數(shù)學(xué)思想方法

1、1、“方程”的思想數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的，初中最重要的數(shù)量關(guān)系是，其次是不等量關(guān) 系。最常見(jiàn)的等量關(guān)系就是“方程”。比如等速運(yùn)動(dòng)中，路程、速度和時(shí)間三者之間就有一種 等量關(guān)系，可以建立一個(gè)相關(guān)等式：速度X時(shí)間=路程，在這樣的等式中，一般會(huì)有已知量，也有未知量，像這樣含有未知量的等式就是“方程”，而通過(guò)方程里的已知量求出未知量的過(guò)程 就是解方程。我們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)接觸過(guò)，而初一則比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)解，并總結(jié)出解一元一次方 程的五個(gè)步驟。如果學(xué)會(huì)并掌握了這五個(gè)步驟，任何一個(gè)一元一次方程都能順利地解出來(lái)。初二和初三我們學(xué)習(xí)了解、簡(jiǎn)單的；到了高中我們還將學(xué)習(xí)指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、等。解這些方程的

2、思維幾乎一致，都是通過(guò)一定的方 法將它們轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五 個(gè)步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決。物理中的，化學(xué)中的式，現(xiàn)實(shí)中的大量實(shí)際 應(yīng)用，都需要建立方程，通過(guò)解方程來(lái)求出結(jié)果。因此，同學(xué)們一定要將解一元一次方程和解 一元二次方程學(xué)好，進(jìn)而為學(xué)好其它形式的方程打好基礎(chǔ)。所謂的“方程”思想就是對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題，特別是現(xiàn)實(shí)當(dāng)中碰到的未知量和已知量的錯(cuò)綜復(fù) 雜的關(guān)系，善于用“方程”的觀點(diǎn)去構(gòu)建有關(guān)的方程，進(jìn)而用解方程的方法去解決它。2、“”的思想大千世界，“數(shù)”與“形”無(wú)處不在。任何事物，剝?nèi)ニ馁|(zhì)的方面，只剩下形狀和大小 這兩個(gè)屬性，就

3、交給數(shù)學(xué)去研究了。的兩個(gè)分支幾何，是研究“數(shù)”的，幾何是研究“形”的。但是，研究代數(shù)要借助“形”，研究幾何要借助“數(shù)”，“數(shù)形結(jié)合”是一種趨 勢(shì)，越學(xué)下去，“數(shù)”與“形”越密不可分，到了高中，就出現(xiàn)了專門用代數(shù)方法去研究幾何 問(wèn)題的一門課，叫做“解析幾何”。在初三，建立后，研究函數(shù)的問(wèn)題就離不開(kāi)圖象了。往往 借助圖象能使問(wèn)題明朗化，比較容易找到問(wèn)題的關(guān)鍵所在，從而解決問(wèn)題。在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 中，要重視“數(shù)形結(jié)合”的思維訓(xùn)練，任何一道題，只要與“形”沾得上一點(diǎn)邊，就應(yīng)該根據(jù) 題意畫出草圖來(lái)分析一番，這樣做，不但直觀，而且全面，整體性強(qiáng)，容易找出切入點(diǎn)，對(duì)解 題大有益處。嘗到甜頭的人慢慢會(huì)養(yǎng)成一種

4、“數(shù)形結(jié)合”的好習(xí)慣。3、“對(duì)應(yīng)”的思想“對(duì)應(yīng)”的思想由來(lái)已久，比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對(duì)應(yīng)一個(gè)抽象的數(shù)“1”，將兩只眼睛、一對(duì)耳環(huán)、雙胞胎對(duì)應(yīng)一個(gè)抽象的數(shù)“ 2” ；隨著學(xué)習(xí)的深入，我們還將“對(duì)應(yīng)”擴(kuò)展到對(duì)應(yīng)一種形式，對(duì)應(yīng)一種關(guān)系，等等。比如我們?cè)诨?jiǎn)求值計(jì)算中，將式子中有關(guān)字母或某個(gè)整體的值，對(duì)應(yīng)代入，直接算出原式的結(jié)果。又比如我們到初三綜合學(xué)習(xí)了與圓 有關(guān)的角，圓心角、的數(shù)量關(guān)系必須“對(duì)應(yīng)”同一段弧才能成立。這就是運(yùn)用“對(duì)應(yīng)”的思 想和方法來(lái)解題。初二、初三我們還看到數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，直角坐標(biāo)平面上 的點(diǎn)與一對(duì)之間的一一對(duì)應(yīng)，函數(shù)與其圖象之間的對(duì)應(yīng)?？傊皩?duì)應(yīng)

