數(shù)學(xué)建模作業(yè)

1、數(shù)學(xué)建模作業(yè)學(xué)號(hào) 姓名 工作量100 %專業(yè) 所屬學(xué)院指導(dǎo)教師二。一七年六月數(shù)學(xué)建模作業(yè)第一部分：請(qǐng)?jiān)谝韵聝深}中任選一題完成(20分)。1、(馬王堆一號(hào)墓入葬年代的測(cè)定建模問題)湖南省長(zhǎng)沙市馬王堆一號(hào)墓于1972年8月發(fā)掘出土，其時(shí)測(cè)得出土的木炭標(biāo)本中碳-14平均原子蛻變數(shù)為 次/分鐘，而新燒成的同種木材的木炭標(biāo)本中碳 -14 (C-14)原子蛻變數(shù)為 次/分鐘.又知碳-14的半衰期為5730年，試推斷該一號(hào) 墓入葬的大致年代。問題分析：放射性元素衰變的速度是不受環(huán)境影響的， 它總是和該元 素當(dāng)前的量成正比，運(yùn)用碳一14測(cè)定文物或化石年代的方法是基于 下面的理由：(1)宇宙射線不斷轟擊大氣層，

2、使大氣層中產(chǎn)生碳一 14而同時(shí)碳一 14又在不斷衰變，從而大氣層中碳一14含量處于動(dòng)態(tài)平衡中，且其 含量自古至今基本上是不變的；(2)碳一14被動(dòng)植物體所吸收，所以活著的生物體由于不斷的新陳 代謝，體內(nèi)的碳一14也處于動(dòng)態(tài)平衡中，其含量在物體中所占的百 分比自古至今都是一樣的；(3)動(dòng)植物的尸體由于停止了從環(huán)境中攝取碳一14,從而其體內(nèi)碳-14含量將由于衰變的不斷減少，碳定年代法就是根據(jù)碳一14的減少量來判斷物體的大致死亡時(shí)間。模型建立設(shè)t時(shí)刻生物體中碳一14的含量為x (t),放射性物質(zhì)的半衰期(即放射性物質(zhì)的原子數(shù)衰減一半所需的時(shí)間)為 T,生物體死亡 將所得的數(shù)學(xué)模型的一般解應(yīng)用于本例，

3、此時(shí)以時(shí)間為t0 ,則由放射性物質(zhì)衰變規(guī)律得數(shù)學(xué)模型dx dt x(to)x,Xo,其中o稱為衰變系數(shù)，由放射性物質(zhì)所決定，xo為生物體在死亡時(shí)刻to時(shí)的碳一14含量。模型求解對(duì)所得的一階線性微分方程模型采用同變量分離法求解，得xd(t to) ?x(t) xoe由于t t0 T時(shí)，有1x(t) x(to T)9。？?代入上式，有1 e 2TIn-2 ?2' T 所以得ln2(t to)x(t) xoe T這就是生物體中碳一14的含量隨時(shí)間衰變的規(guī)律，由之易解得T=5730,% 38.37（新木炭標(biāo)準(zhǔn)中碳一14原子蛻變數(shù)），X（1972）二木出土的木炭標(biāo)本中碳一14原子蛻變數(shù)）代入到式

4、, 得?t5730m38.37 2095 年ln 229.78于是得?t0 t 2095 1972 2095123 年結(jié)果表明，馬王堆墓入葬年代大約在公元前123年左右的西漢中 期，該結(jié)論與馬王堆出土文物的考證結(jié)果相一致。 本例中所顯示出的 運(yùn)用碳一14衰變來測(cè)定文物或化石年代的方法叫做碳定年代法。第二部分：請(qǐng)談?wù)勛约郝犝n后的感受及對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)（20分）。在數(shù)學(xué)建模課程中，雖然只有短短的一上午，但是老師帶領(lǐng)著我 們打開了新世界的大門，對(duì)于我們城鄉(xiāng)規(guī)劃的學(xué)生，數(shù)學(xué)距離我們已 經(jīng)有些距離了。從大一學(xué)習(xí)較容易的高等數(shù)學(xué)之后，與數(shù)學(xué)便失去了緣分。數(shù)學(xué)建模的課程中，老師給我們講了包餃子的問題，設(shè)置路

