博弈論習題集

1、博弈論習題集.doc博弈論習題集1 .在下表所示的戰(zhàn)略式博弈中，找出重復刪除劣戰(zhàn)略的占優(yōu)均衡表1,1S1S2LMRU4.35,16,2Mr 2,18,4r 3,6D3,09,62,82 .(投票博弈)假定有三個參與人(1、2和3)要在三個項目(A、B和C)中選中一個。三人同時投票，不允許棄權(quán)，因此，每個參與人的戰(zhàn)略空間Si= A, B, C。得票最多的項目被選中，如果沒有任何項目得到多數(shù)票，項目 A被選中。參與人的支付函數(shù)如下：U1(A)=U2(B)=U3(C)=2U1(B)=U2(C)=U3(A)=1U1(C)=U2(A)=U3(B)=0求解以上博弈的所有純戰(zhàn)略納什均衡。3 .求解以下戰(zhàn)略式

2、博弈的所有納什均衡表1,3S1S2LMRT7, 22, 73, 6B2, 77, 24, 54 .考慮一個工作申請的博弈。兩個學生同時向兩家企業(yè)申請工作， 每家企業(yè)只有一個工作 崗位。工作申請規(guī)則如下：每個學生只能向其中一家企業(yè)申請工作；如果一家企業(yè)只有一 個學生中請，該學生獲得工作；如果一家企業(yè)有兩個學生申請，則每個學生獲得工作的概 率為1/2。現(xiàn)在假定每家企業(yè)的工資滿足： W1/2<W2<2W 1則問：a .寫出以上博弈的戰(zhàn)略式描述b .求出以上博弈的所有納什均衡5 .(庫諾特博弈)假定有n個庫諾特寡頭企業(yè)，每家企業(yè)生產(chǎn)成本函數(shù)為 cq ,市場逆需求 函數(shù)是P=a-Q其中P是價

3、格，Q=2 qi是總供給，a是大于c的常數(shù)。企業(yè)i的戰(zhàn)略是選 擇自身產(chǎn)量qi最大化自己的利潤，即其他企業(yè)的產(chǎn)量 q-i ;選擇自身產(chǎn)量最大化自己的利 潤。求解以上博弈的納什均衡，以及均衡產(chǎn)量和價格如何隨n的變化而變化。6 .(伯川德博弈)假定兩個寡頭企業(yè)之間進行價格競爭， 兩企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品是完全替代的, 并且兩家企業(yè)的生產(chǎn)成本函數(shù)為 cq。市場逆需求函數(shù)是P=a-Q, Q=2 qi是總供給，a是大 于c的常數(shù)。求出企業(yè)i所面臨市場需求以及納什均衡時的價格。7 .（差異價格競爭）假定兩個寡頭企業(yè)進行價格競爭，但產(chǎn)品并不完全相同，企業(yè) i的市 場需求q/Pi，pj =a Pi + Pj（i, j

4、=1,2）,兩家企業(yè)的生產(chǎn)成本函數(shù)為 cq ,求兩個寡頭同時 選擇價格時的納什均衡。8 .用戰(zhàn)略式表示下圖的擴展式博弈12a2b2WY19, 10/30, 3VZi20/3 , 16/32/3 , 4X1Y119/3 , 410/3 , 5X1Z14, 64, 69 .在市場進入模型中，市場逆需求函數(shù)為 p=13-Q,進入者和在位者生產(chǎn)的邊際成本 都為1,固定成本為0,潛在進入者的進入成本為4。博弈時序為：在位者首先決定產(chǎn)量水 平；潛在進入者在觀察到在位者的產(chǎn)量水平之后決定是否進入；如果不進入，則博弈結(jié)束，如果進入，則進入者選擇產(chǎn)量水平。求解以上博弈精煉納什均衡。10 .兩位投資者各自將D存在

5、銀行，而銀行則將他們資金用于長期投資。本博弈的規(guī) 則如下：在第一期，兩位投資者同時決定是否收回資金。如果任何投資者收回資金，則項 目被迫清算，項目收益為2r。此時抽取資金投資者收益為 D,而未抽回資金投資者收益為 2r-D;如果兩位投資者都抽回資金，則投資者收益都為r；如果兩者都未抽回資金，博弈進入第二期。第二期項目成熟且項目收益為 2R。此時如果兩投資者都抽回資金則收益為 R; 如果只有一位抽取資金，抽回資金投資者收益為2R-D,未抽回為D;如果兩者都不抽回資金則收益為R,假定R>D>r>D/2,求解子博弈精煉納什均衡。11 .在囚徒困境中，“針鋒相對”戰(zhàn)略定義為：（1）每

