粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

1、第七章第七章 粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) 71 引言引言 72 粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程 納維納維斯托克斯方程斯托克斯方程 73 兩同心圓柱間的軸向流動(dòng)兩同心圓柱間的軸向流動(dòng) 74 兩平行平板間的流動(dòng)兩平行平板間的流動(dòng) 75 繞圓球的小雷諾數(shù)流動(dòng)繞圓球的小雷諾數(shù)流動(dòng) 76 紊流的基本方程紊流的基本方程雷諾方程雷諾方程第七章第七章 粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)7-1 7-1 引言引言 自然界中的真實(shí)流體都是具有粘性的，因此研究粘性流體的動(dòng)力學(xué)問題，對(duì)于工程實(shí)際有著重要的意義。3-4 納維-斯托克斯方程式在實(shí)際流體中，流體微元表面上，既有壓應(yīng)力p的作用，又有切

2、應(yīng)力的作用，在實(shí)際流體中取出邊長(zhǎng)為dx，dy，dz的六面體微元。)(kvjvivvzyx微元的運(yùn)動(dòng)速度為微元運(yùn)動(dòng)加速度為kdtdvjdtdvidtdvdtvdazyx六面體微元的質(zhì)量為dxdydz 應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo) 表示應(yīng)力作用面的法線方向；第二個(gè)下標(biāo) 表示應(yīng)力的方向。當(dāng) 時(shí) 代表法向應(yīng)力，否則代表切應(yīng)力 。將它們標(biāo)注在包含A點(diǎn)在內(nèi)的三個(gè)微元表面上，則如圖71所示，這里假定外界對(duì)微元這三個(gè)表面的法向應(yīng)力都沿坐標(biāo)的正向，切向應(yīng)力都沿坐標(biāo)的負(fù)向。 ijji ijFxMydzoyzdxdpxxzyxzpyyyxyzpzzxyzx三個(gè)面上的九個(gè)應(yīng)力構(gòu)成應(yīng)力矩陣zzzyzxyzyyyxxzxyxxppp

3、3-4 納維-斯托克斯方程式微元六面體的質(zhì)量力為dxdydzkfjfifFzyx)(X方向的應(yīng)力表示前后面的應(yīng)力dxxpppxxxxxx,左右面的應(yīng)力dyyyxyxyx,上下面的應(yīng)力dzzzxzxzx,xMydzoyzdxdpxxzyxzpyyyxyzpzzxyzx3-4 納維-斯托克斯方程式由牛頓第二定律amF 微元六面體x向的運(yùn)動(dòng)方程為：dxdydzzdxdydxdzdyydxdzdydzdxxppdydzpdxdydzfdxdydzdtdvzxzxzxyxyxyxxxxxxxxx)()()(整理得dtdvzyxpfxzxyxxxx)(13-4 納維-斯托克斯方程式zvppyvppxvpp

4、zzzyyyxxx222 1 1zpyxfdtdvzypxfdtdvzzzyzxzzyzyyyxyy同樣可得根據(jù)牛頓廣義內(nèi)摩擦定律：根據(jù)牛頓廣義內(nèi)摩擦定律： xvzvyvzvyvxvzxzxxzzyzyyzxyyxxy二、本構(gòu)方程、本構(gòu)方程 為建立牛頓流體的本構(gòu)方程，斯托克斯 提出如下假設(shè)：Stokes （1）小變形，即應(yīng)力與變形速度成線性； （2）各向同性，即應(yīng)力與變形速度的關(guān)系不隨坐標(biāo)變換而變化； （3）當(dāng)粘性系數(shù) 時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)簡(jiǎn)化為理想流體的應(yīng)力狀態(tài)。0如前所述，當(dāng)粘性流體發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)dtddydu（72） 確定應(yīng)力與變形速度關(guān)系的方程叫做本構(gòu)方程。 定義：定義： 根據(jù)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析

5、可知，流體微團(tuán)在xoy平面上的角變形速度為yuxudtddxyz2 將式（72）中 以 代之dtddtddxuzuzuyuyuxuzxyxzzxyzxzyyzxyzyxxy222同理（73）式（73）稱為廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。 在粘性流體中，與角變形速度產(chǎn)生切應(yīng)力一樣，線變形速度產(chǎn)生附加切應(yīng)力。根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律zuyuxuzzzyyyxxx222（74）式（73）、（74）為本構(gòu)方程。實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，一點(diǎn)上的法向應(yīng)力為5a)(7 222zupppyupppxupppztzztzzytyytyyxtxxtxx式中 為理想流體運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)壓強(qiáng)。tp由統(tǒng)計(jì)平均各向同性壓強(qiáng)的定義，得 0 00 00 0

