面積的存在性問(wèn)題解題策略

1、面積的存在性問(wèn)題解題策略專題攻略面積的存在性問(wèn)題常見(jiàn)的題型和解題策略有兩類：第一類，先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗(yàn)方程的根. 第二類，先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗(yàn)證假設(shè)是否正確.例題解析例？如圖1-1，矩形ABCD的頂點(diǎn)C在y軸右側(cè)沿拋物線 y = X2 6X+ 10滑動(dòng)，在滑動(dòng)過(guò)程中 CD/x軸，CD = 1, AB在 CD的下方.當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，AB落在x軸上.當(dāng)矩形ABCD 在滑動(dòng)過(guò)程中被x軸分成兩部分的面積比為1:4時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo).【解析】先求出 CB = 5,再進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)化，然后解方程.把上下兩部分的面積比為 1 : 4轉(zhuǎn)化為S上：S全=1 : 5或S

2、上：S全=4 : 5. 把面積比轉(zhuǎn)化為點(diǎn) C的縱坐標(biāo)為1或4.如圖1-2,3 ,4)或(3 3 4).例？如圖2-1，二次函數(shù) 為(1, 4), AM與y軸相交于點(diǎn) 求出點(diǎn)P的坐標(biāo).圖1-3y= (x+ m)2 + k的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn) M的坐標(biāo)C，在拋物線上是否還存在點(diǎn)P，使得Sapmb=Sbcm，如存在,【解析】ABCM是確定的，形面積相等”和 平行線間的距離處處相等BM，根據(jù)同底等高的三角”，過(guò)點(diǎn)C畫BM的平行線與拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P. 目了然，點(diǎn) P有2個(gè).由 y= (x l)2 4 = (x+ 1)(x 3)，得 A(- 1,0), B(3,0) 由 A、M，得 C(0

3、, - 2). 如圖 2-2，設(shè) P(x, x2 2x 3),由 PC/BM，得/ CPE=/ BMF .所以 CE 竺.PE MF2解方程區(qū)2 丄24，得x 25 .所以P(25,22 5)或(25,22 5) x2廠/7 . dfIAF圖2-2例？如圖3-1，直線y= x+ 1與拋物線y = x2 + 2x+ 3交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一點(diǎn)，四邊形PAQB是平行四邊形，當(dāng)四邊形PAQB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】AFAB的面積最大時(shí)，平行四邊形PAQB的面積也最大.我們介紹三種割補(bǔ)的方法求 APAB的面積：如圖3-2，把APAB分割為兩個(gè)共底 PE的三 角形，高

4、的和等于 A、B兩點(diǎn)間的水平距離；如圖 3-3，用四邊形FACB的面積減去ABC 的面積；如圖3-4，用直角梯形 ABNM的面積減去兩個(gè)直角三角形的面積.BD) = 1(yp yE)(XB Xa)我們借用圖3-2介紹一個(gè)典型結(jié)論.已知 A( 1,0)、B(2, 3)，設(shè)P(x, x2 + 2x+ 3).Sab= Spae+ Spbe= - PE(AF2=1( x2 x 2) 3 =3(x2 21 2272)71x丄的幾何意義是點(diǎn) E為AB的中點(diǎn)，這是一個(gè)典型21x 1時(shí)，APAB的面積最大.2結(jié)論.同時(shí)我們可以看到，由于例？ 如圖4-1,在平行四邊形 A BCD中，AB= 3, BC = 5,

5、 AC丄AB, ACD沿AC方 向勻速平移得到 APNM，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速 移動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)APNM停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) Q也停止運(yùn)動(dòng)，如圖 4-2,設(shè)移 動(dòng)時(shí)間為t秒(0 V tv 4).是否存”一在某一時(shí)刻t，使Saqmc : S四邊形ABQP= 1 : 4 ?若存在，求 出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】?jī)刹睫D(zhuǎn)化，問(wèn)題就解決了. AQMC與MPC是同底等高的三角形，AQPC是ABC 的一部分.因此 Saqmc : S四邊形abqp= 1 : 4就轉(zhuǎn)化為 Saqpc : Saabc= 1 : 5，更進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為 Gqpc = 6 如

6、圖 4-3，解方程 1 3(4 t) t 6，得 t= 2.52 55例？ 如圖5-1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0, 1)，直線y= 2x 4與拋物線1 2 一yx2相交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)D 將AABD沿直線BD折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處(如4圖5-2),問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn) P,使得Sapcd = 3Saab?如果存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 1$木yVd X0圖1圖2【解析】由A(0, 1), B(4, 4), D(0, 4)，可得AB= AD = 5，這里隱含了四邊形 ADCB 是菱形.因此 APCD與 AAB是等底三角形，而且兩底 CD/AB