6、個參與人開始選擇“抵賴” ；（2） 在t階段選擇對方在t-1的行動。假定貼現(xiàn)因子6 =1,證明以上戰(zhàn)略不是子博弈精煉納什 均衡。12 .考慮如下戰(zhàn)略式博弈重復兩次，在第二階段開始時能夠觀察到第一階段的博弈結(jié)果，假定貼現(xiàn)因子是1,則x滿足什么條件的情況下(4, 4)可以作為第一階段博弈的均 衡結(jié)果。13 .如下的雙寡頭市場戰(zhàn)略性投資模型：企業(yè) 1和企業(yè)2目前的單位生產(chǎn)成本都c= 2。企業(yè)可以引進一項新技術(shù)使單位生產(chǎn)成本降至c= 1,而該項技術(shù)需要的投資為f ,企業(yè)2可以觀察到企業(yè)1的投資決策，在企業(yè)1做出是否投資的決策之后，兩個企業(yè)同時選擇 產(chǎn)量。在以上兩階段博弈中市場逆需求為p=14-Q,問f

7、取什么值時，企業(yè)1將投資引進新技術(shù)。14 .考慮一個政策采納博弈，存在兩個參與人，政策建議者與政策采納者。政策建議 者首先剔除政策建議s1，并且s1 e r政策采納者觀察到s1決定是否采用，如果采用則執(zhí) 行政策S1,否則執(zhí)行S0O現(xiàn)在假定政策建議者效用函數(shù)是U1=S2,而政策采納者的效用函2數(shù)是U2 =-(S2 -b ),其中S2為執(zhí)行的政策，b為外生參數(shù)，表小兩者之間的利益沖突。問 以上博弈的精練納什均衡。15 .考慮一個承諾博弈，存在兩個參與人。參與人 2首先行動，選擇行動a2, a2的取 值范圍是0,仆。參與人1觀察到參與人2的行動，決定向參與人2轉(zhuǎn)移支付t ,但是參與 人1也可以事先確

8、定支付規(guī)則t(a2)?，F(xiàn)在假定參與人2的效用函數(shù)為U2=t-c(a2),參與 人1的效用函數(shù)為u1 = - -2(a2 -1 2 +t，其中c(a2 )表示參與人采取行動的成本，且22 =0時 為 0, a2 =1 時為 1/2。(1)如果參與人1沒有承諾能力，可以隨意修改事先宣布的支付規(guī)則， 則此時的子博 弈精練納什均衡。(2)如果參與人1有承諾能力，只能按照事先確定的支付規(guī)則進行支付，則此時的子 博弈精練納什均衡。16 .兩個廠商在市場進行價格競爭，廠商 1首先確定價格水平，廠商 2在觀察廠商1 的價格水平之后決定價格水平。廠商 1和廠商2的產(chǎn)品是完全同質(zhì)的，且市場逆需求函數(shù) 是P=a-Q

9、,問以下條件下的精煉納什均衡的價格：(1) .如果廠商1和廠商2的生產(chǎn)成本函數(shù)為cq (c<a)(2) .如果廠商1和廠商2的生產(chǎn)成本函數(shù)為q2/217 .在霍特林價格競爭模型中，兩個廠商的生產(chǎn)邊際成本都是c,運輸成本參數(shù)為to博弈進行兩期，在第一階段兩個廠商同時在線性城市上選擇自己的位置；第二階段在觀察 到兩者位置后選擇自己的價格。(1) .如果運輸成本為線性函數(shù)，證明以上博弈不存在純戰(zhàn)略精煉納什均衡(2) .如果運輸成本為二次型函數(shù)(運輸成本為tx2),證明以上博弈的精煉納什均衡的結(jié)果是兩個廠于城市兩端。18 .在三寡頭的市場中，市場的逆需求函數(shù) p = a-Q,Q為三家產(chǎn)量之和，每

