高中數(shù)學第三章數(shù)系的擴充和復數(shù)的引入3.1數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念3.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念講義

1、3.1.1 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念R知識導學1 .虛數(shù)單位i在實數(shù)集R中添加新數(shù)i ,規(guī)定：(1)i 2=01- 1,其中i叫做虛數(shù)單位；(2)i可與實數(shù) 進行02四則運算,且原有的加、乘運算律仍然成立.2 .復數(shù)的相關(guān)概念集合C=a+bi| aCR, bCR中的數(shù)，即形如 a+bi(a, bC R)的數(shù)叫做匚03復數(shù),其中i 叫做04虛數(shù)單位.全體復數(shù)的集合 C叫做05復數(shù)集.復數(shù)通用字母z表示，即2=2+壞a, bCF),這一表示形式叫做口06復數(shù)的代數(shù)形式. 其 中的a與b分別叫做復數(shù)z的07實部與虛部.3 .復數(shù)的分類對于復數(shù)z=a + bi ,當且僅當曰8b=0時，它是實數(shù)；當且僅當

2、口 09a=b=0時，它是實數(shù) 0；當且僅當出0bwo時,叫做虛數(shù)；當口112=0,且bwo時，叫做純虛數(shù).4,復數(shù)相等的充要條件在復數(shù)集 C=a+bi| a, bCR中任取兩個數(shù) a+bi, c+di(a, b, c, dCR»,規(guī)定：a + bi 與 c+di 的充要條件是口122= c且 b= d(a, b, c, dCR».黑知識拓展復數(shù)相等的充要條件(1)兩個復數(shù)相等的充要條件中，注意前提條件是a, b, c, dCR,若忽略這一條件，則不能成立.因此解決復數(shù)相等問題時，一定要把復數(shù)的實部與虛部分離出來，再利用相等條 件.(2)復數(shù)相等的條件是把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)

3、問題是重要依據(jù)，是復數(shù)問題實數(shù)化這一重要數(shù)學思想方法的體現(xiàn).利用這一結(jié)論，可以把“復數(shù)相等”這一條件轉(zhuǎn)化為兩個實數(shù)等式， 為應(yīng)用方程思想提供了條件，這一思想在解決復數(shù)問題中非常重要.示自診小測1 .判一判(正確的打“，”，錯誤的打“X”)(1)若a, b為實數(shù)，則z = a+bi為虛數(shù).()(2)若z=ni( m nCC),則當且僅當 m= 0, no時，z為純虛數(shù).()(3) bi是純虛數(shù).()(4)如果兩個復數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個復數(shù)相等.()答案 (1) X (2) X (3) X (4) V2 .做一做(1)若a+bi=0,則實數(shù)a=,實數(shù)b=.(2)(1 +3)i

4、的實部與虛部分別是 .(3)若復數(shù)(a+1) + (a21)i( aCR)是實數(shù)，則 a=.答案 (1)00 (2)0,1 +串 (3) ±1課堂互動探究探究1復數(shù)的有關(guān)概念例1給出下列四個命題：兩個復數(shù)不能比較大??；若x, yC C,則x+yi = 1 + i的充要條件是 x=y=1；若實數(shù)a與ai對應(yīng)，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)；純虛數(shù)集相對復數(shù)集的補集是虛數(shù)集.其中真命題的個數(shù)是.解析中當這兩個復數(shù)都是實數(shù)時，可以比較大??；由于x,y都是復數(shù)，故x+yi不一定是復數(shù)的代數(shù)形式，不符合復數(shù)相等的充要條件;若a = 0,則ai不是純虛數(shù)；由純虛數(shù)集、虛數(shù)集、復數(shù)集之間的關(guān)系知，所求

5、補集應(yīng)是非純虛數(shù)集與實數(shù)集的并答案0拓展提升數(shù)集從實數(shù)集擴充到復數(shù)集后，某些結(jié)論不再成立.如：兩數(shù)大小的比較，某數(shù)的平方是非負數(shù)等.但i與實數(shù)的運算及運算律仍成立.【跟蹤訓練1】 下列命題中：若aCR,則(a+1)i是純虛數(shù)；若 a, be R且 a>b,則 a+ i> b+ i ；若(x21) + (x2+3x+2)i是純虛數(shù)，則實數(shù) x= ±1；兩個虛數(shù)不能比較大小.其中，正確命題的序號是 ()AS B.C.D.答案 D解析 對于復數(shù)a+ bi( a, b R) ,當a=0且bO時為純虛數(shù).在中，若a=-1,則(a+ 1)i不是純虛數(shù)，故錯誤；在中，兩個虛數(shù)不能比較大

