分?jǐn)?shù)的巧算教師版(可編輯修改word版)

1、分?jǐn)?shù)的速算與巧算（一）分?jǐn)?shù)巧算（求和）分?jǐn)?shù)求和的常用方法：1'公式法，直接運(yùn)用一些公式來計(jì)算，如等差數(shù)列求和公式等。2、圖解法，將算式或算式中的某些部分的意思，用圖表示出來，從而找出簡(jiǎn)便方法。3、裂項(xiàng)法，在計(jì)算分?jǐn)?shù)加、減法時(shí)，先將其中的一些分?jǐn)?shù)做適當(dāng)?shù)牟鸱?，使得其中一部分分?jǐn)?shù)可以互相抵消 算簡(jiǎn)便。4、分組法，運(yùn)用運(yùn)算定律，將原式重新分組組合，把能湊整或約分化簡(jiǎn)的部分結(jié)合在一起簡(jiǎn)算。5、代入法，將算式中的某些部分用字母代替并化簡(jiǎn)，然后再計(jì)算出結(jié)果。典型例題-、公式法：計(jì)算：2_+_L_+_L+_L+型+竺2008 2008 2008 2008 2008 2008分析：這道題中相鄰兩個(gè)加數(shù)

2、之間相差±，成等差數(shù)列，我們可以運(yùn)用等差數(shù)列求和公式：（首2008項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)十2來計(jì)算。1 _24 3_4_4 2006 20072008 2008 十 2008 2008 2008 2008二（1+2007 ） X20074-22008 2008=100312二、圖解法：計(jì)算：1 +±+±+±+±+±248163264分析：解法一，先畫出線段圖：從圖中可以看出：！ +_L+_L+_L+_L+_L二】一JL二空24816326464 64解法二:觀察算式.，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)加數(shù)總是前一個(gè)加數(shù)的一半。因此，只要添上一個(gè)加數(shù)L,就能6

3、4湊成"L '依次向前類推，可以求出算式之和。 321+1+1 +±+±+±2481632641+»3+646464第3貞共42頁(yè)，44 8+ 16- 32-32>164二X2-二色264 64解法三：山于題中后一個(gè)加數(shù)總是前一個(gè)加數(shù)的一半，根據(jù)這一特點(diǎn)，我們可以把原式擴(kuò)大2倍，然后兩式相減，消去一 部分。設(shè) x=l+l+248163264那么，2x= (/ + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)X2248163264=1+1 +±+1 +±+±2481632用一得±+±+

4、77;1632642x-x=l+_+1 +1+ -L+-L T，+3+24816322463 A64所以，J+21+ 1+148 16+±+ .3215 - 636464三、裂項(xiàng)法+ 1 11'計(jì)算：1+.+ +2 612203090110-分析：由于每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子均為1,先分解分母去找規(guī)律：2=1X2, 6=2X3, 12=3X4, 20=4X5,第2貞共42頁(yè)30=5X6,110=10X11,這些分母均為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積。再變數(shù)型因?yàn)?二1二1_ 1,1二1二1，2 1x2262x3 21 二 1-1312 3x4 亍 4JL。這樣將連加運(yùn)算變成加減混合運(yùn)算，中間分?jǐn)?shù)

5、互相抵消，只留下頭和尾兩個(gè)分?jǐn)?shù), 11 方便。11010x11 10給計(jì)算帶來+ +_L+_L+_L+2 6122030901101 , 1 1 , 1 1 1 1 . 1 11 410 10 11=1-21110TT2、計(jì)算：卜1 +1115x99x13.二29x3333x3741分析：因?yàn)橐? 1_14 _1 4_14_1_11x5 55x9599x13 91329x33 293333x37 3337所以，我們可以將題中的每一個(gè)加數(shù)都擴(kuò)大4倍后，再分裂成兩個(gè)數(shù)的差進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。一+，+ +_L+-L1x55x99x1329x3333x37z4 4444 一一一 * 一.一一一一0 一一一.

