債券價(jià)格與債券收益率

1、固定收益證券李磊寧李磊寧中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融工程系中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融工程系第三講第三講: :債券價(jià)格與債券收益率債券價(jià)格與債券收益率主講教師：李磊寧v 單位：中央財(cái)經(jīng)大學(xué)金融工程系v 主講課程：金融工程學(xué)/固定收益證券v 聯(lián)系方式：電子郵件：內(nèi)容提要 利率利率 1 債券價(jià)格表達(dá)式債券價(jià)格表達(dá)式2 債券價(jià)格與時(shí)間利率的關(guān)系債券價(jià)格與時(shí)間利率的關(guān)系 3 收益率收益率4利率v即期利率 即期利率就是人們根據(jù)零息債券的價(jià)格計(jì)算出來(lái)的利率水平 。如果市場(chǎng)上期滿日為三個(gè)月的零息債券的價(jià)格是99元（面值100元），在意味著（年度化的）即期利率=（100-99）/99/（1/4）=4.04% 設(shè)想某2年期零息債券當(dāng)前

2、的價(jià)格79.72，則79.72（1+i）2=100,得到i=12%，意味著2年期市場(chǎng)的即期利率是（平均每年）12%。 利率v遠(yuǎn)期利率 遠(yuǎn)期利率代表了未來(lái)兩個(gè)時(shí)點(diǎn)之間的利率水平。 用f(0,t,T)代表一個(gè)議定日為當(dāng)前（0時(shí)刻）、資金借出日為t,償還日為T的遠(yuǎn)期利率水平。 0tT議定日貸款日償還日f(shuō)(0,t,T)利率v即期利率和遠(yuǎn)期利率的關(guān)系 如果等號(hào)左邊大于等號(hào)右邊：借一筆期限為T的長(zhǎng)期資金，立即投資t期，同時(shí)簽訂一個(gè)T-t的遠(yuǎn)期貸款合同 。 如果等號(hào)左邊小于等號(hào)右邊：借一筆期限為t的短期資金并立即按照T期貸出，同時(shí)簽訂一個(gè)遠(yuǎn)期借款協(xié)議（期限為T-t）, TtTtTiTtfti), 0(1 )

3、, 0(1 ), 0(1 利率v遠(yuǎn)期利率的表達(dá)式1), 0(1 ), 0(1 ), 0(tTtTtiTiTtf利率v如何計(jì)算遠(yuǎn)期利率 已知3年期即期利率為5%，兩年期即期利率為4%，則第2年到第3年之間的遠(yuǎn)期利率為%03. 71%41 %51 1%41 %51 )3 , 2 , 0(232323f利率v利率與金額回報(bào) 把“1+利率”看作是某個(gè)投資期實(shí)現(xiàn)的金額回報(bào)。T期即期金額回報(bào)就是組成T期的兩個(gè)遠(yuǎn)期金額回報(bào)的幾何加權(quán)平均數(shù)，權(quán)重是每段時(shí)間占總時(shí)段的比重。 TtTTtTtftiTi/ )(/), 0(1 ), 0(1 ), 0(1利率v利率與金額回報(bào) 把時(shí)間段（0，T）劃分成n個(gè)小區(qū)間，分別由

4、t1，t2，t3，tn來(lái)代表這些小的時(shí)間區(qū)間上的時(shí)間點(diǎn)，則市場(chǎng)套利機(jī)制使得下面的式子成立nnntnttnnttttittfttfti), 0(1 ), 0(1 ), 0(1 ), 0(1 11211211njjtttnjjjnttfti/ )(111), 0(1 ), 0(1tn期限內(nèi)的即期金額回報(bào)是該區(qū)間內(nèi)各個(gè)小的時(shí)間段的遠(yuǎn)期金額回報(bào)的幾何平均數(shù)。 債券價(jià)格表達(dá)式v一般意義 債券的價(jià)格，從理論上講，就是債券帶來(lái)的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)之和 v零息債券 零息債券是到期一次性還本付息的債券，其特征是僅發(fā)生兩筆現(xiàn)金流 零息債券的現(xiàn)金流特點(diǎn)。箭頭向下表示支出現(xiàn)金流，箭頭向上表示收到現(xiàn)金流當(dāng)前價(jià)格到期償付債券價(jià)