6、小，故錯誤；在中，若x=1, x2+3x+2wo不成立，故錯誤；正確.探究2復數(shù)的分類m2+ m- 62例2 當實數(shù)m為何值時，復數(shù) z =m-+ (m-2rmi為：(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？m2- 2m= 0,解(1)當即門H2時，復數(shù)z是實數(shù)；m 0,(2)當nm 2m0,即且nr52時，復數(shù)z是虛數(shù)；一2 ,m+ m- 6=0,(3)當$ m即m= - 3時，復數(shù)z是純虛數(shù).2 c -JD 21Tp5 0,條件探究 是否存在實數(shù) m,使z= ( m2- 2m) +-i是純虛數(shù)？解由z = ( m 2m + m+mm- 6i是純虛數(shù)，m2 2m= 0,得m2+ m- 6解得m

7、?.m才，即不存在實數(shù) m使z=(m 2m+m-m-6i是純虛數(shù).m拓展提升利用復數(shù)的分類求參數(shù)的值或取值范圍的一般步驟(1)判定復數(shù)是否為a+bi( a, be R)的形式，實部與虛部分別為哪些；(2)依據(jù)復數(shù)的有關(guān)概念將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題； 解相應(yīng)的方程(組)或不等式(組)；(4)求出參數(shù)的值或取值范圍.mm【跟蹤訓練2】 已知m R,復數(shù)z=一m1 +(m2+ 2tt 3)i ,當m為何值時,(1) z為實數(shù)？(2) z為虛數(shù)?(3) z為純虛數(shù)?解 (1)要使z為實數(shù)，需滿足 m2+2m-3=0,且有意義，即mn 1*0,解得m =3.(2)要使z為虛數(shù)，需滿足 m2+2m-3*0

8、,且m ；1有意義，即 m-1*0,解得mrM 且 mp5 - 3.m 2(3)要使z為純虛數(shù)，需滿足 =0,且m2+2m-30,解得 m= 0或m= - 2.m-1探究3復數(shù)相等例 3 已知M= 1 , (m2-2m) +(m2+m- 2)i,P= 1,1,4i，若MUP= P,求實數(shù) m 的值.解/MU P= P,M? P,即(m22n)i +(m+ m- 2)i = 1 或(m22m + (m2+im- 2)i = 4i.由(m22n)i +(m+ rm-2)i =1,m2 2m= 1,得2 2解得mT= 1.m+ m- 2= 0,由(m2- 2m + ( m+ m- 2)i = 4i

9、,m2- 2m= 0,得2 2解得mT= 2.m+ m- 2= 4,，實數(shù)m的值為1或2.拓展提升復數(shù)相等的充要條件是實部相等且虛部相等.復數(shù)問題實數(shù)化多用來求參數(shù)，其步驟是:分別確定兩個復數(shù)的實部和虛部，利用實部與實部、虛部與虛部分別相等，列方程組.【跟蹤訓練 3】 已知 A= 1,2 , a2-3a-1 + (a2-5a-6)i , B= -1,3 , An B= 3, 求實數(shù)a的值.解 由題意知，a 3a 1 + ( a 5a6)i = 3( a R),a 3a 1 = 3,“ 一a 5a 6=0.解得a= 4 或 a= - 1,a= 6 或 a= 1 a= 1 1.故實數(shù)a的值為一1.

10、r1 (弟律加1 .在復數(shù)a+bi中，a, b必須是實數(shù)，否則不是復數(shù)的代數(shù)形式.2 .復數(shù)的虛部是實數(shù)而不是虛數(shù)，即為“b”，不是“ bi ”，更不是“ i ” .3 .當且僅當bwo且a= 0時，復數(shù)a+bi才是純虛數(shù)，解題時不能只注意a= 0而忽視了 bwo的限制.4 .復數(shù)相等的充要條件是把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的重要依據(jù)，是復數(shù)問題實數(shù)化這 一重要數(shù)學思想的體現(xiàn).隨堂達標自測1. “a=0”是“復數(shù)a+bi( a, bCR)是純虛數(shù)”的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 A解析因為復數(shù)a+bi( a, be R)是純虛數(shù)？ a=0且bw0

11、,所以“ a=0”是“復數(shù) a+bi( a, be R)是純虛數(shù)”的必要不充分條件.2.以3i"的虛部為實部，以 3i2 + 2i的實部為虛部的復數(shù)是()A. 3 3iB. 3+iC.-小+ /d+ +福答案 A解析 3i «2的虛部為3,3i 2+72i的實部為一3,所以所求復數(shù)為3-3i.3 .已知復數(shù)z=a2-(2-b)i的實部和虛部分別是 2和3,則實數(shù)a,b的值分別是 .答案士，2, 5解析由題意得：a2=2, (2 b)=3,所以a=±/, b=5.4 .設(shè)復數(shù)z=+(m2+ 2m- 15)i為實數(shù)，則實數(shù) m的值是.5答案 3m+2m- 15= 0,解析依題意有解得m