6、 -1 )4-41x5 5x9 9x1329x33 33x37二(1-+- +559913+ )4-429333337=(1-_L)4-4=937374 ，4 16399143195255443、計(jì)算;2/ 3 1535分析：因?yàn)?。?>< ：1=4X1 4y （1. !）北333二二 4X ±- 4X JL二 4x(J_ J_)x JL15153x53541_7x_tx_l=4X(1-1)X1, 35355x757=4X JL二 4X I -=4X (±±)X 1.25525515x1715172所以，先用裂項(xiàng)法求出分?jǐn)?shù)吊的和，使計(jì)算簡(jiǎn)便。444.4

7、.3。35 63 99143 T954255十，1111111=21 4x ( 1+_ )X_3 3 5 5 715 17二 21一2X(1 _L)17=192174,計(jì)算：2+1 + 1!1926122029± 9701 ± 98993097029900分柝仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，每個(gè)加數(shù)的分子均比分母少L這樣可變形為L(zhǎng)-L=】-J_二 12x3 12204A5后再裂項(xiàng)相消。11 + 19 * 29 * 9701 :1220309702r(l-l ) + (14 ) + (1-±)+(1.±)+ +(1-2612=1X99(1 +1 +JL+_L+ ±

8、;) 2612202 2 1x2123x420 9H勺 9 二一1一9900 9900 99x10098999900±)209900990066然=99 (1+ /+)bS 23344599x100=99-(1- 1 )100=99】1005、計(jì)算：i+l+1+1+11+2 1+ 2 + 31+2 + 3 + 41+2 + 3 + + 100分析：可以看出，第一項(xiàng)的分母為b第二項(xiàng)的分母為兩個(gè)數(shù)相加，依此類推，最后一個(gè)分母是100個(gè)數(shù)相加且都是等差數(shù) 列。這樣，利用等差數(shù)列求和公式，或利用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，變分母為兩個(gè)數(shù)相乘。再裂項(xiàng)求和。蒯去：】7+2F + 2 + 3F+2 + 3 +

9、41 +2 + 3 + 100第4負(fù)共42頁(yè)1x2 a 1 + 1+1i1x2(1 + 2)x2，(1 + 3)x3，,、， 卜 (1 + 100)x10022222_2.2 2 2 +41_1x22 x 3 3 x4 4x5100x101=1 101解法二：原式二21x21x21x21x2一 1x2 2x(1 +2) 2x(1 +2 + 3) 2x(1 + 2 + 3+4) 2 x (1 +2 +99+100)2222+ + + H 1x2 2 x 3 3x4 100x101 一 1x22 x 3 3x4100x101=2X T=聿101* 98x99x1006 計(jì)算： k2x3+ 2x3x

10、4 + 3x4x5 +分析：可以把題中的每?jī)蓚€(gè)加數(shù)分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差:-LL-L1 = -x _L-_L)1x2x3(2 1x22x32x3x4(2 2x3 3x4扁幣存暑礦莎揄此時(shí)可消中間'留兩頭進(jìn)行巧算。原式二，x（，一_L_）21x22x3+ 1X(±±)+ IX2x3 3x4298x9999 xlOO二卜 ±-±+±-±1x22x32 x 3 3x498x9999x100二x(l_21x21 )99 xlOO第#貞共42頁(yè)49491980010四、分組法：計(jì)算，一一一 + 一 + 一 2004 2004 2004200

11、4 20042004 20042004200419992000 ± 2001.20022004 | 一 2004200420042004分析：算式中共有2002個(gè)分?jǐn)?shù)，從第二個(gè)分?jǐn)?shù)，開始依次往后數(shù)，每四個(gè)分?jǐn)?shù)為一組，2004到型2004為止，共有500組，每組計(jì)算結(jié)果都是0.皆 T、1+(234 J5 、JL,678( 9.10原式二-+ )+ ()一20042004200420042004200420042004200420041998199920002001、2002200420042004200420041 20022004200420032004五、代人法:計(jì)算(i+) x(

12、+!_+) (i+L+L+1+L)x (2 3423 452 34 52 3分析：可以把算式中相同的一部分式子，設(shè)字母代替，可化繁為簡(jiǎn)，化難為易。設(shè)+=A, + + +、B.貝I 2342345原式二(1+A) XB (1+B) XA=B+AB-A-AB=B-A2 3452 34熱點(diǎn)習(xí)題計(jì)算:1、，+7_ +沁4949494949 49第7貞共42頁(yè)1283、' + 11 + 1+11+、2 6 12 2030 4271988x1989* 1989x1990 1990x1991 -*2007 x 2008" 2008 x 20091_1=319882009570556第#貞共

