保險精算 第4章1 人壽保險的精算現(xiàn)值

1、第四章第四章人壽保險的精算現(xiàn)值人壽保險的精算現(xiàn)值(躉繳純保費厘定) 人壽保險簡介什么是人壽保險狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標的的一種保險。 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標的的一種保險。它包括以保障期內(nèi)被保險人死亡為標的的狹義壽險，也包括以保障期內(nèi)被保險人生存為標底的生存保險和兩全保險。壽險產(chǎn)品介紹壽險產(chǎn)品介紹傳統(tǒng)個人壽險和年金產(chǎn)品傳統(tǒng)個人壽險和年金產(chǎn)品1投資類保險產(chǎn)品投資類保險產(chǎn)品2附加保險附加保險3團體保險團體保險4傳統(tǒng)壽險和年金產(chǎn)品傳統(tǒng)壽險和年金產(chǎn)品人身險定期壽險意外險終身壽險兩全保險健康保險生存年金投資類保險產(chǎn)品投資類保險產(chǎn)品 常見附加險產(chǎn)品疾病保險醫(yī)療

2、費用住院津貼收入補償收入補償意外險意外險Cycle name主險附加產(chǎn)品主險附加產(chǎn)品團體保險概念團體：團體：5人以上人以上用一張保單用一張保單對一團體的人提供保障對一團體的人提供保障同一險種同一險種團體保險特點團體保險特點 精算方法不同費率不同管理方式和費用不同團險種類團險種類團體年金團體年金團體意外險團體意外險團體壽險團體壽險團體健康險團體健康險人壽保險的性質(zhì)保障的長期性這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。保險賠付金額和賠付時間的不確定性人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，

3、它依賴于被保險人剩余壽命分布。被保障人群的大數(shù)性這就意味著，保險公司可以依靠概率統(tǒng)計的原理計算出平均賠付并可預測將來的風險。一、保費繳納的形式躉繳保費 一次性繳清的保費。均衡保費 分期繳納的保費。二、純保費只考慮死亡給付，不考慮費用的保費。三、保險金特點1、支付的數(shù)量是確定的，但給付的時間不能確定；2、保險金的給付是在將來，簽單時在現(xiàn)在；3、保險金的兩種給付：死亡立即給付；死亡年末給付。四、常見的險種1、定期壽險2、終身壽險3、兩全保險4、生存保險（以生存為給付條件）5、遞增型壽險6、遞減型壽險五、計算原理原則保費凈均衡原則躉繳純保費=未來給付在簽單時的期望值 =（死亡給付的精算現(xiàn)值）解釋所謂

4、凈均衡原則，即保費收入的期望現(xiàn)時值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)時值。它的實質(zhì)是在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費期望現(xiàn)時值等于支出期望現(xiàn)時值 躉繳純保費的厘定假定條件:假定一：同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨立同分布的。假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗生命表進行擬合。假定三：保險公司可以預測將來的投資受益（即預定利率）。第四章第四章 人壽保險的精算現(xiàn)值人壽保險的精算現(xiàn)值4.1 死亡即付的人壽保險死亡即付的人壽保險4.2 死亡年末給付的人壽保險死亡年末給付的人壽保險4.3 死亡即付與死亡年末付人壽保險死亡即付與死亡年末付人壽保險的精算現(xiàn)值的關(guān)系的精算現(xiàn)值的關(guān)

5、系4.4 遞增型人壽保險與遞減型人壽保遞增型人壽保險與遞減型人壽保險險精算現(xiàn)值的概念精算現(xiàn)值的概念精算現(xiàn)值即精算現(xiàn)值即躉繳純保費躉繳純保費， 未來保險金給付在簽單時的現(xiàn)值，即一次未來保險金給付在簽單時的現(xiàn)值，即一次性繳清的純保費，它是以預定利率和預定死性繳清的純保費，它是以預定利率和預定死亡率為基礎(chǔ)計算的。亡率為基礎(chǔ)計算的。4.1 死亡即付的人壽保險死亡即刻賠付的含義死亡即刻賠付的含義指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)保險責任范圍內(nèi)的死亡的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應(yīng)用場合，保險公刻給