6、 xxyyzzppp由（1-14）（1-15）靜止流體不顯示粘性，理想流體模型無(wú)粘性。根據(jù)靜止流體和理想流體的性質(zhì)可知， =xxyyzzpppp流體靜力學(xué)中的壓強(qiáng)3-4 納維-斯托克斯方程式帶入方程后，x方向上可得dtdvvxvxpfxxx212222222zyx式中（拉普拉斯算子）如果流體不可壓縮0zvyvxvzyxdtdvvxpfxxx21則方程式簡(jiǎn)化為dtdvvzpfdtdvvypfdtdvvxpfzxzyyyxxx2221113-4 納維-斯托克斯方程式同樣可以得到 該式為不可壓縮實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式，一般稱為納維-斯托克斯方程式或N-S方程式。 N-S方程是表達(dá)不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)最

7、全面的一個(gè)二階非方程是表達(dá)不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)最全面的一個(gè)二階非線性非齊次的偏微分方程組，用數(shù)值計(jì)算方法在工程計(jì)算線性非齊次的偏微分方程組，用數(shù)值計(jì)算方法在工程計(jì)算中的應(yīng)用具有非常重要的意義。中的應(yīng)用具有非常重要的意義。7-3 7-3 兩同心圓柱間的軸向流動(dòng)兩同心圓柱間的軸向流動(dòng) 如圖72所示，半徑為 的圓管內(nèi)有一半徑為 的同軸圓柱體。設(shè)圓管固定，圓柱體以勻速 運(yùn)動(dòng)，流體沿軸向流動(dòng)。1r2rzr1r2r圖77兩同心圓柱體間的軸向流動(dòng) 采用柱坐標(biāo)系，使 z 軸與管軸重合，由于對(duì)稱性和流體沿軸向流動(dòng)，則有 。據(jù)此代入連續(xù)性微分方程式（315）得 ，即 ，對(duì)于定常流動(dòng) ，若不計(jì)質(zhì)量力，則NS方程式（77

8、）成為0, 0uur0zuz ruuzz0t0110122rurruvzprpzz（79） 由式（78）中的第一式分析可知 ，考慮到 ，則第二式可改寫為 zPP ruuzzdzdpdrdurdrdrdzdpdrdurdrudzzz111122或 上式左端是 r 的函數(shù)，右端是 z 的函數(shù)，要使等式成立，必有 ，積分上式得常數(shù)dzdp212ln41CrCrdzdpuz（710） 利用邊界條件 可得Uuurrzrrz210和11221222212121221221lnln41lnlnln41rrrrrrdzdprrrUCrrrrdzdpUC將其代入式（710）得這就是兩同心圓柱體間的定常層流流動(dòng)的

9、速度分布規(guī)律。1122122221112lnln41lnlnrrrrrrrrdzdprrrrUuz（711） 當(dāng) 時(shí)，式（711）可化簡(jiǎn)為02r22141rrdzdpuz（712）油缸柱塞LFPed圖 73 例題 71 圖例題例題71已知圖73所示的油缸內(nèi)油的相對(duì)壓強(qiáng) 油的動(dòng)力粘性系數(shù) ，柱塞的直徑 d=50mm，套筒的長(zhǎng)度 。套筒與柱塞間隙 設(shè)以力F推著柱塞使其保持不動(dòng)，試求油的漏損流量Q。,10418.294PaPesPa1 . 0mml300mm,05. 0 解解 在式（711）中令 的速度分布為01122122221lnln41rrrrrrrrdzdpuz（713）則流過(guò)環(huán)形縫隙的漏損