13、42頁(yè)I14、_L+_L+_L+ .+_£13x1515x1717x1935x3737x39396、2+3j + 5j_ + 7j + II13 34161220304214第9貞共42頁(yè)刁 1511 192941 55 r 杳 11，、 _ / 一 r 一 4一._TA 12 6 12203042 568256324 4001012356399 oi416 3664,100 f 144,196*-r+ + + + 315143 195 255 323 3999、1工 7 1 -9 4- 11 -41315 17192161220301 56 72+亦一 U0 C沖=二_ 2+ 3

14、十 3+4_4 + 5_5+ 6_6 +7斗 7+ 8_8 + 9_9+10_ 10+11 _L 2八33A44715A66?7 77? 8A? 9x1010x1110 11=1-(+) + (卜)-(+ ) +第 9 貞共初責(zé)2x33x43x4 4x 5 4x510x11- 10x11=1-d 1 +）+（八）-（*）+-（*）324354111011 9.=1 -=J2 11221.2- 卜 3 卜 4_5678+9+1°+.+1995 +2002 2002200220022002200220022002200220022002199620021 %從第三個(gè)分?jǐn)?shù)，開始依次往后數(shù)，

15、每8個(gè)分?jǐn)?shù)為一組，到最后一個(gè)分?jǐn)?shù)今巴為止，共20021997 _ 1998,9992002 2002 2002有 250 組，2002每組計(jì)算結(jié)果都是0 所以,2000 2001 * 20022002 2002 2002原式二癮+盒二焉】11、（1+】1+ 1 + hx（ 1111J + x（1 1 1+ + +2 3 452345623 45 623 453、 / 2 3+_）+ c+_+_445551+ Z+L+.20 20 2018+ A）2020第13貞共42頁(yè)1【設(shè)I卜、 23 4卜二A,5+ 231 I1_ +二 B,原式二 AX (B-)45-(A+JL) XB 二口66第#貞共

16、42頁(yè)【原式=1+1+11+2+21+-+%= (1+91 )X 194-2=9522222213、2001年是中國(guó)共產(chǎn)黨建黨80周年，是個(gè)有特殊意義的分?jǐn)?shù)。如果下式大于，那么2001 2001最小等于多少？1x22 x 3 3x4HX(/? + 1)1-1 >3,n>241n+2001814、1-1x(1 + 2) (1 + 2)x (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3)x(1 +2 + 3+4)10_(1+2 + 3 +9)x(1 +2 + 3 +10)【先對(duì)分母用等差數(shù)列求和，再整體裂項(xiàng)求和。原式二1一 =1x2x32x3x43x4x59x10x11-14Xlx (&

17、#177;±) +lx (±±) + + X ()21x22x32 2x 3 3x429x1010x111111二 1 一4X_X ( )二一】21x210x1155+ 111 12 Ix2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + . + (/?-2)x(n-l )2< zi = (/? - 2)(? - 1 )n(n + 1) - 1 42 - 1 6M1002-l【利用公式1-1/1-' '變形各項(xiàng)。原式V50jJ】2Jd + l J2*21 100+ J 101(二)分?jǐn)?shù)巧算(復(fù)雜的裂項(xiàng)型運(yùn)算)復(fù)雜整數(shù)裂項(xiàng)特點(diǎn)：從公差一定的數(shù)列中依次取

18、出若干個(gè)數(shù)相乘，再把所有的乘積相加。 其巧解方法是：先把算式中最后一項(xiàng)向后延續(xù)一個(gè)數(shù)，再把算式中最前面一項(xiàng)向前伸展一個(gè) 數(shù)，用它們的差除以公差與因數(shù)個(gè)數(shù)加1的乘積。整數(shù)裂項(xiàng)口訣：等差數(shù)列數(shù)，依次取幾個(gè)。所有枳之和，裂項(xiàng)來求作。后延減前伸，差數(shù) 除以N。N取什么值，兩數(shù)相乘積。公差要乘以，因個(gè)加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展時(shí)，當(dāng)伸展數(shù)小于0時(shí)，可以取負(fù)數(shù)，當(dāng)然是積為負(fù) 數(shù)，減負(fù)要加正。對(duì)于小學(xué)生，這時(shí)候通常是把第一項(xiàng)甩出來，按照口訣先算出后面的結(jié)果再 加上第一項(xiàng)的結(jié)果。此外，有些算式可以先通過變形，使之符合要求，再利用裂項(xiàng)求解。整數(shù)裂項(xiàng)(1) lx 2 + 2 X 3 + 3 X4 +