5、”的思想在今后的學(xué)習(xí) 中將會(huì)發(fā)揮越來(lái)越大的作用。4、“轉(zhuǎn)化”的思想解最根本的途徑是“化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知”，也就是把復(fù)雜繁難的數(shù)學(xué)問(wèn) 題通過(guò)一定的數(shù)學(xué)思維、方法和手段，逐漸將它轉(zhuǎn)變成一個(gè)大家熟知的簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式，然后 通過(guò)大家所熟悉的數(shù)學(xué)運(yùn)算把它解決。比如，我們學(xué)校要擴(kuò)大校園，需要向某村征地。而某村給了一塊形狀不規(guī)則的地，如何丈 量它的面積呢？首先，使用適當(dāng)?shù)臏y(cè)量工具，依據(jù)一定的比例，將實(shí)際地形繪制成紙上圖形，然 后將紙上圖形分割成若干塊梯形、長(zhǎng)方形、三角形，利用學(xué)過(guò)的面積計(jì)算方法，計(jì)算出這些圖 形的面積之和，也就得到了這塊不規(guī)則地形的總面積。在這里，我們把無(wú)法計(jì)算的不規(guī)則圖形 轉(zhuǎn)

6、化成了可以計(jì)算的規(guī)則圖形，從而解決了土地丈量問(wèn)題。另外，我們前面提到的各種多元方 程、，利用“消元”、“降次”等方法，最終都可以把它們轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方 程，然后用已知的步驟或公式把它們解決。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化和替代”的思想，是解題的最重要的。面對(duì)難題，面對(duì)沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的題，首先就要想 到“轉(zhuǎn)化”，也總是能夠“轉(zhuǎn)化”的。平時(shí)，要多留心老師是的，是怎樣“化難為易、化繁為 簡(jiǎn)、化未知為已知”的。同學(xué)之間也應(yīng)多交流交流“成功轉(zhuǎn)化”的體會(huì)，深入理解“轉(zhuǎn)化”的 真正含義，切實(shí)掌握“轉(zhuǎn)化”的思維和技巧。一、什么是數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的一種結(jié)

7、果.它是數(shù)學(xué)中處理問(wèn)題的基本觀點(diǎn)，是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法本質(zhì)的概括，是創(chuàng)造性地發(fā)展數(shù)學(xué)的指導(dǎo)方針。數(shù)學(xué)思想比一般說(shuō)的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象概括水平，后者比前者更具體更豐富，而前者比后者更本質(zhì) 更深刻。數(shù)學(xué)方法是指人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或 模式。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法兩者既統(tǒng)一又有區(qū)別。例如.在初中代數(shù)中，解多元方程組，用的是“消元法”；解高次方程，用的是“降次法”；解雙二次方程.用的是“替換法”。這里的“消元”、“降次”、“替換” 都是具體的數(shù)學(xué)方法，但它們不是數(shù)學(xué)思想，這三種方法共同體現(xiàn)出“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想，即把復(fù)雜問(wèn) 題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的思想

8、。具體的數(shù)學(xué)方法，不能冠以“思想”二字。如“配方法”，就不能稱為數(shù)學(xué)思 想.它的實(shí)質(zhì)是恒等變形，體現(xiàn)了 “變換”的數(shù)學(xué)思想。然而，每一種數(shù)學(xué)方法.都體現(xiàn)了一定的數(shù)學(xué)思想；每一種數(shù)學(xué)思想在不同的場(chǎng)合又通過(guò)一定的手段表現(xiàn)出來(lái)，這里的手段就是數(shù)學(xué)方法。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)思 想是理性認(rèn)識(shí).是相關(guān)的數(shù)學(xué)方法的精神實(shí)質(zhì)和理論依據(jù)。數(shù)學(xué)方法是指向?qū)嵺`的.是工具性的，是實(shí)施有關(guān)思想的技術(shù)手段。因此.人們通常將數(shù)學(xué)思想和方法看成一個(gè)整體概念一數(shù)學(xué)思想方法。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法具有三個(gè)層次：低層次的數(shù)學(xué)思想方法（如消元法、換元法、代人法等），較高層次的數(shù)學(xué)思想方法 （如分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等），

