近世代數(shù)電子教案

1、近世代數(shù)電子教案第一章 基本概念在普通代數(shù)里，我們計(jì)算的對(duì)象是數(shù)，計(jì)算的方法是加、減、乘、除。數(shù)學(xué)漸漸進(jìn)步，我們發(fā)現(xiàn)， 可以對(duì)于若干不是數(shù)的事物， 用類似普通計(jì)算的方法加以計(jì)算。 這種例子我們?cè)诟叩却鷶?shù)里已經(jīng)看到很多，例如對(duì)于向量、矩陣、線性變換等就都可以進(jìn)行運(yùn)算。近世代數(shù)（抽象代數(shù)） 的主要內(nèi)容就是研究所謂代數(shù)系統(tǒng)， 即帶有運(yùn)算的集合。 近世代數(shù)在數(shù)學(xué)的其它分支和自然科學(xué)的許多部門里都有重要的應(yīng)用。 近二十多年來(lái)， 它的一些成果更被直接應(yīng)用于某些新興的技術(shù)。我們?cè)诟叩却鷶?shù)里已經(jīng)初步接融到的群、 環(huán)、 域是三個(gè)最基本的代數(shù)系統(tǒng)。 在本書里我們要對(duì)這三個(gè)代數(shù)系統(tǒng)做略進(jìn)一步的介紹。在這一章里， 我

2、們先把常要用到的基本概念介紹一下。 這些基本概念中的某一些， 例如集合和影射，在高等代數(shù)里已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)。但是為了完整起見，我們不得不有所重復(fù)。1.1 集合課時(shí)安排 約 1 課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 （ 近世代數(shù)基礎(chǔ)張禾瑞 著， 近世代數(shù)徐德余、唐再良等編著）集合的概念，元素，空集合，集合與集合之間的包含、交、并、積，子集的 概念例題：那么 An B=2那么An b=空集合那么 AU B=1.2.3.4.6那么 AU B=1.2.3.4.5.6集合與集合的關(guān)系（包含）例 1A=1.2.3 B=2.5.6A=1.2.3 B=4.5.6例2A=1.2.3 B=2.4.6A=1.2.3 B=4.5.6習(xí)題選講P4

3、1 教學(xué)難點(diǎn)元素與集合的關(guān)系（屬于）教學(xué)要求掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、積概念布置作業(yè)P42教學(xué)輔導(dǎo)精選習(xí)題： （側(cè)重概念性、技巧性的基本問(wèn)題）1.B A, 但 B 不是 A 的真子集，這個(gè)情況什么時(shí)候才能出現(xiàn)？§ 1.2 映射課時(shí)安排 約 1 課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 （ 近世代數(shù)基礎(chǔ)張禾瑞 著， 近世代數(shù)徐德余、唐再良等編著）映射，象，原象，映射相同的定義及映射的表示方法例 1 ： A1=A2=AN=D= 所有實(shí)數(shù)作成的集合（）：a ai,a2,an） a i2+a22+an2=（）（a1a,a n）是一個(gè)AiX A2X-X A到D的映射例2 : A=東西,A2=南, D=高低

4、（H：（西南）-高二（h （西南）不是一個(gè) A1XA2到D的映射（）2 （西南）-高，（東南）-低，則。2是一個(gè)AXA2到D的映射例3 : 4=口新有實(shí)數(shù)所成的集合（）:a-a若 a w 1fb 這里b2=1不是一個(gè)Ai到D的映射例4 : 4=口新有實(shí)數(shù)所成的集合a- a-1不是一個(gè) Ai到D的映射例5 : A=D折有正整數(shù)的集合（）i: a-1=（）i （a）（）2： a -； =（）2 （a） 則（）1 與（）2是相同的 教學(xué)重點(diǎn)映射的定義及象與原象的定義，映射相同的定義。 教學(xué)難點(diǎn)映射定義，應(yīng)用該定義應(yīng)注意幾點(diǎn)，如課本P6注意五條 教學(xué)要求掌握映射的定義及應(yīng)注意的幾點(diǎn)問(wèn)題，象，原象的定義