5、格表達(dá)式v零息債券的價(jià)格表達(dá)式TTTiBB), 0(1 0v例如：某零息債券剩余期限為兩年，如果當(dāng)前兩年期的即期利率是4%，則 B0=1001+4%-2=92.46。 債券價(jià)格表達(dá)式v利率固定的付息債券 附息債券現(xiàn)金流的特點(diǎn)是中途有票息支付，到期歸還本金和最后一次票息 附息債券的現(xiàn)金流特點(diǎn)。與零息債券不同的是中途有多筆現(xiàn)金流發(fā)生。當(dāng)前價(jià)格本金+最后的票息=CTC1C2C3CT-1CT-2C4債券價(jià)格表達(dá)式v付息債券價(jià)格表達(dá)式TTTiBiciciciB)1 ()1 ()1 (1)(2tTttticB10),0(1 83.111%)5 . 41 (107%)5 . 51 (7%)45. 51 (7

6、%)4 . 51 (7%)3 . 51 (7%)2 . 51 (7%)1 . 51 (7%)95. 41 (7%)75. 41 (7%)5 . 41 (710987654320B債券價(jià)格表達(dá)式債券價(jià)格與時(shí)間利率的關(guān)系債券價(jià)格與時(shí)間利率的關(guān)系v債券價(jià)格的封閉形式 1.債券相對(duì)價(jià)格始終在（c/ BT）/i和1之間波動(dòng) 2.息票率和市場(chǎng)利率之間的關(guān)系決定債券相對(duì)價(jià)格 3.隨著到期日的臨近（令T趨向于零），等式右邊趨向于1，即債券價(jià)格趨近于面值 TTTTiiiBcBiB)1 (1)1 (11/)(債券價(jià)格與時(shí)間、利率的關(guān)系債券價(jià)格與時(shí)間、利率的關(guān)系v債券價(jià)格與時(shí)間、利率關(guān)系示意圖 僅時(shí)間變動(dòng)T時(shí)間債券

7、價(jià)格1000溢價(jià)債券平價(jià)債券折價(jià)債券債券價(jià)格與時(shí)間、利率的關(guān)系債券價(jià)格與時(shí)間、利率的關(guān)系v債券價(jià)格與時(shí)間、利率關(guān)系示意圖 僅利率變動(dòng)短期債券到期債券長(zhǎng)期債券利率債券價(jià)格0債券價(jià)格與時(shí)間、利率的關(guān)系債券價(jià)格與時(shí)間、利率的關(guān)系v債券價(jià)格與時(shí)間、利率關(guān)系示意圖 時(shí)間和利率同時(shí)變動(dòng)0102005101520020406080100120140i (%)債 券 價(jià) 格 與 時(shí) 間 和 利 率 關(guān) 系 示 意 圖t (year)P (yuan)96國(guó)債8 經(jīng)歷了中國(guó)從1996年到2003年之間利率變動(dòng)的周期。以該國(guó)債為例,分析利率波動(dòng)和時(shí)間效應(yīng)對(duì)其價(jià)格的影響。96國(guó)債8的基本信息債券價(jià)格與時(shí)間、利率的關(guān)系

8、債券價(jià)格與時(shí)間、利率的關(guān)系 96國(guó)債8凈價(jià)平均價(jià)格與1年期定期存款利率的走勢(shì)債券價(jià)格與時(shí)間、利率的關(guān)系債券價(jià)格與時(shí)間、利率的關(guān)系收益率 當(dāng)期收益率當(dāng)期收益率 1 到期收益率到期收益率2 持有期收益率持有期收益率 3 總收益率總收益率4收益率v影響收益率高低的4個(gè)因素 債券的買賣價(jià)格（資本利得因素） 票息的高低（票息因素） 票息以什么樣的利率再投資（再投資因素） 時(shí)間因素 收益率v當(dāng)期收益率 當(dāng)期收益率（current yield,簡(jiǎn)稱CY）是票息與債券購(gòu)買價(jià)格之比 計(jì)算公式 特點(diǎn)：直觀簡(jiǎn)單，便于計(jì)算，強(qiáng)調(diào)了購(gòu)買價(jià)格和票息的高低對(duì)收益率的影響 它沒(méi)有考慮賣出價(jià)格與時(shí)間的因素，更沒(méi)有考慮再投資因素

9、 0BcCY 收益率v例子： 21國(guó)債（10）是財(cái)政部于2001年9月25日發(fā)行的10年期國(guó)債，到期日為2011年9月25日，票面額為100元，票面利率為2.95%，計(jì)息方式為固定利率，每年9月25日付息一次。某投資者于2006年12月25日按照市場(chǎng)報(bào)價(jià)99.59元購(gòu)買了這一債券，問(wèn)其當(dāng)期收益率是多少？ 由于距離上一付息日為3 個(gè)月，所以累計(jì)利息為2.95/4=0.7375，支付價(jià)格=99.59+0.7375=100.3275。所以，在投資者購(gòu)買債券的當(dāng)天持有期收益率為 %94. 23275.10095. 20BcCY收益率v到期收益率 到期收益率（ yield to maturity,簡(jiǎn)稱Y