9、高層次的數(shù)學(xué)思想方法（如轉(zhuǎn)化、分類、數(shù)形結(jié)合等）。 較低層次的數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)抽象概括可上升為較高層次的數(shù)學(xué)思想方法，各層次間沒(méi)有明確的界限。、為什么要研究初中數(shù)學(xué)思想方法1 .教學(xué)本身的需要初中數(shù)學(xué)教材體系包括兩條主線。其一是數(shù)學(xué)知識(shí)，這是編寫教材的一條明線；其二是數(shù)學(xué)思想方法，這是編寫教材的指導(dǎo)思想，它是大都不能明確寫進(jìn)教材的一條暗線。前者容易理解，后者不 易看明；前者是教材寫什么，后者則明確為什么要這樣寫；只有理解后者才能真正從整體上、本質(zhì)上理解教材。九年制義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出：“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)主要是初中代數(shù)、幾何中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容

10、反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法。”這就要求我 們?cè)跀?shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的同時(shí)， 必須注意數(shù)學(xué)思想方法的有機(jī)滲透和統(tǒng)帥作用。只有這樣.才能有助于學(xué)生形成一個(gè)既有肉體又有靈魂的活的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，推動(dòng)學(xué)生思維一般品質(zhì)乃至整個(gè) 素質(zhì)的全面提高。2 .數(shù)學(xué)發(fā)展的需要翻開(kāi)數(shù)學(xué)史，從算術(shù)到代數(shù)，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)，從偶然數(shù)學(xué)到必然數(shù)學(xué)，從“明 晰”數(shù)學(xué)到“模糊”數(shù)學(xué)，以及從手工證明到機(jī)器證明等，歷史上的這幾次重大轉(zhuǎn)折，首先是數(shù)學(xué)思想方 法的轉(zhuǎn)變，這種轉(zhuǎn)變還表明了數(shù)學(xué)的發(fā)展不僅是量的發(fā)展.還有質(zhì)的飛躍，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)思想方法日益豐富。如果說(shuō)歷史上是數(shù)學(xué)思想方法推進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)，那么在數(shù)學(xué)教學(xué)中

11、，就是數(shù)學(xué)思想方法在傳導(dǎo)著數(shù)學(xué)的精神，在塑造著人的靈魂，在對(duì)一代人的數(shù)學(xué)素質(zhì)實(shí)施著深刻、穩(wěn)定而持久的影響。3 .國(guó)民素質(zhì)的需要當(dāng)今世界，青少年只有具備很強(qiáng)的適應(yīng)能力，才能參與社會(huì)競(jìng)爭(zhēng)。對(duì)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，就是具 備運(yùn)用所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，根據(jù)需要去自學(xué)新知識(shí)的能力。因此，數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)比 只教會(huì)學(xué)生幾個(gè)數(shù)學(xué)公式更為重要，它將使學(xué)生獲得自學(xué)數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)的本領(lǐng)，獲得把數(shù)學(xué)思想方法遷 移為解決其它問(wèn)題的能力.從而形成更什的智能結(jié)構(gòu).讓學(xué)生終生受益。正如德閏學(xué)者馮 ？勞厄說(shuō)的：“教育 尤非是一切學(xué)過(guò)的東西都忘掉時(shí)所剩下的東西?！边@種使人終身受用的東西.數(shù)學(xué)教學(xué)中指數(shù)學(xué)思想方法有資料表明.我國(guó)