6、予保險賠付。它是在實際應(yīng)用場合，保險公司通常采用的理賠方式。司通常采用的理賠方式。由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即付時刻是一個連續(xù)隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命?；痉?投保年齡。投保年齡。 保險金給付函數(shù)。保險金給付函數(shù)。 貼現(xiàn)函數(shù)。貼現(xiàn)函數(shù)。 從簽單到死亡的時間長度。從簽單到死亡的時間長度。 未來給付保險金在保單生效時的現(xiàn)值。未來給付保險金在保單生效時的現(xiàn)值。)(xtbtvtztttvbzt精算現(xiàn)值計算精算現(xiàn)值計算考慮到死亡即付的保險金在余命考慮到死亡即付的保險金在余命 未來保險金在簽單時的現(xiàn)值為未來保險金在簽單時的現(xiàn)值為 ：未來

7、保險金給付在簽單時的精算現(xiàn)值。：未來保險金給付在簽單時的精算現(xiàn)值。 凈均衡原則，即保費收入的期望現(xiàn)值正好等于將凈均衡原則，即保費收入的期望現(xiàn)值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)值。它的實質(zhì)是來的保險賠付金的期望現(xiàn)值。它的實質(zhì)是在統(tǒng)計意義在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費期望現(xiàn)值等于上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費期望現(xiàn)值等于支出期望現(xiàn)值支出期望現(xiàn)值 。)(xTTTTvbZ )(TZE這一時刻給付，這一時刻給付，主要險種的精算現(xiàn)值（躉繳純保費）主要險種的精算現(xiàn)值（躉繳純保費） n年期定期壽險年期定期壽險 終身壽險終身壽險 延期壽險延期壽險 延期延期m年的終身壽險年的終身壽險/延期延期m

8、年的年的n年定期壽險年定期壽險 n年期生存保險年期生存保險 n年期兩全保險年期兩全保險定義定義保險人只對被保險人在投保后的保險人只對被保險人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險年內(nèi)發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為責任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為n年年期死亡保險。期死亡保險。假定假定: : (x x) 投保投保n年定期壽險，保險金額年定期壽險，保險金額1元。元?；竞瘮?shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系 , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn4.1.2 n年定期壽險的精算現(xiàn)值年定期壽險的精算現(xiàn)值簽單時保險金給付現(xiàn)值隨機變量為簽單時保險金給付現(xiàn)值隨機變量為

9、設(shè)設(shè) 的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 ，則，則 表示表示n年期死亡保險的精算現(xiàn)值。年期死亡保險的精算現(xiàn)值。TTvbZ nTnTvT, 0,T)(ZE)(tfTnTtdttfv0)(1:nxA ev方差公式：方差公式：記為記為（相當于利息力翻倍以后求（相當于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費）年期壽險的躉繳保費）所以方差為所以方差為 )(ZVar22)()(ZEZE21|:2)()(nxAZEnTtdttfzZE022)()(nTtnTtdttfedttfv0202)()()(ZVar例例1 設(shè)生存函數(shù)為設(shè)生存函數(shù)為 ，計算（保險金額為，計算（保險金額為1元）元）（1）躉繳純保費）躉繳純保費

10、解：解：)1000(1001)(xxxs1 . 0i1|10:30A)()2(ZVar，年利率，年利率)()()(xstxstfT10011001xx100130 x題中701)(tfT) 1 . 01ln( 又有1001|10:30)( dttfeATt100100) 1 . 1 (1 . 1ln1701) 1 . 1 (701ttdt099092. 01|10:302A1002)( dttfeTt1002) 1 . 1 (1 . 1ln21701t803063. 0)(ZVar21|10:301|10:302)(AA321055. 04.1.3 終身壽險的躉繳純保費終身壽險的躉繳純保費定義

11、定義保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。假定：假定：(x x)投保終身壽險，保險金額投保終身壽險，保險金額1元。元。基本函數(shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系 , 0 , 01 , 0 tttttttvvtzbvvtbtTTvbZ 0tvT 表示終身壽險的躉繳純保費。表示終身壽險的躉繳純保費。方差為方差為xA)(ZExA0)( dttfzTt0dtpvtxxtt0dtpetxxtt)(ZVar例例2設(shè)設(shè) (x x)要投保終身壽險，保險金額要投保終身壽險，保險金額1元，簽單時其未元，簽單時其未來

12、壽命來壽命利息強度為利息強度為 變量為變量為T其他，0600601)(ttfT)0(ZxA) 1 (，在簽單時的保險金給付現(xiàn)值隨機，在簽單時的保險金給付現(xiàn)值隨機，試計算：，試計算：的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為)()2(ZVar.9 . 0)()3(9 . 09 . 0的滿足ZP例例2答案答案解：解：0)( dttfzTt0,60160e)() 1 (ZEAx)()2(ZVar600601dtet0,6011201260120 ee例例2答案答案解：解：)(hTP即.9 . 0)()3(9 . 09 . 0的滿足ZP)(9 . 0ZP)(9 . 0TvP)lnln(9 . 0vTP)lnln

