數(shù)學(xué)第二章 直線與圓的方程03

1、 圓是平面內(nèi)到一個定點(diǎn)C的距離等于定長r的所有點(diǎn)的集合，定點(diǎn)C稱為這個圓的圓心圓心，定長r稱為這個圓的半徑半徑因此，圓上任意一點(diǎn)P到圓心C的距離PCr 因此，確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑圓的基本要素圓的基本要素2.3 圓與方程圓與方程 圓心：C（a，b），r為半徑 設(shè)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，則PCr 由兩點(diǎn)之間的距離公式，可以得到關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式：將上式兩邊平方，得 2.3 圓與方程圓與方程一、一、圓圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 如果圓心在坐標(biāo)系的原點(diǎn)，這時a0，b0，那么圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是2.3 圓與方程圓與方程 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：2.3 圓與方程圓與方程例題解析 例例1 已知

2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . （）寫出圓心C的坐標(biāo)和半徑 （）確定點(diǎn)M（1，4），N（4，1），P（2，3） 與圓的位置關(guān)系 解 因?yàn)閍4，b5， r2 16，所以圓心C的坐標(biāo)為（4，5），半徑r為4 （）寫出圓心C的坐標(biāo)和半徑2.3 圓與方程圓與方程解 因?yàn)橐驗(yàn)?（）確定點(diǎn)M（1，4），N（4，1），P（2，3）與圓的位置關(guān)系 因?yàn)樗渣c(diǎn) 在圓外2.3 圓與方程圓與方程所以點(diǎn)M在圓內(nèi)所以點(diǎn)M在圓周上 例例2求下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）圓心在點(diǎn)C（3，2），半徑為（2）圓心在y軸上，半徑為 ，且過點(diǎn)（2，1）252.3 圓與方程圓與方程（1）圓心在點(diǎn)C（3，2），半徑為2 解 圓心在點(diǎn)C（3，2），半徑

3、r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x3）2（y2）222Cxyo2.3 圓與方程圓與方程（2）圓心在y軸上，半徑為 ，且過點(diǎn)（2，1）52.3 圓與方程圓與方程所以，所求圓的方程為 解 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2（yb）25 因?yàn)閳A過點(diǎn)（2，1），所以有 22（1b）25得 b0或b21根據(jù)下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心坐標(biāo)和半徑： 課堂練習(xí)2.3 圓與方程圓與方程 2寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)A（2，1）與它們的關(guān)系 （1）圓心為C（4，2），半徑為4 （2）圓心在原點(diǎn)，且過點(diǎn)（3，4）2.3 圓與方程圓與方程將上面的方程展開并整理得二二、圓圓的的一般方程一般方程的方程能夠表示一個圓，我們就把它稱為圓的一

4、般方程圓的一般方程。 因此 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 已知 圓心：C（6，5），r=例題解析例例1判斷下列各方程表示的圖形：2.3 圓與方程圓與方程 解將方程x2y22x4y40 配方，得 （x1）2（y2）29 所以，原方程表示的圖形是圓心為（1，2），半徑為3的圓（1）x2y22x4y402.3 圓與方程圓與方程（2）x2y22x4y50 由于原方程只有唯一一組解：x1，y=2所以，原方程表示的圖形是一個點(diǎn)，該點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）2.3 圓與方程圓與方程 解 將方程 x2y22x4y50 配方，得 （x1）2（y2）20 解 將方程 x2y22x4y90 配方，得 （x1）2（y2）24 這個方程沒有實(shí)

5、數(shù)解，原方程不表示任何圖形2.3 圓與方程圓與方程（3）x2y22x4y902.3 圓與方程圓與方程 例例2 求過三點(diǎn)O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圓的方程，并求出它的圓心坐標(biāo)和半徑所以解得 D8，E6，F(xiàn)0所以，所求圓的方程為 因?yàn)镺，A，B在圓上，解 設(shè)圓的方程為2.3 圓與方程圓與方程配方得因此，所求圓的圓心坐標(biāo)為（4，3），半徑為5 課堂練習(xí) 21將下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為圓的一般方程：2判斷下列各方程表示的圖形：2.3 圓與方程圓與方程 3已知ABC的頂點(diǎn)A（1，1），B（2，0），C（1，1），求ABC外接圓的方程，并求它的圓心坐標(biāo)和半徑2.3 圓與方程圓與方程2.3 圓與