12、的中學(xué)生畢業(yè)后直接用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并不多，更多的是受到數(shù)學(xué)思想方法的熏陶與啟迪4 .教學(xué)改革的需要當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，過(guò)于強(qiáng)調(diào)對(duì)定義、定理、法則、公式的灌輸與記憶，不注意這些概念、 知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用過(guò)程的揭示與解釋，不善于將這一過(guò)程中豐富的思想方法進(jìn)行抽象和概括，存在 著“掐頭去尾燒中段”的狀況，即使有應(yīng)用過(guò)程.也只是在解題過(guò)程中.強(qiáng)調(diào)對(duì)問(wèn)題一招一式、一題-解、一法一題的個(gè)別解決，定勢(shì)套路的總結(jié)，而輕視思路分析.忽視解題的思維過(guò)程，不能將具體的知識(shí)和個(gè)別的 數(shù)學(xué)方法上升到數(shù)學(xué)思想的高度 .揭示方法的實(shí)質(zhì)和規(guī)律，長(zhǎng)此以往，嚴(yán)重阻礙r學(xué)生創(chuàng)造力的培養(yǎng)和發(fā)展， 而數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是把傳統(tǒng)的知識(shí)型教

13、學(xué)轉(zhuǎn)化為能力型教學(xué)的關(guān)鍵，是培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的良好手段和渠道。三、初中數(shù)學(xué)思想方法主要有哪些根據(jù)"大綱精神，初中數(shù)學(xué)的基本思想主要指轉(zhuǎn)化、分類、數(shù)形結(jié)合等基本方法主要指待定系數(shù)法、 消兒法、配方法、換元法、圖象法等由于數(shù)學(xué)方法在教材中大都有具體陳述，而數(shù)學(xué)思想?yún)s是隱含在知識(shí) 系統(tǒng)之中.這為強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法帶來(lái)了一定困難 為此.下面談?wù)勣D(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等在初中數(shù)學(xué) 中的表現(xiàn) 1.轉(zhuǎn)化思想所謂轉(zhuǎn)化思想是指一種研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象的思維方式 轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想方法的核心，其它數(shù)學(xué)思想方法都是轉(zhuǎn)化的手段或策略)初中數(shù)學(xué)中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想具體 表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：(l)把

14、新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為原來(lái)研究過(guò)的問(wèn)題如有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法，除法轉(zhuǎn)化為乘法等 (助把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題 (,新問(wèn)題用已有的方法不能或難以解決時(shí)，建立新的研究方式如引進(jìn) 負(fù)數(shù)，建立數(shù)軸；變利用逆運(yùn)算的性質(zhì)解方程為利用等式的性質(zhì)解方程，等等。2.分類討論思想所謂分類討論是指對(duì)于復(fù)雜的對(duì)象，為了研究的需要.根據(jù)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異性，將對(duì)象區(qū)分為不同種類， 通過(guò)研究各類對(duì)象的性質(zhì)，從而認(rèn)識(shí)整體的性質(zhì)的思想方式。在分類討論中要注意標(biāo)準(zhǔn)的同一性.即劃分始 終是同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)、這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)必須是科學(xué)合理的；分域的互斥性.即所分成的各類既要互不包含 .義要使各類總和等于討論的全集；分域的逐級(jí)性，有的問(wèn)題分類后

15、還可在每，類中丙繼續(xù)分類。運(yùn)用分類討論思想指導(dǎo)數(shù).并逐步形成一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)學(xué)教學(xué)，有利于學(xué)生歸納、總結(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使之系統(tǒng)化、條理化 絡(luò)，這有利于學(xué)生嚴(yán)密、清晰、合理地探索解題思路，提高數(shù)學(xué)思維能力。在初中數(shù)學(xué)中需要分類討淪的問(wèn)題主要表現(xiàn)個(gè)方而:（扮有的數(shù)學(xué)概念、定理的論證包含多種情況.這類問(wèn)題需要分類討論。如平面兒何中 二角形的分類、四邊形的分類、角的分類、圓周角定理、圓嘉定理、弦切角定理等的證明，都涉及到分類i寸論（約解含字毋參數(shù)或絕對(duì)值符號(hào)的為一程、不等式、討論算術(shù)根、正比例和反比例的數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)、.這類問(wèn)題需要分類與圖象的開(kāi)L:方向等，由于這些參數(shù)的取位不同或要去掉絕對(duì)值符