5、理解映射的相同的定義 布置作業(yè) P 6 1 P 7 2 教學(xué)輔導(dǎo)精選習(xí)題：1 A=1,2,3,100,找一個(gè) AX A到 A 的映射2在上題到的映射之下，是不是A的每一元都是 AXA的一個(gè)元課時(shí)安排約1課時(shí)教學(xué)內(nèi)容 影射的定義、象、逆象定義假如通過(guò)一個(gè)法則§ 1.3代數(shù)運(yùn)算課時(shí)安排約1課時(shí)教學(xué)內(nèi)容代數(shù)運(yùn)算的定義，二元運(yùn)算的定義。及代數(shù)運(yùn)算的表示方法。例題：例1: A=所有整數(shù), B=所有不等于零的整數(shù)。D=所有有理數(shù)0： （a.b）-=a b是一個(gè)AXB到D的代數(shù)運(yùn)算，即普通的除法b例2:令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，那么 F的數(shù)與V的向量空間的乘法是一個(gè)FXV到V的代數(shù)運(yùn)算例 3:

6、A=1,B=2,D= 奇，偶0: （1.2 ）-奇=1 2 是一個(gè)AXB至ij D的代數(shù)運(yùn)算例 4 A=1.2,B=1.2,D= 奇，偶0: （1.1 ）奇（2.2 ）奇 （1.2 ）奇 （2.1 ）-偶是一個(gè)AXB到D的代數(shù)運(yùn)算教學(xué)重點(diǎn)代數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，對(duì)代數(shù)運(yùn)算的理解，既以上四道例題 教學(xué)難點(diǎn)代數(shù)運(yùn)算符號(hào)與映射合成運(yùn)算符號(hào)的區(qū)別 教學(xué)要求掌握代數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用 布置作業(yè)P9 2 教學(xué)輔導(dǎo)精選習(xí)題：A=a,b,c.規(guī)定A的兩個(gè)不同的代數(shù)運(yùn)算（用運(yùn)算符表示）§ 1.4 結(jié)合律 課時(shí)安排約1課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容（近世代數(shù)基礎(chǔ)張禾瑞 著，近世代數(shù)徐德余、唐再良等編著代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合律的定義及其推廣例題

7、：A=所有整數(shù)，代數(shù)運(yùn)算是普通減法這（a-b ） -c w a-（b-c） 除非 c=0 教學(xué)重點(diǎn)代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合律 一般地（a b） cwa （b c） 教學(xué)難點(diǎn)結(jié)合率的推廣及滿足結(jié)合律的代數(shù)運(yùn)算的定義 教學(xué)要求掌握代數(shù)運(yùn)算的一般結(jié)合運(yùn)算，理解幾個(gè)元素作代數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn) 布置作業(yè)P12 1.2.3 教學(xué)輔導(dǎo)精選習(xí)題：A=a,b,c 由表a b ca a b c- b b d a c c a b所給的代數(shù)運(yùn)算適不適合結(jié)合律 ？§ 1.5 交換律課時(shí)安排約1課時(shí)教學(xué)內(nèi)容（近世代數(shù)基礎(chǔ)張禾瑞 著，近世代數(shù)徐德余、唐再良等編著）代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合律定理：假如一個(gè)集合 A的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合結(jié)合律與交

8、換律，那么在ai a23里,元的次序可以掉換。 教學(xué)重點(diǎn)對(duì)定理的理解與證明 教學(xué)要求理解代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合律 布置作業(yè) Pl4 1.2. 教學(xué)輔導(dǎo)精選習(xí)題：A=a,b,c,d 由表 a b c d aabc-d 1bbdacccabdddcab所給的代數(shù)運(yùn)算適合不適合交換律§ 1.6 分配律 課時(shí)安排約1課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容(近世代數(shù)基礎(chǔ)張禾瑞 著，近世代數(shù)徐德余、唐再良等編著)代數(shù)運(yùn)算 與的第一分配律和第二分配律的定義，以及的結(jié)合律與這兩種分配律的綜合運(yùn)用例題：假如B與A都是全體實(shí)數(shù)的集合，和 就是普通的乘法和加法，則b (a i a2)=(bai)(ba2)就變?yōu)閎(ai+a2)=(ba