10、家企業(yè)的不變邊際成本為c,固定成本為0o如果企業(yè)1首先選擇產(chǎn)量，企業(yè)2和企業(yè)3觀察到企業(yè) 1的產(chǎn)量后同時選擇產(chǎn)量，則均衡時的市場價格。19 .考慮兩個工人之間的錦標賽。每個工人的生產(chǎn)函數(shù)yi=ei+ei(i=1,2),其中yi表示產(chǎn)量，e表示努力水平，a表示隨機干擾項。博弈時序如下：第一階段，企業(yè)指定錦標賽中贏者工資Wh和輸者W1 ;第二階段工人觀察工資的規(guī)則后同時選擇努力水平；第三階段2產(chǎn)量得以實現(xiàn)，工資支付。企業(yè)為風險中性，工人的效用的函數(shù)u(W,e)=W-y,工人的保留效用為0。埼是服從均值為0,方差為62的正態(tài)分布，孫和無獨立。問在對稱均衡時，Wh和Wi為多少。20 .有n個完全相同且

11、每個企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為 cq,市場需求Q=a-p,假定博弈重復無窮 次，每次每個企業(yè)的定價和產(chǎn)量都能被下一階段所有企業(yè)觀察到，每個企業(yè)都使用“觸發(fā) 戰(zhàn)略”。假定每個企業(yè)的貼現(xiàn)因子都相同，問在以下條件下，壟斷價格作為子博弈精煉納什 均衡結(jié)果出現(xiàn)的最低貼現(xiàn)因子：(1) .如果每個階段企業(yè)之間進行古諾博弈，則最低貼現(xiàn)因子。(2) .如果每個階段企業(yè)之間進行伯川德博弈，則最低貼現(xiàn)因子。21 .考慮如下貝葉斯博弈：(1)自然決定支付矩陣(a)或(b),概率分別為u和1-u; (2)參與人1知道自然的選擇，即知道自然選擇支付矩陣(a)或(b),但是參與人2不知道自然的選擇；(3)參與人1和參與人2同時行動。

12、給出這個博弈的擴展式表述并求純 戰(zhàn)略貝葉斯均衡。表 21.1.aSiS2LRT1, 10, 0B0, 00, 0表 21.1.bSiS2LRT0, 00, 0B0, 02, 222 .兩個企業(yè)同時決定是否進入一個市場， 企業(yè)i的進入成本仇亡0產(chǎn))是私人信息，句 是服從分布函數(shù)f(。)的隨機變量以及分布密度f(a)嚴格大于零，并且3和3兩者獨立。 如果只有一個企業(yè)進入，進入企業(yè) i的利潤函數(shù)；如果兩個企業(yè)都進入，則企業(yè) i的利潤 函數(shù)為- -4；如果沒有企業(yè)進入，利潤為零。假定一和小是共同知識，且nm>J1d >0, 計算貝葉斯均衡并證明均衡是唯一的。23 .假設(shè)一個家長和他的孩子進

13、行如下的博弈：第一，小孩選擇一個行動A,可以使孩子獲得收入I c(A),并使得家長得到收入Ip(A)(可以認為Ic(A)為孩子減去因為A發(fā)生的各 種成本后的凈收益)；第二，家長觀察到收入 Ic(A)和I p(A),然后選擇給孩子的獎勵或者 懲罰Bo孩子的收益為U(Ic+B),家長的收益為V(I p-B)+k(I c+B),其中k>0反映出家長關(guān) 心孩子的福利。假定行動是一個非負數(shù)字，A>0,收入函數(shù)Ic(A)和I p(A)為嚴格凹且分別能夠達到最大值；獎勵或懲罰 B為正或為負的數(shù)字；且效用函數(shù) U和V遞增并嚴格凹。證 明：孩子選擇可使全家收入I c(A)+ I p(A)最大化的行為