6、方程圓與方程 已知：半徑r，設(shè)圓心C到直線l的距離為d.三三、直線與圓直線與圓的的位置關(guān)系位置關(guān)系2.3 圓與方程圓與方程 應(yīng)用代數(shù)方法，從聯(lián)立方程組 判定直線與圓是相交、相切還是相離 比較d與r的大小，即可判定直線與圓的位置關(guān)系2.3 圓與方程圓與方程2.3 圓與方程圓與方程例題解析 例例1 判斷直線l：4x3y80與圓C：的位置關(guān)系，若有公共點(diǎn)，求出公共點(diǎn)坐標(biāo).聯(lián)立方程組從式解出 ，代入式，得即解因?yàn)橐蠊颤c(diǎn)的坐標(biāo)，所以采用代數(shù)方法因?yàn)?，方程組的解為所以直線l與圓C相切于點(diǎn) .2.3 圓與方程圓與方程2.3 圓與方程圓與方程 例例2 已知圓O的方程是 ，直線l：yxb問當(dāng)b分別為何值時

7、，直線與圓相交、相切、相離？ 當(dāng)dr，即 ，2b2時，直線與圓相交； 解圓O的圓心為O（0，0），半徑r ,則圓心O到直線l：xyb0的距離 當(dāng)dr，即 ，b2或b2時，直線與圓相離2.3 圓與方程圓與方程 當(dāng)dr，即 ，b2時，直線與圓相切；2.3 圓與方程圓與方程 例例3 一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到指揮塔的警報：暗礁區(qū)中心位于輪船正西70千米處，范圍是半徑長為30千米的圓形區(qū)域已知港口位于暗礁區(qū)中心正北40千米處，如果這艘輪船不改變航線，它是否會受到暗礁的影響？ 分析分析 如果這艘輪船的航線不如果這艘輪船的航線不通過受暗礁影響的通過受暗礁影響的 圓形區(qū)域，那么圓形區(qū)域，那么它就不

8、會受到影響，否則將會受影它就不會受到影響，否則將會受影響因此，我們可以在直角坐標(biāo)系響因此，我們可以在直角坐標(biāo)系中解決該問題中解決該問題 2.3 圓與方程圓與方程2.3 圓與方程圓與方程 解 以暗礁中心O為原點(diǎn)，以向東方向?yàn)閤軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系則輪船原來的位置A（70，0），港口位置B（0，40），受暗礁影響的圓形區(qū)域所對應(yīng)的圓的圓心O（0，0），半徑r30（以千米為單位） 航線所在直線的斜率則航線所在直線的方程為2.3 圓與方程圓與方程因此，這艘輪船不會受到暗礁的影響 即 4x7y280 則圓心O到航線所在直線的距離2.3 圓與方程圓與方程 課堂練習(xí) 31判斷下列各組中直線l與圓C的位

9、置關(guān)系： 2直線4x3y400和圓存在公共點(diǎn)嗎？若存在，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由專題閱讀專題閱讀 中國古代數(shù)學(xué)在幾何中國古代數(shù)學(xué)在幾何學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特貢獻(xiàn)學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特貢獻(xiàn) 中國是世界文明發(fā)達(dá)最早的國家之一，與古代埃及、印度、巴比倫并稱中國是世界文明發(fā)達(dá)最早的國家之一，與古代埃及、印度、巴比倫并稱為四大文明古國在綿延不斷的五千年文明史中，中華民族集累了極其豐為四大文明古國在綿延不斷的五千年文明史中，中華民族集累了極其豐富的文化遺產(chǎn)富的文化遺產(chǎn)在這個多姿多彩的歷史文化寶庫中，數(shù)學(xué)無疑是其中一顆特別璀璨的在這個多姿多彩的歷史文化寶庫中，數(shù)學(xué)無疑是其中一顆特別璀璨的明珠它在世界數(shù)學(xué)史上，乃至