10、TM）是這樣一種貼現(xiàn)率，經(jīng)它貼現(xiàn)后的債券現(xiàn)金流加總后，正好等于債券的購(gòu)買價(jià)格 即通過(guò)反解 得到 特點(diǎn)：考慮到了票息因素、再投資因素和時(shí)間因素，在一定程度上也考慮了資本利得因素 收益率v到期收益率(例子) 仍以21國(guó)債（10）為例。某投資者于2009年9月25日按照?qǐng)?bào)價(jià)102.77元購(gòu)買債券時(shí)，其到期收益率為多少？ 由于9月25日當(dāng)天是付息日，沒(méi)有累積利息，所以這個(gè)價(jià)格也就是全價(jià)。債券剩余期限為2年，通過(guò)解下面的方程 解得YTM=1.08% 2)1 (95.102195. 277.102YTMYTM收益率v到期收益率的實(shí)現(xiàn)條件 債券現(xiàn)金流能夠如約實(shí)現(xiàn) 投資者必須持有債券到期 再投資收益率等于到期

11、收益率 所有期限的利率水平都相同且在債券持有期間保持不變 收益率v持有期收益率 持有期收益率（horizon rate of return,簡(jiǎn)稱HRR）是假設(shè)投資者計(jì)劃持有債券一段期間獲得的投資回報(bào)率 計(jì)算公式： 特點(diǎn)：難點(diǎn)在于如何計(jì)算未來(lái)的期末的總回報(bào)FH，這需要對(duì)利率進(jìn)行預(yù)測(cè) 收益率v持有期收益率-舉例 某投資者按照250元的價(jià)格購(gòu)買了這樣一種債券，該債券承諾今后三年內(nèi)每年可以支付100元，如果進(jìn)一步假定三年內(nèi)再投資利率為5%，那么3年后投資者的總回報(bào)為 HRR=（315.25/250）1/3-1=8.037%。 25.315%)51 (100313tt收益率v持有期收益率-對(duì)未來(lái)利率的設(shè)

12、定 假如在購(gòu)買債券后，利率由初始水平（設(shè)為i0）變成了新的水平（設(shè)為i）并在持有期間一直保持這個(gè)水平，則債券總回報(bào)可以由B（i）（1+i）H=FH得出，這里B(i)表示新的利率下對(duì)應(yīng)的債券的價(jià)格。 1)1 ()(0iBiBHRRH收益率v持有期收益率-對(duì)未來(lái)利率的設(shè)定 某投資者以115.44元的價(jià)格購(gòu)買了一張票面利率為7%，剩余期限為10年的債券，此時(shí)市場(chǎng)利率為5%。假設(shè)投資者剛買完債券后，市場(chǎng)利率上漲到6%，其債券價(jià)格下跌到107.36元，如果今后5年內(nèi)利率一直保持6%這一水平不變，問(wèn)投資者持有該債券5年期間的收益率為多少？ %47. 41%)61 (44.11536.1075/1HRR收益

13、率v總收益率 總收益率（total rate of return,簡(jiǎn)稱TR）是根據(jù)一定的再投資收益和債券出售價(jià)格的計(jì)算出來(lái)的債券投資回報(bào)率 計(jì)算公式： 特點(diǎn)：TR中的“FH”與HRR中的“FH”不盡相同。TR的“FH”是指假設(shè)了再投資收益率與“賣出價(jià)格”后的總回報(bào)，而HRR中的“FH”是指假設(shè)了再投資收益率與持有期末“債券估值”后的總回報(bào)，假設(shè)的“賣出價(jià)格”并不一定等于假設(shè)的“債券估值” 收益率v總收益率(例子) 按照82.84的價(jià)格購(gòu)買一張20年期、票息率為8%的債券（每年支付2次票息），持有3年后賣掉債券。假設(shè)未來(lái)3年內(nèi)再投資利率為6%，3年后出售債券時(shí)的到期收益率為7%，問(wèn)總收益率是多少