10、流量為12241224241ln8212rrrrrrdzdprdruQrrz（714）式中;252,05.2505. 025221mmdrmmdr柱塞與套筒間隙中的壓強(qiáng)梯度mKPaLpdzdpe/6 .9803 . 010418.29004將已知數(shù)據(jù)代入式（713），得scmsmQ33822244016. 01060. 102505. 0025. 0ln02505. 0025. 0025. 002505. 09806001 . 087-4 7-4 兩平行平板間的流動(dòng)兩平行平板間的流動(dòng) 如圖74所示，設(shè)平板尺寸無(wú)限大，且下板固定，上板以勻速U運(yùn)動(dòng)，流體沿 y 方向流動(dòng)。Uxoyz圖74兩平行平板

11、間的流動(dòng) 由于流動(dòng)定常， ，又因平板在 x 方向尺度為無(wú)窮大，且流體僅沿 z 方向流動(dòng)， 故據(jù)此由連續(xù)微分方程式（314）得 。若質(zhì)量力僅有重力， ，則NS方程式（76）成為0t, 0, 0 xuuzx zuuyuyyy即, 0gfffzyx, 0010122zuvypdzdpgy（715） 由式（715）中第一式分析可知，y方向的壓強(qiáng)梯度 考慮到 ，則第二等式改寫成無(wú)關(guān)，與zyp zuuyyypdzudy122將上式對(duì) z 兩次積分，得21221CzCzypuy 利用邊界條件 可以確定出積分常數(shù)Uuuzyzy和000,2121CypUC于是得速度分布為zzypzUuy21（716） 例題例題

12、72試用本節(jié)所述方法求解例71。 解解 將柱塞與套筒間的同心環(huán)形縫隙在平面上展開，則轉(zhuǎn)化成寬度為 的平面縫隙。 dyyzpuz21則通過(guò)縫隙的漏損流量為300122zpdydyyzpddyduQz其中kPa/m6 .9803 . 010418.29004Lpzpe 將已知數(shù)據(jù)代入前式得 ，與按同心環(huán)形縫隙流動(dòng)計(jì)算結(jié)果相同。scmQ2016. 00U 因柱塞保持不動(dòng)，故知為壓差流動(dòng)問題，由式（716）令 得速度分布為7-5 7-5 繞流圓球的小雷諾數(shù)流動(dòng)繞流圓球的小雷諾數(shù)流動(dòng) 在工程實(shí)際中，我們經(jīng)常要研究固體微粒和液體細(xì)滴在流體中的緩慢運(yùn)動(dòng)，這里，圓球是經(jīng)常遇到的幾何形狀。如爐膛空氣流中的煤粉顆

13、粒，油滴，煙道煙氣中的灰塵，水蒸氣中的水滴以及水中沉降的泥砂等，都可以近似看作小圓球。對(duì)這些小圓球的研究，通常根據(jù)力學(xué)上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，將圓球視作不動(dòng)，而把圓球和流體的相對(duì)速度作為來(lái)流速度 將原來(lái)的非定常問題轉(zhuǎn)化為定常問題來(lái)處理。,u 研究圓球繞流問題，采用球坐標(biāo)系較為方便。如圖89所示，取球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，使 為流動(dòng)方向。在小雷諾數(shù)的緩慢流動(dòng)（又稱蠕流）情況下，有流體對(duì)球體起控制作用的粘性力，慣性力與之比較要小得多，因此研究中可以略去非線性的慣性項(xiàng)不計(jì)，根據(jù)定常及軸對(duì)稱條件：若不計(jì)質(zhì)量力，則NS方程式（78）及連續(xù)性方程式（315a）可簡(jiǎn)化為0, 0, 0, 0ut0cot212sin1cot

14、212cot221cot2222222222222222222urruurruurruururrurrurururruururrurrurrrrrrrrrrr（717） 考慮粘性流體繞圓球流動(dòng)時(shí)球面上和無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件ppuuuuruurrrr,sin,cos0,00時(shí)時(shí)cos2341431sin21231cos033003300urrpprrrruurrrruur（718）可得解 利用上式可以確定圓球表面上的應(yīng)力，由于圓球?yàn)檩S對(duì)稱，其合力必沿 z 方向，可解得duurFD360（719） 這就是小雷諾數(shù)繞圓球流動(dòng)阻力的斯托克斯公式，式中d為圓球直徑。式（719）也可改寫成：22uACFDD