5、障 的問題都可以延伸到生活中的很多問題，為我們提供了一種新的思考 方式，更加緊密的將數(shù)學(xué)與生活連接在了一起。數(shù)學(xué)建模，是一種比較全面體現(xiàn)我們綜合能力的方式，不僅是對(duì)我們專業(yè)知識(shí)的大練兵，更重要的是培養(yǎng)我們嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度和 刻苦鉆研的毅力；學(xué)會(huì)尊重實(shí)踐數(shù)據(jù)，倡導(dǎo)嬋精竭慮的研究過程。所 有這些都是我們實(shí)現(xiàn)科技創(chuàng)新所必需的基本要求。面對(duì)實(shí)際問題，必須要對(duì)它進(jìn)行抽象化套用數(shù)學(xué)原理建立模型,同時(shí)要根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對(duì)實(shí)際的結(jié)果進(jìn)行理論分析和預(yù)測(cè)，不妨稱之為預(yù)期結(jié)果；然后通過描述模型進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算，得到數(shù)據(jù)結(jié)果，我們不 妨稱之為理論結(jié)果。這樣不難把事先分析的預(yù)期結(jié)果和理論結(jié)果進(jìn)行 分析比較，認(rèn)真深入分析，不斷

6、改進(jìn)理論模型，分析數(shù)據(jù)結(jié)果的緣由。 通過不斷改進(jìn)模型甚至完全否定先前所做的一切抽象假設(shè)，另建模 型，這實(shí)際上是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問題一一解決問題一一再發(fā)現(xiàn)問題的過 程。這一過程鍛煉了我們的分析能力、動(dòng)手操作能力和鉆研能力，這 也是一個(gè)逐步改進(jìn)，逐步創(chuàng)新的過程。在這一過程中，我們不斷糾正 和深入對(duì)實(shí)際問題的認(rèn)識(shí)，反復(fù)提煉問題的關(guān)鍵所在，不斷嘗試使用 不同的方法分析比較，尋求解決問題的最佳方案。我們調(diào)用大腦中所 有的知識(shí)積累，通過反復(fù)驗(yàn)證使用的原理方法，實(shí)現(xiàn)解決問題方案的 可行性、準(zhǔn)確性，獨(dú)到性，這是一個(gè)非常艱辛的創(chuàng)造過程。第三部分：灰色關(guān)聯(lián)分析方法建模問題（60分）。B題：研究表明，影響軟件項(xiàng)目維護(hù)成

7、本的因素如圖1所示。現(xiàn)知某軟件公司2016年A、B、C、D E等五個(gè)軟件項(xiàng)目維護(hù)成本支出及其 影響因素維護(hù)成本支出分?jǐn)偟墓浪銛?shù)據(jù)如表 1所示，試應(yīng)用灰色關(guān) 聯(lián)分析方法分析影響維護(hù)成本的主要 影響因素。圖1 軟件項(xiàng)目維護(hù)成本影響因素指標(biāo)體系注：本題要求要有模型方法、數(shù)據(jù)、結(jié)果分析與比較，并以圖表的形式0引言軟件維護(hù)是軟件交付用戶使用后，為保證軟件安全穩(wěn)定運(yùn)行而對(duì) 其進(jìn)行修改的過程.通過維護(hù)修改軟件缺陷，提高軟件性能或其它屬 性，使軟件產(chǎn)品適應(yīng)新環(huán)境，延長(zhǎng)軟件生命周期 .軟件維護(hù)工作量 很大，雖然在不同的應(yīng)用領(lǐng)域維護(hù)成本差別很大，但平均說來，大型軟件項(xiàng)目的維護(hù)成本高達(dá)開發(fā)成本的 4 倍左右目前國(guó)外

8、許多軟件開發(fā)組織把 60 的人力用于維護(hù)已有軟件， 而且隨著軟件數(shù)量增多和使用壽命延長(zhǎng)，這個(gè)百分比還在持續(xù)上升J 對(duì)軟件項(xiàng) 目維護(hù)成本影響因素進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析， 找出影響程度較高的主要因素， 在制定維護(hù)計(jì)劃以及維護(hù)管理過程中著重控制好這些主要因素， 是降低維護(hù)成本、提高軟件企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的重要手段同時(shí)，通過對(duì)影響因素的關(guān)聯(lián)分析， 在開發(fā)階段就解決好主要因素引起的潛在問題， 對(duì)于提高軟件質(zhì)量、 降低軟件成本、 為用戶提供更優(yōu)良的服務(wù)等方面具有重要意義1 指標(biāo)體系影響因素指標(biāo)體系構(gòu)建是關(guān)聯(lián)分析的基礎(chǔ)性工作，構(gòu)建方法通常是對(duì)搜集到的數(shù)據(jù)歸納整理，然后根據(jù)尺度進(jìn)行衡量，既要運(yùn)用邏輯推理的方法，也要以事實(shí)為依