16、號(hào)就有不同的結(jié)果.這類問(wèn)題也要分類討論 3 效形結(jié)合思.從而實(shí)現(xiàn)由抽象向具體轉(zhuǎn)化的一種思維討論（3）有的數(shù)學(xué)問(wèn)題.雖結(jié)論惟一但導(dǎo)致這結(jié)論的前提不盡相同 想所謂數(shù)形結(jié)合是指抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與形象直觀的圖形結(jié)合起來(lái) 方式。華羅庚說(shuō)過(guò)：數(shù)數(shù)缺形時(shí)不直觀，形少數(shù)時(shí)難人微”有些數(shù)最關(guān)系.借助于圖形的性質(zhì)，可以使許多抽象的概念和復(fù)雜的關(guān)系直觀化、形象化、簡(jiǎn)單化，而圖形的一些性質(zhì).借助于數(shù)量的計(jì)算和分析.得以嚴(yán)謹(jǐn)化。在初中階段，數(shù)形結(jié)合的“形”可以是數(shù)軸、函數(shù)的圖象和幾何圖形等等.它們都具有形象化的特點(diǎn)數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面；（l）以形助數(shù)，幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念如教師可以用數(shù)軸上點(diǎn)

17、和實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)講清相反數(shù)、絕對(duì)值的概念以及比較兩個(gè)數(shù)大小的方法；運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)討淪一元三次方程的根以及討論一7乙一次小等式等等（2）以數(shù)助形，幫助學(xué)生簡(jiǎn)化解題方法。初中數(shù)學(xué)中還滲透了類比、歸納、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思想方法這些思想力一法之間，是相互滲透、互相促進(jìn)的，在數(shù)學(xué)教 學(xué)中要有機(jī)地結(jié)合起來(lái)四、如何加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)思想方法的滲透1 .把握數(shù)學(xué)思想方法的層次性根據(jù).大綱”精神.在初中要求了解”的數(shù)學(xué)思想有轉(zhuǎn)化、分類討論、 數(shù)形結(jié)合、類比等要求“了解”的方法有分類法、類比垮、反證法 ；要求理解”或“會(huì)應(yīng)用”的方法有待 定系數(shù)法、消兀法、降次法、配方法、換元法、圖象法。這吸“了解”、“理解”、“會(huì)

18、運(yùn)用”是教學(xué)要 求的具體尺子.隨便提高或降低都會(huì)給這一基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)帶來(lái)災(zāi)難2 .加強(qiáng)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程.適時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法萊布尼茲有一句名言：“沒(méi)有什么比看到發(fā)明的源泉（過(guò)程）比發(fā)明本身吏重要了”。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)是數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)果的教學(xué).而應(yīng)是數(shù)學(xué)活動(dòng)思維活動(dòng)）過(guò)程的教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程.實(shí)際上也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過(guò)程。我們?cè)诮虒W(xué)中不僅要告訴學(xué)且有哪些數(shù)學(xué)思想和力一法.它們各有什么用.而且更重要的是向?qū)W生展現(xiàn)概念的形成過(guò)程、結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、方法的思考過(guò)程、問(wèn)題的被發(fā)現(xiàn)過(guò)程、思路的探索過(guò)程、規(guī)律的被揭示過(guò)程等。否則學(xué)生遇到新問(wèn)題時(shí)，盡管頭腦中也知道 要在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下解決，但仍然不知從何處人手3 .既要突出重點(diǎn).又要逐步滲透在教學(xué)過(guò)程的不同階段，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)應(yīng)有所不同。 在低年級(jí)介紹較低層次，在高年級(jí)介2S較高層次；新授課階段介紹低層次的，復(fù)習(xí)鞏固階段介紹較高層次的。下 面以二元一次方程組的解法的教學(xué)為例加以說(shuō)明：開(kāi)始講代入消元法和加減消元法，讓學(xué)生明確兩者雖然不同，但作用卻是一致的一都把二元一次方程組化為一元一次方程，兩者統(tǒng)一稱為消元法。消元的思想是解 二元一次方程組的基本思想；在復(fù)習(xí)階段則讓學(xué)生理解消元思想實(shí)施的結(jié)果是化二元為一元，即化