15、（720） 式中，A為迎流面積，對(duì)圓球而言， ； 為無(wú)量綱阻力系數(shù)24dADCRe2422uAFCDD （721） 式中 ，實(shí)驗(yàn)證明，只有當(dāng)雷諾數(shù) 時(shí)，上式才正確。duRe1Re 顆粒在流體中的等速沉降速度一般公式為：gdCuD34流體密度。顆粒密度，式中： 7-6 7-6 紊流的基本方程紊流的基本方程雷諾方程雷諾方程,zyxuuu 液體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彼此互相混摻，某一空間點(diǎn)處的流速及壓強(qiáng)隨時(shí)間而變化，設(shè)某一空間點(diǎn)處的瞬時(shí)流速為瞬時(shí)壓強(qiáng)為 ，工程上常采用時(shí)均化的處理方法。p 設(shè)紊流流動(dòng)要素瞬時(shí)值 ，這里 分別為相應(yīng)的時(shí)均值和脈動(dòng)值。由時(shí)間平均定義可證明：iiiaaaiiaa和TTadtTdt

16、aTaaaaaaaaaaaaaaaaaaccaaaaa002121221121212121211101、2、3、4、5、6、（722）（723）（724）（725）（726）（727） 紊流的基本特征：紊流的基本特征：。或或或可為式中tzyxzuuyuuxuutuzuyuxuvzpfzxyxxxxxxxx2222221對(duì)上式進(jìn)行時(shí)間平均，根據(jù)時(shí)均運(yùn)算法則，并且時(shí)均化后的連續(xù)性微分方程0zuyuxuzyx（728)下面我們利用上述時(shí)均運(yùn)算法則，導(dǎo)出紊流時(shí)均勻運(yùn)動(dòng)的雷諾方程。以x軸為例，將連續(xù)方程式（3 14)各項(xiàng)乘以后疊加在式（77）中第一式的右端得xu可得zuuyuuxuutuzzuuyuux

17、uuzuyuxuxpfzuuyuuxuutuzuuyuuxuuzuyuxuypfzuuyuuxuutuzuuyuuxuuyuyuxuxpfzzzyzxzzyzxzzzzzyzyyyxyzyyyxyyyyyxzxyxxxyxyxyxxxxx222222222222222222(729)式（728）即為紊流的基本方程，它是1894年由雷諾首先提出的，故又稱雷諾方程。 將雷諾方程與適用于層流或紊流瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的方程相比較，可以看出雷諾方程多出了)(),(),(,zxxzyzzyxyyxzzyyxxuuuuuuuuuuuuuuuuuu六項(xiàng)，其中前、后三項(xiàng)分別表示紊流脈動(dòng)而產(chǎn)生的附加法向應(yīng)力和附加切應(yīng)力，統(tǒng)

18、稱為雷諾應(yīng)力。雷諾方程加上時(shí)均連續(xù)性微分方程共有四個(gè)方程式，而未知量卻有十個(gè)，故方程組不封閉，因此僅用這四個(gè)基本方程無(wú)法求解，紊流問題還需補(bǔ)充新的方程式。 第七章第七章 習(xí)習(xí) 題題 71 求粘性壓應(yīng)力和切應(yīng)力 xx,yy 和 xy ,已知流速分量為： （1）ux = 2ax , uy =2ay （2） ux = , uy =22yxy22yxx72 試求二維固定平行壁之間不可壓縮定常粘性流動(dòng)（略去質(zhì)量力）的下列參數(shù)： （1）速度 u 的表達(dá)式和最大流速 umax ; （2） 一段長(zhǎng)度 L 上的壓強(qiáng)降 的表達(dá)式； （3） 求斷面平均流速 ； （4）壁面切應(yīng)力 ； （5）總摩擦力 T。pu0 xoyh2 72 題 附 圖解：2 , 0 , 0 , y )2)(1 0 SN 0 , )( )(1 )(1 SN 0 12212122222222222hCCuhCyCyxpuxpypxpyuvyuuyvxvypyvvxvuyuxuxpyuvxuuyvxu積分二次：軸方向變化。僅沿說(shuō)明方程變?yōu)椋阂驗(yàn)榉匠塘羞B續(xù)性方程）（力。用于克服壁面的摩擦阻由此可知，壓力降全部壓力降比較與兩側(cè)壁面總摩擦力壁面摩擦力單位寬度）（）（）（）（拋物線分布， 4) 12( 4)(22 ) 1( 5