9、據(jù)，將主、客觀因素相結(jié)合，通常使用專家評(píng)價(jià)法、經(jīng)濟(jì)分析法和運(yùn)籌學(xué)方法等構(gòu)建過程中要以構(gòu)建的一般原則為指導(dǎo)并綜合反映問題的本質(zhì)根據(jù)軟件維護(hù)的特點(diǎn)并結(jié)合前人的研究成果，影響軟件維護(hù)成本主要有開發(fā)方因素（ 即開發(fā)因素 ） 和用戶方因素（ 即用戶因素） ，各因素構(gòu)成的遞階層次分析結(jié)構(gòu)模型如圖 1 所示2 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是針對(duì)系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系，采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括或近似表述出的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，借助數(shù)學(xué)符號(hào)刻畫系統(tǒng)的關(guān)系結(jié)構(gòu)本文按求解步驟構(gòu)建數(shù)學(xué)模型步驟 1 ：無量綱化處理各因素組成的序列， 一般來說取值單位或量級(jí)不盡相同， 因而無 法直接進(jìn)行比較 無量綱化的目的是消除不同因素在單位、 量級(jí)上的差異

10、常用的方法包括：均值法、向量規(guī)范化 （ 標(biāo)準(zhǔn)化 ） 、一般線性變換法、 歸一化處理法、 極值處理法、 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化法、 數(shù)據(jù)均值化、初值化法等 本文采用數(shù)據(jù)均值化 數(shù)據(jù)均值化是用數(shù)據(jù)列中所有數(shù)據(jù)的平均值去除所有數(shù)據(jù)，得到一個(gè)占平均值百分比為多少的新序列設(shè)原始的凡+ 1 個(gè)序列為 z （ ）（i=0， 1， n； =1 ， 2， ，rn） 第 i 個(gè)序列的平均值為：數(shù)據(jù)均值化處理后的新序列為：步驟 2 ：計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)關(guān)聯(lián)系數(shù)是考慮數(shù)據(jù)列曲線間幾何形狀的差別， 用曲線之間差值的大小作為衡量關(guān)聯(lián)系數(shù)的依據(jù)步驟 3 ：計(jì)算關(guān)聯(lián)度關(guān)聯(lián)系數(shù)是比較序列與參考序列在各個(gè)時(shí)刻 （ 即曲線中的各點(diǎn) ）的關(guān)聯(lián)程度值

11、， 數(shù)據(jù)較多， 信息過于分散不便于整體性比較 因此，有必要將各個(gè)時(shí)刻的關(guān)聯(lián)系數(shù)集中為一個(gè)值，即求其平均值，作為比較序列與參考序列問關(guān)聯(lián)程度的數(shù)量表示 比較序列 與參考序列 。的關(guān)聯(lián)度r 的計(jì)算公式為：步驟 4 ：關(guān)聯(lián)度排序與結(jié)果分析因素間的關(guān)聯(lián)程度，主要用關(guān)聯(lián)度的大小次序描述，而不僅僅是關(guān)聯(lián)度的大小關(guān)聯(lián)度越大則表明參考序列與比較序列之間關(guān)系越密切，關(guān)聯(lián)度越小則表明參考序列與比較序列之間關(guān)系越不密切關(guān)聯(lián)度的排列順序就是影響因素對(duì)維護(hù)成本大小影響程度的排 列順序，進(jìn)而對(duì)影響因素進(jìn)行分析，找到降低維護(hù)成本的途徑3 實(shí)例分析現(xiàn)以某軟件公司2012年A、B、c、D E等五個(gè)軟件項(xiàng) 目維護(hù)成本支出及其各影

12、響因素維護(hù)成本支出分?jǐn)偟墓浪銛?shù)據(jù)為例，說明運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析來尋找維護(hù)成本主要影響因素的具體應(yīng)用軟件維護(hù)成本原始數(shù)據(jù)如表1 所示步驟1 ：無量綱化處理無量綱化處理結(jié)果如表2 所示步驟2 ：計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)首先，計(jì)算兩級(jí)最小差和兩極最大差，結(jié)果如表3 所示渤海大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)然后，計(jì)算關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表4 所示：步驟3 ：計(jì)算關(guān)聯(lián)度步驟4 ：關(guān)聯(lián)度排序與結(jié)果分析根據(jù)關(guān)聯(lián)度值確定了影響因素權(quán)重.弓I,結(jié)果見表 5中的第二行所示關(guān)聯(lián)度排序結(jié)果 見表 5 中的第三行數(shù)據(jù)各影響因素對(duì)維護(hù)成本影響程度大小分別是： “需求理解錯(cuò)誤、設(shè)計(jì)錯(cuò)誤、增加新功能、需求變更、業(yè)務(wù)變化、軟件升級(jí)完善、員工操作失誤、提高系統(tǒng)性能、 支撐環(huán)境變化、 測(cè)試不充分、 代碼編寫錯(cuò)誤、 設(shè)備物理?yè)p壞” 從排序結(jié)果可以得出：(1) “需求理解錯(cuò)誤” 與軟件維護(hù)