)的兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是 （）入61+（162（入，pCR）可以表不平面a內(nèi)的所有向量;對于平面”內(nèi)的任一向量a,使a=入日+ 62的實(shí)數(shù)入，科有無窮多對;若向量 入1位與 入2e1 +科2e2共線，則有且只有一個實(shí)數(shù)入，

20、使得 入e+科e= 入（入261+科262）;ei, ei + e2可以作為該平面的一組基底.A.B.C.D.解析：選B.由平面向量基本定理可知是正確的.對于，由平面向量基本定理可知， 如果一個平面的基底確定，那么平面內(nèi)任意一個向量在此基底下的分解式是唯一的，故不 正確.對于，當(dāng) 入iei+e與入2ei +科2e2均為零向量，即 入i=入2=科1=科2=0時(shí)，符合 題意的 入有無數(shù)個，故不正確.對于，假設(shè)ei+e2= x ei,則e2=（入i）ei.又ei, e2不共線，故假設(shè)不成立，即 ei + e2與ei不共線，即ei, ei+&可以作為該平面的一組基底， 正確.12 .已知 O是

21、平面上一定點(diǎn)， A, B, C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn) P滿足隹斷+ 8）,則點(diǎn) P的軌跡一定通過 ABC（B.內(nèi)心D.垂心A.外心C.重心解析：選B.-AB為ABh的單位向量, 麗AC 一 ，、，、一 口AB AC，、一，a一一，、一=為AC±的單位向量，則 t十丁的方向?yàn)? BAC的角平分線AD勺方向.又 入C0,|AC|AB |Ac+°0),AB AC"麗 I Aq>的方向與 +的方向相同.I 而 | AC所以點(diǎn)P在ADE移動,所以點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABCW內(nèi)心.13 .如圖，在平面內(nèi)有三個向量 OA OB OC 10A = |OB=i,直線OA與，OB所成鈍角為i20° ,直線OCW OA勺夾角為30。，|Oc = 543,設(shè)Oc= mOA O 4+ nOBm, nC R）,貝U m+ n =.解析：作以O(shè)C為一條對角線的平行四邊形 OPCQ如圖,則/CO裊 /OCP= 90 ,在 Rt QOCC3, 2OQ= QC |Oc=5>/3.則|Oq=5, |前=10,所以 |Op = i0,又|OA = |Ob = i,所以 Oa 100A Oq= 5加 所 以O(shè)g= OF