7、.如果S/pcd = 3Sapab，那么點(diǎn)P到直線CD的距離等于它到直線 AB距離的3倍.如果過(guò)點(diǎn)P與CD平行的直線與y軸交于點(diǎn)Q,那么點(diǎn)Q到直線CD的距離等于它到直 線AB距離的3倍.所以QD = 3QA.點(diǎn)Q的位置有兩個(gè)，在 DA的延長(zhǎng)線上或 AD 上.如圖5-3，過(guò)點(diǎn)Q（0,7）畫CD的平行線，得 P（3 '65嚴(yán) 3、65），或2 2 8如圖5-4，過(guò)點(diǎn)Q（0 1）畫CD的平行線，得,7 3盾），或（圧§ ,7 3亦）.'42828圖5-3圖5-41 2x8為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以例？ 如圖6-1 ,拋物線y5x經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（6, n）,與x軸正半軸

8、交于點(diǎn) A,若點(diǎn)P4P、0、A、E為頂點(diǎn)的四邊形的面積記作S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)?圖6-1【解析】如圖6-2，當(dāng)點(diǎn)P在直線AE上方的拋物線上，過(guò)點(diǎn) P作AE的平行線，當(dāng)這圖6-2圖6-3條直線與拋物線相切時(shí)，APAE的面積最大.這時(shí)我們可以在直線OE的上方畫一條與 OE平行的直線，這條直線與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)P和P','滿足 SPAE：=Sap，oe= Spzoze .設(shè)過(guò)點(diǎn)P與直線AE平行的直線為y3xm ,聯(lián)立y-x2- x ,消去y,整理，484得 x2 16x+ 8m= 0 .由= 0，解得 m= 8.因此方程x2 16x+ 64= 0的根為X1= x2

9、=8.所以 P(8, 2).如圖6-3，作PH丄x軸于H，可以求得S= S 四邊形OAPE = 9+ 5+ 2 = 16.例？ 如圖7-1，點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線 ylx2 8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) D、E的坐8標(biāo)分別為（0, 6）、（ 4, 0）.若將 使APDE的面積為整數(shù)”的點(diǎn)P記作 好點(diǎn)”，請(qǐng)寫出所有 好 點(diǎn)”的個(gè)數(shù).【解析】第步，求 APDE的面積S關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式；第二步，分析S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.如圖7-2, Sapde = SPOD + Spoe Smoe =4因此S是x的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為直線x= 6, S的最大值為13.如圖7-3，當(dāng)一8$W0寸，4令w 13所以面

10、積的值為整數(shù)的個(gè)數(shù)為10.當(dāng)S= 12時(shí)，對(duì)應(yīng)的x有兩個(gè)解一8, 4，都在一8W«0范圍內(nèi).所以 使APDE的面積為整數(shù)”的 好點(diǎn)” P共有11個(gè).A的坐標(biāo)為（a,_ 3）（其中a>4）,射線例？圖8-2由于S1 = S2,所以Szabo = Saaco.所以B、C到AO的距離相等.于是 AABP與AACP就是同底等高的 三角形，它們的面積比為1 .例：如圖9-1,已知扇形AOB的半徑為2,圓心角/ AOB= 90°點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CD丄OA于D,【解析】如圖9-2，圖9-3,設(shè)矩形ODCE的對(duì)角線交于點(diǎn)F，那么OF = 1為定值.作OH丄DE于H，那么OH

11、 OF .因?yàn)镈E = 2為定值，因此當(dāng) OH與OF相等時(shí)（如圖9-4）, ADOE的面積最大，最大值為 1.所以矩形 ODCE的面積的最大值為 2 .90 A例？ 如圖10-1，在MBC中, E,與直角邊交于點(diǎn) F,設(shè)AE = X, 線I，求出x的值；若不存在直線I圖9-4,/ C= 90° AC= 6, BC = 8,設(shè)直線I與斜邊AB交于點(diǎn) 是否存在直線I同時(shí)平分AABC的周長(zhǎng)和面積？若存在直 I，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖 10-1【解析】先假設(shè)存在，再列方程，如果方程有解那么真的存在.ABC的周長(zhǎng)為24,面積為24.如圖10-2 ,點(diǎn)F在AC上，假設(shè)直線EF同時(shí)平分AABC的周長(zhǎng)和面積，那么AE= x,AF = 12-x, EG 4x 解方程-（12 x） 4x 12，得 x 66 .525當(dāng)x AE 6.