二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、二次函數(shù)的定義1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （a,b,c是常數(shù)，a 0）的函 數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù) a 0,而b,c可以為零.2 . 二次函數(shù) y ax2 bx c 的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x 的二次式， x 的最高次數(shù)是2a, b, c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式1. y ax2 的性質(zhì)：a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減小；x 0時(shí)，y有最小值0 .a 0

2、問卜0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0 .2. y ax2 c的性質(zhì):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨x的增大而減小；x 0時(shí)，y有最小值c .a 0問卜0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減小；x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c .2 ，3. y a x h的性質(zhì):a的符號(hào)開口方頂點(diǎn)坐對(duì)稱性質(zhì)向標(biāo)軸a 0向上h , 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)， y隨x的增大而減?。粁 h時(shí)，y有最小 值0 .a 0問卜h , 0X=hx h時(shí)，

3、y隨x的增大而減小；x h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0 .24. y a x h k的性質(zhì):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)， y隨x的增大而減小；x h時(shí)，y有最小 值k .a 0問卜h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)， y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大 值k .三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h 2 k ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h ， k ； 保持拋物線y ax2 的形狀不變， 將其頂點(diǎn)平移到 h， k 處， 具體平移方法如下：2. 平移規(guī)律概括成

4、八個(gè)字“左加右減，上加下減”四、二次函數(shù)y ax2 bx c 圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a(x h)2 k ，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖 . 一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0,c、以及0, c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h, c、與x軸的交點(diǎn)x1 ， 0 ，x2 ， 0 (若與 x 軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn))畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).五、二次函數(shù)y ax2 bx c 的性質(zhì)1.二次函數(shù)y a x h 2 k與y ax2 bx c的比較從解析式上看，y a

5、x h 2 k與y ax2 bx c是兩種不同的表達(dá)形式，后者222通過配方可以得到前者，即y a x 絲c上，其中h 上，k絲c上.2a 4a2a 4a22.當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x 旦，頂點(diǎn)坐標(biāo)為"c上.當(dāng)2a2a 4ax 2時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x 2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 2a2a2a2時(shí)，y有最小值絲c_b-.4a23.當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x 旦，頂點(diǎn)坐標(biāo)為"c上.當(dāng)2a2a 4ax 2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x 2a2a2a2時(shí)，y有最大值絲c4a六、二次函數(shù)解析式的表示方法1 . 一般式

6、：y ax2 bx c （a, b, c為常數(shù)，a 0）;2 .頂點(diǎn)式：y a（x h）2 k （a, h, k 為常數(shù)，a 0）;3 .兩根式：y a（x x"（x x2）（ a 0 , X , x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函 數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 0時(shí)，拋物線 的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1 .二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a 0 .當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上

7、，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小, 開口越大；當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大, 開口越大.總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，|a 的大小決定開口的大小.2 . 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸.在a 0的前提下，當(dāng)b 0時(shí)， 2 0,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；2a當(dāng)b 0時(shí)， 旦0,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；2a當(dāng)b 0時(shí)， 20即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè). 2a 在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b 0時(shí)， 20,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；2a當(dāng)b 0時(shí)， 0,即拋物線的對(duì)稱軸就是

8、y軸； 2a當(dāng)b 0時(shí)， 20,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè). 2a總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.3 .常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱 坐標(biāo)為正； 當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 ； 當(dāng) c 0 時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，即拋物線與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)總結(jié)起來(lái)， c 決定了拋物線與y 軸交點(diǎn)的位置總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.八、二次函數(shù)解析式的確定根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次

9、函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)， 選擇適當(dāng)?shù)男问剑?才能使解題簡(jiǎn)便般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有三種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1 .關(guān)于X軸對(duì)稱y ax2 bx c關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y ax2 bx c；y a x h 2 k關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y a x h 2 k ；2 .關(guān)于y軸對(duì)稱y ax2 bx c關(guān)于y軸對(duì)

10、稱后，得到的解析式是y ax2 bx c；22y a x h k關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的斛析式是y ax h k;3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y ax2 bx c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 y ax2 bx c；22y a x h k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是 y a x h k ；根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變 化，因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)， 可以依據(jù)題意或方便 運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物 線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函

11、數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與 x軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax2 bx c。是二次函數(shù)y ax2 bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí)的特 殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):當(dāng)b2 4ac。時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A %, 0 , B X2, 0 (Xi x?),其中的Xi, X2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離 AB x2 x1 .當(dāng) 。時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 。時(shí)，圖象與X軸沒有交點(diǎn).1'當(dāng)a。時(shí)，圖象落在X軸的上方，無(wú)論X為任何實(shí)數(shù)，都有y 0；2'當(dāng)a。時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y 0.2 .拋物線y ax2 bx c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 , c)；3 .二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)