二次根式的概念與性質(zhì)

1、二次根式的概念與性質(zhì)惑編稿：莊永春 審稿：邵劍英責(zé)編：張楊一、目標(biāo)認(rèn)知固1. 學(xué)習(xí)目標(biāo)：卜E理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由；理解并掌握下列結(jié)論:"，丁打一一，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.2. 重點(diǎn)：社拓譏讓叭暢卜皿羽，戸二丄乂）及其運(yùn)用.3. 難點(diǎn)：亦利用 o w o j,、/, '1 "-解決具體問題.二、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：二次根式的概念甌一般地，我們把形如' （a > 0）?的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號.要點(diǎn)詮釋：二次根式的兩個(gè)要素：根指數(shù)為2;被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).知識點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)愆a a二-a (a < 0)

2、4. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì):5. 商的算術(shù)平方根的性質(zhì): -、 1 . - 1 ； 卜糾。宀0).要點(diǎn)詮釋:二次根式；'" (a > 0)的值是非負(fù)數(shù)，其性質(zhì)"么"可以正用亦可逆用，用時(shí)去掉根號起到化簡的作用；逆用時(shí)可以把一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成完全平方的形式，有利于在實(shí) 數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解知識點(diǎn)三：代數(shù)式e形如5, a, a+b, ab，-, x： »這些式子，用基本的運(yùn)算符號(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式(algebraic expression).三、規(guī)律方法指導(dǎo)1. 如何

3、判斷一個(gè)式子是否是二次根式？(1) 必須含有二次根號，即根指數(shù)為2；(2) 被開方數(shù)可以是數(shù)也可以是代數(shù)式但必須是非負(fù)的，否則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義.2. 如何確定二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義必須滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).要確定被開方數(shù)中所含字母的取值范圍，可根據(jù)題意列出不等式，通過解不等式確定字母的取值范圍.當(dāng)二次根式作為分母時(shí)要注意分母不能為零經(jīng)典例題透析竜類型一：二次根式的概念叭gC1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：丄1:、于、.、F (X > 0)、！/、丿：、二丨.、(x >0, y> 0).思路點(diǎn)撥：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一

4、，有二次根號“】”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.解：二次根式有： d、(x > 0)、.、一、*、J (x > 0, y > 0);丄不是二次根式的有：/、！-'：、二'.CP2、當(dāng)x是多少時(shí)，：；'1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？應(yīng)I思路點(diǎn)撥：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3x-1 > 0, ? F；， 1才能有意義.丄解：由 3x-1 >0，得：x>丄 當(dāng)x" 時(shí)，J*'1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.總結(jié)升華：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).舉一反三【變式1】x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各

5、式實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：(1)由'> 0,解得：x取任意實(shí)數(shù)當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義由x-1 >0，且x-1工0，解得：x> 1 當(dāng)x> 1時(shí)，二次根式-在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義1【變式2】當(dāng)x是多少時(shí)，='；+.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?丄思路點(diǎn)撥：要使-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義， 必須同時(shí)滿足 ；：亠&中的2x+3 > 0和.1中的x+1豐0.2jt + 3>0*解：依題意，得°3由得：x> -匚由得：XH -13丄當(dāng)X > -丄且X豐-1時(shí)，'-+1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.類型二：二次根式的性

6、質(zhì)L±j3、計(jì)算：盅思路點(diǎn)撥：我們可以直接利用(a > 0)的結(jié)論解題.解:3=；Id =(5)八、j(3血-0® = 45-75 = -30舉一反三思路點(diǎn)撥：因?yàn)?1)9=3 2,(-4) 2=42, (3)25=5 2,(-3) 2=32,所以都可運(yùn)用 丁'""去化簡.寸丄： =4;【變式1】計(jì)算:2 2(3)a +2a+1=(a+1) > 0;2 2 2 2(4)4x -12x+9=(2x)-2 2x 3+3=(2x-3)> 0.所以上面的4題都可以運(yùn)用的重要結(jié)論解題.解：因?yàn)閤> 0,所以x+1 > 0 十二

7、工十1;2 2/ a +2a+1=(a+1)=a2+2a+1;2 2又 (a+1) > 0,. a+2a+1 >0,2=4x -12x+9. J ; (2) L J ;(3) J； (4) J解:仇填空:當(dāng)a> 0時(shí),=;當(dāng)av 0時(shí),:, ?并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題. 丄 Z 貯=5;(4)J. 若乙：=a，則a可以是什么數(shù)？若=-a，貝U a可以是什么數(shù)?> a，則a可以是什么數(shù)？思路點(diǎn)撥:J上=a(a > 0),要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“ 因?yàn)?，?dāng)aw 0時(shí)，J=k -'，那么-a >0.()2”中的數(shù)是正數(shù)