9、i)+(ba 2) 教學(xué)難點(diǎn)兩種分配律與的結(jié)合律的綜合應(yīng)用 教學(xué)要求掌握并能應(yīng)用分配律與結(jié)合律的綜合應(yīng)用 布置作業(yè)P 16習(xí)題 教學(xué)輔導(dǎo)一、掌握兩個(gè)等式b (a 1 an)=(b a"(ban)(a 1an) b=(a1 b)(anb)二、精選習(xí)題假定 . 是A的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，并且適合結(jié)合律，.適合兩個(gè)分配律證明：(a1 b。(a 1 b2)(a 2 b。(a 2 b2)=(a1 b1)(a 2 b1)(a 1 b2)(a 2b2)§ 1.7映射、變換課時(shí)安排約1課時(shí)教學(xué)內(nèi)容(近世代數(shù)基礎(chǔ)張禾瑞 著，近世代數(shù)徐德余、唐再良等編著 )滿射，單射，一一映射的定義。逆映射的定義集

10、一一變換， 滿射變換，單射變換的意義。例 1: A=1 , 2, 3, 4, 5 A=2 , 4, 6, 84, 36, 42, 52。是一個(gè)A到A的映射例 2: A=1, 2, 3,A=奇，偶則4： 1,3, 5,奇，2, 4, 6偶是一個(gè)A到A的映射例 3: A=1, 2, 3,A=2 , 4, 6,那么。：12 , 24,是一個(gè)A與A間的映射例4: A=所有實(shí)數(shù)。例5: A=所有整數(shù)。a是A例 6: A=1 , 2, 3。：X Qx是A的一個(gè)單射變換et： a -假如a是偶數(shù) 2?假如a是奇2的一個(gè)滿射變換t 1：11,22,33T2：12,23,31都是A的變換教學(xué)難點(diǎn)滿射，單射，一一

11、映射及逆映射的定義教學(xué)要求掌握滿射，單射，一一映射及逆映射的定義。理解滿射, 定義,單射，一一映射及逆映射的布置作業(yè)P191, 2教學(xué)輔導(dǎo)精選習(xí)題：1 A=所有大于0的實(shí)數(shù) , A=所有實(shí)數(shù),找一個(gè)A與其的一一映射2假定。是A與A間的一個(gè)一一映射，a是A 一個(gè)元，/45)=? (Re(a) =?§ 1.8 同態(tài)課時(shí)安排約1課時(shí)教學(xué)內(nèi)容（近世代數(shù)基礎(chǔ)張禾瑞 著，近世代數(shù)徐德余、唐再良等編著 ）同態(tài)映射的定義，同態(tài)滿射的定義以及定理1和定理2例1:。： a 1 （a是A的任一元）是一個(gè)A到A的同態(tài)映射，。1是一個(gè)A到人的映射,顯然對(duì)于的任意兩個(gè)整數(shù)a和b來(lái)說(shuō)，有a 1, b 1,a+b1

12、=1X1例2 ：（）2 ： a 1若a是偶數(shù)a-1若a是奇數(shù)。2是一個(gè)A到A的滿射的同態(tài)映射例3: 4 3 ： a -1（a是A的任一元）固然是一個(gè)A到A的映射，但不是同態(tài)映射Th1 :假設(shè)對(duì)于代數(shù)運(yùn)算和一來(lái)說(shuō)，A與人同態(tài)，那么I）若適合結(jié)合律，一也適合結(jié)合律n ）若 適合交換律，一也適合交換律。Th2:假定， ，都是集合A的代數(shù)運(yùn)算，一，一都是集合A的代數(shù)運(yùn)算，并且存在一個(gè)A到A的滿射力，使得A與入對(duì)于代數(shù)運(yùn)算，一來(lái)說(shuō)同態(tài)。對(duì)于代數(shù)運(yùn)算，一來(lái)說(shuō)也是同態(tài)，那么I）若，適合第一分配律，一，一也適合第一分配律n）若，適合第一交換律，一，一也適合第一交換律 教學(xué)難點(diǎn)同態(tài)映射在比較兩個(gè)集合時(shí)的結(jié)果既定