10、在整個人類文明發(fā)展史上都光彩奪目，具明珠它在世界數(shù)學(xué)史上，乃至在整個人類文明發(fā)展史上都光彩奪目，具有極其重要的地位和價值中國古代的數(shù)學(xué)成就如同造紙、火藥、指南針、有極其重要的地位和價值中國古代的數(shù)學(xué)成就如同造紙、火藥、指南針、印刷術(shù)這四大發(fā)明一樣，是中華民族對世界文明的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)，是值得印刷術(shù)這四大發(fā)明一樣，是中華民族對世界文明的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)，是值得炎黃子孫珍視的一份驕傲炎黃子孫珍視的一份驕傲專題閱讀專題閱讀 中國古代數(shù)學(xué)在幾何中國古代數(shù)學(xué)在幾何學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特貢獻(xiàn)學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特貢獻(xiàn) 幾何是一門古老的學(xué)科，它是在人們的生產(chǎn)幾何是一門古老的學(xué)科，它是在人們的生產(chǎn)和生活等實(shí)踐活動中逐步形成和發(fā)展起來的

11、和生活等實(shí)踐活動中逐步形成和發(fā)展起來的“幾何幾何”是一個翻譯名詞，由我國明代科學(xué)家徐光啟首先使是一個翻譯名詞，由我國明代科學(xué)家徐光啟首先使用但是我國古代勞動人民在長期的生產(chǎn)勞動和社會用但是我國古代勞動人民在長期的生產(chǎn)勞動和社會生活中早已積累了大量的幾何知識，其成就是十分突生活中早已積累了大量的幾何知識，其成就是十分突出的，如流傳至今的墨經(jīng)、周髀算經(jīng)、九出的，如流傳至今的墨經(jīng)、周髀算經(jīng)、九章算術(shù)等自然科學(xué)和數(shù)學(xué)著作，都記載下了很多幾章算術(shù)等自然科學(xué)和數(shù)學(xué)著作，都記載下了很多幾何方面的知識何方面的知識專題閱讀專題閱讀 中國古代數(shù)學(xué)在幾何中國古代數(shù)學(xué)在幾何學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特貢獻(xiàn)學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特貢獻(xiàn) (1)墨經(jīng)

12、墨經(jīng)(公元前公元前480年公元前年公元前390年年)中，中，已經(jīng)出現(xiàn)了最早的幾何學(xué)理論的雛形把已經(jīng)出現(xiàn)了最早的幾何學(xué)理論的雛形把“圓圓”定義為定義為“圓，一中同長也圓，一中同長也”意思是：圓有而且僅有一個中心，意思是：圓有而且僅有一個中心，從圓心到圓周上任何一點(diǎn)距離相等這與歐氏的提法從圓心到圓周上任何一點(diǎn)距離相等這與歐氏的提法基本一致，但比歐氏要早基本一致，但比歐氏要早100多年多年專題閱讀專題閱讀 中國古代數(shù)學(xué)在幾何中國古代數(shù)學(xué)在幾何學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特貢獻(xiàn)學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特貢獻(xiàn) （2)周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)(公元前公元前100年前后年前后)中，記中，記載了勾股定理和開平方法，并用于天文觀測和計算載了勾股定理和

13、開平方法，并用于天文觀測和計算(3)九章算術(shù)九章算術(shù)(公元公元50年年100年或更早年或更早)，歷代數(shù)學(xué)家把它尊為歷代數(shù)學(xué)家把它尊為“算經(jīng)之首算經(jīng)之首”它的計算技術(shù)在當(dāng)它的計算技術(shù)在當(dāng)時的世界是第一流的，對古代的幾何學(xué)知識也作了比時的世界是第一流的，對古代的幾何學(xué)知識也作了比較系統(tǒng)的總結(jié)和闡發(fā)，它的成就主要表現(xiàn)在對各種平較系統(tǒng)的總結(jié)和闡發(fā)，它的成就主要表現(xiàn)在對各種平面圖形的面積計算，對各種立體圖形的體積計算，以面圖形的面積計算，對各種立體圖形的體積計算，以及對勾股形的形容和應(yīng)用這幾個方面及對勾股形的形容和應(yīng)用這幾個方面專題閱讀專題閱讀 中國古代數(shù)學(xué)在幾何中國古代數(shù)學(xué)在幾何學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特貢獻(xiàn)學(xué)領(lǐng)域的獨(dú)特貢獻(xiàn) (4)南北朝時期數(shù)學(xué)家祖沖之，在公元五世紀(jì)南北朝時期數(shù)學(xué)家祖沖之，在公元五世紀(jì)就已求得圓周率為：就已求得圓周率為：3.1415926