8、, 根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)、(2)可知匸I'，而I “大于a，只有什么時(shí)候才能保證呢？因?yàn)長 -，所以a> 0;解：因?yàn)榘耍?，所以aw 0;因?yàn)楫?dāng)a> 0時(shí)"，要使 E * ,即使a > a所以a不存在；當(dāng)a v 0時(shí)，1匚4要使* ，即使-a > a,即a v 0;綜上，a v 0.類型三：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用滬6、當(dāng)x=-4時(shí)，求二次根式丫 -八的值-思路點(diǎn)撥：二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法相同 解：將x=-4代入二次根式，得 IX(1)已知、八 ，+C =+5,求的值 懾(2

9、)若人 1 +八=0,求-廠，的值.乂 _2解: (1)由-:- - '可得止一：，, r -(2)” j 、卜H |J口 + i = 0,/i? 1 = 0; + 1 = 0, A - 1= 0:” M 二一 h b - 1一遜+滬7嚴(yán)+嚴(yán)2C 8、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：頃23x -5 ; （2）x -2x ;解：（1）原式一:'（2）原式-x(x + 72)(x-屈)學(xué)習(xí)成果測評爲(wèi)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)宓一、選擇題1. 下列式子中，不是二次根式的是（）A.山B.C.2. 已知一個(gè)正方形的面積是A. 5B.亠5，那么它的邊長是（）C.D.以上皆不對3. （福建省福州市）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)

10、有意義，則x的取值范圍為（）A. x > 0B. x> 0C. xm 0D . x > 0 且 xm 14.的值是（）i i I 單I 1 I .22J_123*TA. 0B. 3c. 4D .以上都不對5. a>0時(shí)，廿、.廠，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（）A. &二工-專B.毎jay >-睡C &丈匕夕d.-屈4二/-疔6. （遼寧省大連市）如圖，數(shù)軸上點(diǎn) N表示的數(shù)可能是（）A. ，IB. 匕C.D.心二、填空題1. 若保=4,貝y x =.2. 若血有意義，則曲的取值范圍是 3. _ JO 0004 =.4. Jwb=5. (7

11、=.；若jo 一務(wù)r二無-1,則&8.化簡：訥/甘=©羽+畑2®炯=10.（內(nèi)蒙古鄂爾多斯市）如圖，在數(shù)軸上，A、B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有 個(gè).片8-I1kVs三、解答題1. 求下列二次根式中字母 a的取值范圍: 、 I , （2）2.某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為，按設(shè)計(jì)需要,底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少?能力提升危、選擇題1.使式子有意義的未知數(shù)A. 0D.無數(shù)2. （山西省臨汾市）若，則；與3的大小關(guān)系是（）A.- Ib. 一3c.黑 匸d “ -"匚3. 下列計(jì)算正確的是（）A.BC .-'-4. （福建省廈門市

12、）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（）3 _ 2<75T<5 - 4B2旦2<3 _ 2-2 若血喬是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù) m的最小值是 3.已知實(shí)數(shù)-在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則三、解答題1. 當(dāng)x是多少時(shí)，+X2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?2. 若J ，+：有意義，求卞上的值.3. （北京市海淀區(qū)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足卜-習(xí)+仁0，求代數(shù)式5+?。┑闹?4. 已知"一 1 "'，求x+y的值.綜合探究虧1. （福建省南安市）觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0， ' ， ， 3， 2' ， ',3、,那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是2. (江蘇省蘇州市)等

13、式 I丿'' 1:中的括號應(yīng)填入3 .先化簡再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+的值，甲乙兩人的解答如下:甲的解答為：原式=a+J-=a+(1-a)=1 ;乙的解答為：原式 =a+T ' =a+(a-1)=2a-1=17 .兩種解答中， 的解答是錯誤的，錯誤的原因是 .4. 若V匯時(shí)，試化簡1 J- ' L 11 5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式"-；(2) J .答案與解析丟 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)宓3a>- 2. -4jt-3.M6h<0,-7.138.*-9. 二;(2)6 ; (3)-61.解：(1)由 a+1> 0 ,得 a > -1字母a的取值范

14、圍是大于或等于-1的實(shí)數(shù)。丄(2)1 人 > 0,得 1-2a >0,即卩 av 二子母a的取值范圍是小于的實(shí)數(shù)。(3)因?yàn)闊o論a取何值，都有旅1 - ：，所以a取值范圍是全體實(shí)數(shù)。2.解：設(shè)底面邊長為 x,則=1，解答：x='-j . 能力提升宓、二、1.-】1.解：依題意得:2+3>0z *02+ x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.2.解：-'，-'，且廠 +-有意義：.x = a 3 二 a x=33. 解：丫|工-訓(xùn)二0,且片-5|豐亠仁o上-5|二 G +4 = 0:r-5 = 0? 護(hù)豐4三0:.jt = 5,y-.（“卩） =14. 解:丫 &+* > Os J4 - y A0 H 7x+3