13、理1和定理2 教學(xué)重點(diǎn)同態(tài)映射，同態(tài)映射的定義 教學(xué)要求掌握同態(tài)映射、同態(tài)滿射的定義及應(yīng)用 布置作業(yè)及3 1, 2 教學(xué)輔導(dǎo)§1.9 同構(gòu)、自同構(gòu) 課時(shí)安排約1課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容（近世代數(shù)基礎(chǔ)張禾瑞 著，近世代數(shù)徐德余、唐再良等編著 ）同構(gòu)與自同構(gòu)的定義，以及同構(gòu)映射在比較集合時(shí)的效果例 1: A=1 , 2, 3. A=4, 5, 6.1 :；334662 :；335663 :；336661 2 34 5 6666各是A與A的代數(shù)運(yùn)算與一的表，那么14, 25, 36,是一個(gè)A與A之間的同構(gòu)映射例2: A=1, 2, 3代數(shù)運(yùn)算由下表給定：那么（）：12, 21, 33是一個(gè)對(duì)于來(lái)說(shuō)的

14、A的自同構(gòu) 教學(xué)重點(diǎn)同構(gòu)映射的定義以及在比較集合時(shí)的效果 教學(xué)要求掌握同構(gòu)映射與自同構(gòu)的定義 布置作業(yè)P261, 2 教學(xué)輔導(dǎo)精選習(xí)題A=所有有理數(shù),A的代數(shù)運(yùn)算是普通加法,A=所有w 0的有理數(shù)。A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法。證明：對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)，A與A間沒(méi)有同構(gòu)映射存在§ 8同態(tài)課時(shí)安排約1課時(shí)教學(xué)內(nèi)容（近世代數(shù)基礎(chǔ)張禾瑞 著，近世代數(shù)徐德余、唐再良等編著 ）同態(tài)映射的定義，同態(tài)滿射的定義以及定理1和定理2例1:a 1 （a是A的任一元）是一個(gè)A到A的同態(tài)映射，。1是一個(gè)A到'A的映射,顯然對(duì)于的任意兩個(gè)整數(shù) a和b來(lái)說(shuō)，有a 1, b 1,a+b1=1X1例2 ：（）

15、2 ： a 1若a是偶數(shù)a-1若a是奇數(shù)。2是一個(gè)A到A的滿射的同態(tài)映射例3 : 4 3 ： a -1（a是A的任一元）固然是一個(gè)A到人的映射，但不是同態(tài)映射Th1:假設(shè)對(duì)于代數(shù)運(yùn)算和一來(lái)說(shuō)，A與A同態(tài)，那么I）若適合結(jié)合律，一也適合結(jié)合律n）若 適合交換律，-也適合交換律。Th2:假定， ，都是集合A的代數(shù)運(yùn)算，一，一都是集合A的代數(shù)運(yùn)算，并且存在一個(gè)a到A的滿射力，使得a與A對(duì)于代數(shù)運(yùn)算，一來(lái)說(shuō)同態(tài)。對(duì)于代數(shù)運(yùn)算，一來(lái)說(shuō)也是同態(tài)，那么I）若，適合第一分配律，一，一也適合第一分配律n）若，適合第一交換律，一，一也適合第一交換律 教學(xué)難點(diǎn)同態(tài)映射在比較兩個(gè)集合時(shí)的結(jié)果既定理1和定理2 教學(xué)重點(diǎn)同態(tài)映射，同態(tài)映射的定義 教學(xué)要求掌握同態(tài)映射、同態(tài)滿射的定義及應(yīng)用 布置作業(yè) P23 1, 2 教學(xué)輔導(dǎo)精選習(xí)題§ 1.10 等價(jià)關(guān)系與集合的分類 課時(shí)安排約1課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容（近世代數(shù)基礎(chǔ)張禾瑞 著，近世代數(shù)徐德余、唐再良等編著）關(guān)系與等價(jià)關(guān)系的定義，分類的定義。代表及全體代表的定義。模n的剩余類的定義例：A=所有實(shí)數(shù)R:（a,b）對(duì)，若是