14、？v 解答v 總回報(bào)的構(gòu)成息票以及息票帶來(lái)的利息3年后債券的賣價(jià)收益率v總收益率(例子)v 總回報(bào)的構(gòu)成息票以及息票帶來(lái)的利息 3年后債券的賣價(jià)87.252/06. 01)2/06. 01 (42385.109)2/07. 01 (1002/07. 0)2/07. 01 (14217217收益率v總收益率(例子)v 總回報(bào)的構(gòu)成：25.87+109.85=135.72v （半年的）總收益率=8.58%v （年度化的）總收益率= 2*8.58%=17.16% %58. 8184.8272.1356收益率v各類收益率之間的關(guān)系-CY與YTMv 以前面提到的“21國(guó)債（10）”為例，說(shuō)明各類收益率之

15、間的區(qū)別與聯(lián)系。先看看當(dāng)期收益率與到期收益率有何不同。表3-1描繪了該債券某些時(shí)點(diǎn)上的收盤價(jià)、當(dāng)期收益率和到期收益率。 收益率各時(shí)點(diǎn)“21國(guó)債（10）”當(dāng)期收益率和到期收益率比較收益率v各類收益率之間的關(guān)系-HRR與TRv 假設(shè)2007年9月25日當(dāng)天，某投資者以94.82元買入一份“21國(guó)債（10）”并預(yù)計(jì)再持有該國(guó)債2年。如何計(jì)算持有期收益率？除非預(yù)測(cè)利率，否則無(wú)法精確算出這個(gè)收益率。因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)預(yù)測(cè)利率，才能計(jì)算出期末（2009年9月25日）的總回報(bào)FH。假如該投資者簡(jiǎn)單地預(yù)計(jì)市場(chǎng)利率從4%降至3%并保持不變直至2009年9月25日，則由公式%68. 51%)31 (82.9477.10

16、21)1 ()(0iBiBHRRH收益率v各類收益率之間的關(guān)系-HRR與TRv 如果該投資者在2009年9月25日出售了其所購(gòu)買的“21國(guó)債（10）”，為了評(píng)價(jià)此次投資債券的績(jī)效，就要估計(jì)該投資的總收益率。2年后一份“21國(guó)債（10）”的實(shí)際售價(jià)為102.77元，按照3%的預(yù)計(jì)利率水平，利率及再投資收益為2.95+2.95（1+3%）=6.785元，則%49. 7182.94)6.785102.77(10HHBFTR 債券價(jià)格變動(dòng)與套利機(jī)制債券價(jià)格變動(dòng)與套利機(jī)制v 假設(shè)一個(gè)社會(huì)中只存在兩種資產(chǎn)可供投資選擇：一是金融資產(chǎn)（以零息債券代表），一是實(shí)物資產(chǎn)（以酒店為代表）。 v 我們還可以進(jìn)一步假設(shè)

17、兩種投資中都消除了收益不確定的風(fēng)險(xiǎn)（可以通過(guò)遠(yuǎn)期交易轉(zhuǎn)移這些風(fēng)險(xiǎn)）。v 我們的投資活動(dòng)以1元錢開(kāi)始，投資期限是1年，市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是i。 債券價(jià)格變動(dòng)與套利機(jī)制債券價(jià)格變動(dòng)與套利機(jī)制v 投資零息債券，1年后的總收入是1+i。投資收益率是（1+ i）-1/1=i； v 假如酒店的價(jià)格為p0，酒店每年的租金是q，酒店1年后的出售價(jià)格是p1，那么，1元錢投資酒店時(shí)，可以擁有酒店權(quán)益為1/ p0，1年可以得到的租金是 q（1/ p0）= q/ p0，1年后出售酒店的收益是p1/ p0，1年投資的總收益是（q+ p1）/ p0。v 投資酒店的收益率是（q+ p1）/ p0-1/1=（q+ p）/ p0。其中，p= p1- p0。 債券價(jià)格變動(dòng)與套利機(jī)制債券價(jià)格變動(dòng)與套利機(jī)制v兩種投資帶來(lái)的回報(bào)是相同的如果酒店投資收益超過(guò)債券投資收益，套利者就在市場(chǎng)上借入資金投資酒店，一方面抬高了利率，另一方面抬高了酒店的購(gòu)買價(jià)格，使得酒店投資回報(bào)降低，債券投資回報(bào)上升，兩者的回報(bào)水平趨于一致；如果酒店投資回報(bào)低于債券投資回報(bào)，就發(fā)生相反的套利活動(dòng)，套利者放棄酒店投資，使得酒店價(jià)格下降，投資回報(bào)提高，達(dá)到債券投資的收益水平。 債券價(jià)格變動(dòng)與套利機(jī)制債券價(jià)格變動(dòng)與套利機(jī)制v存在以下的等式 v 把酒店替換為附息債券。債券每年的票息可以代替酒店每年的租金，酒店的購(gòu)買價(jià)格與出售價(jià)格可以更換成