13、(9 . 0vTPvhlnln9 . 0令hTdttf)(60601hdt)60(601h9 . 06hvln6ln9 . 0有669 . 0ev運用中心極限定理，運用中心極限定理，根據(jù)風險業(yè)務(wù)量來確定保險公司的最初投資的基金。根據(jù)風險業(yè)務(wù)量來確定保險公司的最初投資的基金。例例3 假設(shè)有假設(shè)有100個相互獨立的年齡為個相互獨立的年齡為x x歲的被保險人都歲的被保險人都投保了保險金額投保了保險金額10元的終身壽險，隨機變量元的終身壽險，隨機變量T的概率密的概率密度是度是保險金于被保險人死亡時給付，保險金給付是從某項保險金于被保險人死亡時給付，保險金給付是從某項基金中按利息強度基金中按利息強度 試

14、計算這項基金在最初（試計算這項基金在最初（t t =0）時的數(shù)額至少為多少）時的數(shù)額至少為多少時，才能保證從這項基金中足以支付每個被保險人的時，才能保證從這項基金中足以支付每個被保險人的死亡給付的概率達到死亡給付的概率達到95%？)0,04. 0()(tetftT06. 0計息支付。計息支付。4.1.4 延期壽險的躉繳純保費延期壽險的躉繳純保費 例如，例如， 一個一個26歲的人考慮用保險金支付他退休之后死亡時歲的人考慮用保險金支付他退休之后死亡時 的喪葬費用，于是，他投保了一份延期的喪葬費用，于是，他投保了一份延期34年的終身年的終身 壽險。如果人在退休前死亡，他工作期間的豐厚收壽險。如果人在

15、退休前死亡，他工作期間的豐厚收 入會解決其喪葬費用，如果在退休之后死亡，則保入會解決其喪葬費用，如果在退休之后死亡，則保 險公司會為他的一個很體面的葬禮支付保險金。這險公司會為他的一個很體面的葬禮支付保險金。這 就是一份終身壽險，但延期了就是一份終身壽險，但延期了34年。年。定義定義保險人對被保險人在投保保險人對被保險人在投保m年后發(fā)生的保險責任年后發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。假定假定: (x x)投保延期投保延期m年的終身壽險，保險金額年的終身壽險，保險金額1元。元。 基本函數(shù)關(guān)系基本函數(shù)關(guān)系 , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttt

16、tvvtvtmzbvtmbtmtm延期延期m年的終身壽險年的終身壽險簽單時保險金給付現(xiàn)值隨機變量為簽單時保險金給付現(xiàn)值隨機變量為 表示延期表示延期m年的終身壽險的精算現(xiàn)值。年的終身壽險的精算現(xiàn)值。 TTvbZ mTvmTT,0 xmA |tmxTmAv ft dt tTmeft dt延期延期m年的年的n年定期壽險年定期壽險若若(x x)投保延期投保延期m年的年的n年定期壽險，保險金額年定期壽險，保險金額1元。元。 表示其躉繳純保費，表示其躉繳純保費，m nttxx tmepdt00m nmtttxx ttxx tepdtepdt()為常數(shù)時1|nxmA：1|:|nxmA1|1|mxnmxAA：

17、例例4(x x)投保延期投保延期10年的終身壽險，保險金額年的終身壽險，保險金額1元，保險金元，保險金在死亡時立即給付，在死亡時立即給付，Z表示簽單時死亡給付的現(xiàn)值隨機表示簽單時死亡給付的現(xiàn)值隨機變量，已知利息強度變量，已知利息強度試求：試求：解：解：。0,)(,06. 004. 0 xexsxxA|10) 1 ()()2(ZVar。中位數(shù)5 . 0)3()() 1 (tfT)()(xstxsxtxeedtd04. 0)(04. 0 xtxee04. 0)(04. 004. 0te04. 004. 0例例4答案答案0104. 004. 0dteett01)( dttfvTtxA|10)()2(ZVar求xA2|1004. 004. 0)04. 0(10e14 . 0e102)( dttfeTt04. 0204. 0)04. 02(10e6 . 125. 0e)(ZVar2|102|10)(xxAA 26 . 116. 025. 0ee例例