19、. + (/?- 1) X?2_= 1 l)xnx (n + 1)3第15頁(yè)共42頁(yè)【例 1】計(jì)算：1x3+2x4+ 3x5+4x6+.+99x101【鞏固】1 十算：3x5+ 5x7+ 7x9+97x99+ 99x101【例 2計(jì)算 10 x!6 x 22 +16 x 22 x 28 + .+ 70 x 76 x 82 + 76 x 82 x 88【例 3】計(jì)算 Ixl+2x2+3x3+99x99+100x100【鞏固】3x 3x 3 + 4 x 4 x 4 +.+ 79 x 79 x 79第17頁(yè)共42頁(yè)【例 4】i| 算：Ixlxl+2 x 2 x 2 + 3x 3x 3+-+ 99 x

20、 99 x99+100x100x100例 5 1+(1+2)+(1+2+ 3)+(1+2+3+4)+(1+2+ 3+100)【鞏固】3 + (3+6)+(3+6 + 9)+ ,+(3+6+ + 300)第23頁(yè)共42頁(yè)二、分?jǐn)?shù)“裂和”型運(yùn)算常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式：（1）二=JL+匚=_+!_ （2）以 + , 二匚 +一乞axb axb axb b aaxh axb cixb b a裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比： 裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是”兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的LI的“，裂和型運(yùn)算的題LI不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化的?！纠?】填空：？=+（）,62

21、1 =+12 3(),201 4+°13 =30421=+60,1556-L()7【鞏固】計(jì)算:116 1220 3013-十42151719567290例 7 5 + 6_§ + 7 + 7+8_8 + 9 + 9+1。5x66x77x88x99x1011 13+ + 20 30 42例 8計(jì)算：+10+11-19_34520 2124 35【鞏固】_2 + 3 + 7 + 93 5 7121117 2520 28 30 42【例"J：）七+界石+晉+曙+備卷2缶鞏固( 35 49 63 77 91 + + $105、(3 1P 612 20 30 4256 J

22、 引I§gz cne+g+CJ00+z cnCJ00+g+c I+P由4去I1o不01=0(22 + 42 + 62 + - - + I E ); 992 11 +2 + 3 + : +1。 + 9 + 8 + =：+(12 + 32 + 52 +【舍 J + 一步舸 1。p(2+l)(2 二)+ (4+3 )(4 - 3>+ :+ (18+99)(100禺18汪興42法H w W T 0 g X I 2 H 6 2 +I?呂+二 b6 A抵ts191”-2? +3220042+2005220052 + 200621x2 2x3 * + 2004x2005 2005x 2006

23、第20歷共42頁(yè)5、32-l作業(yè)1 % Ixl+2x2 + 3x3 + .+ 50x50第25頁(yè)共42頁(yè)2、2 x 4 x 6+ 4 x 6 x 8 +.+ 96 x 98x1003、1+2 + 3 + 7 十 911 21 313 57 12 20 28 40 568 x(999101734x(2 - J x(3-Jx -x(8 一 J2341+21+2 + 31+2+ 3+ 41+2 + 3+.+5022 + 32 + 3 +42 + 3+50（三）分?jǐn)?shù)巧算（裂差型運(yùn)算）分?jǐn)?shù)速算'巧算常用的方法1、裂項(xiàng)：是計(jì)算中需妥發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，裂項(xiàng)與通項(xiàng)歸納是密不可分的，本講妥求學(xué)生

24、掌握裂項(xiàng)技巧及尋 找通項(xiàng)進(jìn)行解題的能力2、換元：讓學(xué)生能夠掌握等量代換的概念，通過等量代換講復(fù)雜算式變成簡(jiǎn)單算式。3、循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)拆分：掌捱循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算，涉及循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的主要 利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)算的問題.4、通項(xiàng)歸納法通項(xiàng)歸納法也要借助于代數(shù)，將算式化簡(jiǎn)，但換元法只是將“形同”的算式用字母代替并參與計(jì)算，使計(jì)算過程更 加簡(jiǎn)便，而通項(xiàng)歸納法能將“形似”的復(fù)雜算式，用字母表示后化簡(jiǎn)為常見的一般形式.“裂差”型運(yùn)舅一、“裂差”型運(yùn)算將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，這種拆項(xiàng)計(jì)算稱為裂項(xiàng)法裂項(xiàng)分為分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)和整數(shù)裂項(xiàng)，常 見的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成

25、兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字單位的和或差。遇到裂項(xiàng)的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì)的觀察每項(xiàng)的分子和分母， 找出每項(xiàng)分子分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項(xiàng)的題目無需復(fù)雜的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過 程，這樣的話，找到相鄰兩項(xiàng)的相似部分，讓它們消去才是最根本的。1、對(duì)于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即，形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即 axbo<b,那么有“=axb b -a a b2、對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：n x (n + 1)x( + 2) , nx(n+ 1) x (n + 2) x (n + 3)形式的 » 我們有：1=1|_L-11x(” + 1)x

26、( + 2) 2nx (n +1) (n + )(n + 2)1lr11I -/： x (n + 1) x (n + 2) x fn + 3)3 nx (n + 1) x n + 2) (n + 1) x (n + 2) x fn + 3)nx(n + k)x(n + 2k) 2k n x (n +k) (n + k)(n + 2k),! ,=±fi! -! flx(n + k)x(n + 2k)x(n + 3Ai) 3knx(n + k)x (n + 2k) (n + k)x (n + 2k)x(n + 3k)3、對(duì)于分子不是1的情況我們有：kn(n +k)n + kjh h(l=

27、1 壯(A? + Z：)2k1n(n+k)(n + 2k) n(n + k) (n + k)(n+2k)3k11“Oz+&)(n + 2k) (H + 3k) n(n +£)(“+2k) ( +k)(n + 2k)(n +3R)h Ji 11“(+«)(”+2R) 2k "("+«) (n+k)(n+2k)h-/?T 1_1"("+ «) ( " +2k)( +3k) 3k ” ("+k) (H+2k)+R)(”+2k)( +3k)剛 (11、(277 -l)(2/7+l) = 1+2A

28、1 2- 2n+Ur二、裂差型裂項(xiàng)的三大尖鍵特征：(1)分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是X(X為任意自然數(shù))的，但是只 要將提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。(2)分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”(3)分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。難點(diǎn)：1、分子不是1的分?jǐn)?shù)的裂差變型；2分母為多個(gè)自然數(shù)相乘的裂差變型。小 aO.a =一9 nab 1 ub 0.0 ab =_x_ = 99 10 990.abv-a O.a be =990純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)分子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字所組成的數(shù)與不循 環(huán)部分?jǐn)?shù)字所組成的

29、數(shù)的差分母n個(gè)9,其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字個(gè)數(shù)按循環(huán)位數(shù)添9,不循環(huán)位數(shù)添0,組成分母，其中9在0的左側(cè)三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)結(jié)論:四.整數(shù)裂項(xiàng)=l(n-l)x/?x(z? +1)(1) lx 2 +2x3 +3x4 + . + (/: 4)x； ?31 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + . + (/? - 2) x Qz - " 一 2)(? - 1 )n(n + 1)4一、用裂項(xiàng)法求型分?jǐn)?shù)求和n(n +1)分析：君型2自然數(shù))因?yàn)樨? '+ 1“=1 (n為自然數(shù))所以有裂項(xiàng)公式：77 77 +172 (77 +1)/ (fl +1)/2

30、(/2 +1)n(n +1) n n + 【例1】填空:(3)1x22x3(5)一59x60(6)U59 60一 一99x100(8) 匚99100（鞏固】1 + 1172 2A31 +3A44x5 5x6【例2】計(jì)算：10x1111x1259x6016Ms x 1986 1986 x 16 g -1995 x 1996 1996 x 1997 1997 潼 3斗w+I-+I-+I-H-JIIno g3 0后9 0【例4】計(jì)算：L I _1_1_1 _1_1=2 612 20 30 42 56 72 90鞏固計(jì)算：lL+21+31+4 L+-+20 1 _261220420第27頁(yè)共42頁(yè)23

31、x25 )【例 5】+ 2012.2702008 1 +20Q2? +2010 1+2011 11854108【鞏固】計(jì)算：1'5_LU_L19_L29'_L97O1_L 9899 2 6 12 20 309702 9900二、用裂項(xiàng)法求一型分?jǐn)?shù)求和川 + k)分析：一一型。分k均為自然數(shù))n(n + k)因?yàn)?| r _ i= 1 '所以"(+幻=1(:才 k ?i(/2 + k) n(n + k) n(n + k)【例 1 + I + 1 +1=1x3 3x5 5x799x101【鞏固】計(jì)算：3 15 35 63 99 143 195第31頁(yè)共42頁(yè)【例7】計(jì)算：25才+ 1 十 +.+1x3 3x5 5x7【鞏固】計(jì)算：(L + L + LF】八1 FLL1+11X128 =8 24 48