14、(盡管在效用函數(shù)中，只有家長顯 示出利他的特點)。24 . 一個建筑公司每到有工程合同才雇用臨時工人。考慮某項工程中公司與工人的勞動 -工資博弈；工人受雇于該公司的機會成本是 0;工人可以老實地干活，為公司創(chuàng)造利潤y, 但這需要付出勞動成本l , y>l>0 ;工人也可以受雇后不干活，這不需任何勞動成本，同時 創(chuàng)造的利潤也是0o假設(shè)公司與工人在工程結(jié)束之前沒有任何工資合同，它只是在雇用期 滿后才決定付給每個工人的工資額 w。(a)如果該建筑公司在未來的10年內(nèi)每年有一項相同的工程，證明：無論公司的利潤 貼現(xiàn)因子 如多少，唯一的子博弈完美均衡是：在每一項工程中，無論工人是否干活，公司

15、 向工人付的工資額w都是0;工人不干活。(b)如果該建筑公司依次有無窮多個工程，而下一期工人又能看到以前的工資政策。證 明：只要流分接近1,每一期工人都努力干活將是一個子博弈完美均衡戰(zhàn)略。25 .考慮如下結(jié)構(gòu)的古諾博弈。市場逆需求函數(shù)p = a Q ,兩個企業(yè)成本函數(shù)G=cqi； 市場需求是不確定的，a =aH的概率為日，a =aL的概率為1 -日；企業(yè)1知道a的確切取 值，企業(yè)2不知道，但是知道 a的概率分布。現(xiàn)在假定兩個企業(yè)同時選擇產(chǎn)量水平， aH-aL-c并且以上博弈結(jié)構(gòu)是共同知識，求解以上博弈的貝葉斯納什均衡。26 .考慮如下非對稱信息的產(chǎn)品差異化的伯川德博弈：企業(yè)i的市場需求 qi

16、=a - pi -bi Pj ,兩個企業(yè)生產(chǎn)成本都為零；b1取值是bH或bL且bH>bL>0,且b=bH的概率 為日，而b2=10bH +(1-H)bL; b1是企業(yè)1的私人信息，b2是共同信息?，F(xiàn)假定兩個企業(yè)同 時選擇價格，以上博弈結(jié)構(gòu)是共同知識，求解以上博弈的貝葉斯納什均衡。27 .考慮兩個參與人的公共物品供給模型。 參與人1和2同時決定是否提供某項公共物 品，提供公共物品是0-1決策。如果一個參與人i已經(jīng)提供公共物品，則每個參與人 j 都可以得到效用1。參與人i提供公共物品成本ci都是定義域在c,C,分布函數(shù)為F(.), 而且提供成本是參與人私人信息。(1) .如果成本服從0

17、, 2均勻分布，求解其對稱均衡。28 .在n人參與的私人價值拍賣，參與人的類型 V都服從0, MD上的均勻分布，參 與人的類型V是私人信息，V的分布是共同知識。(1) .如果實行一級價格拍賣，則求對稱的貝葉斯納什均衡。(2) .如果實行二級價格拍賣，則求其貝葉斯均衡。(3) .在以上兩種類型拍賣中，證明拍賣人的期望收入相同29 .考慮一個不完全信息兩人博弈的消耗戰(zhàn)模型。兩個參與人同時出價 S,并且Si的 取值范圍為【0, 8)。每個參與人類型空間自是參與人的私人信息，取值范圍為0, ), 對應的分布函數(shù)為F(a),同時a和仇兩者是獨立的。現(xiàn)在假定參與人的效用函數(shù)為Ui = -s 如果Si &l

18、t;Sj,反之則ui =a s(。(1)證明參與人最優(yōu)出價戰(zhàn)略是 d的遞增函數(shù)。(2)如果F (8 )=1 -exp(-日)，證明以上博弈存在一個非對稱均衡。30.試給出下述信號博弈的純戰(zhàn)略均衡中的混同均衡和分離均衡(4,1 )31 .考慮下列基本的委托-代理模型y = ka ；(- N(0"2)這里，y為代理人對委托人的產(chǎn)出，a是代理人的努力程度，k>0為參數(shù)(k可代表委托人為代理人所創(chuàng)造的工作環(huán)境與技術(shù)裝備，k越高，則給定a會產(chǎn)生更大的貢獻)又假定，委托人與代理人都是風險中性的。代理人努力的負效用(即代理人的努力成本)函數(shù)為c(a)。求解：(1)假定委托人與代理人之間簽訂一個線性合同：w = s + by,代理人會采取什么行動?代理人的行動會如何隨k而發(fā)生變動？(2)現(xiàn)在假定代理人的效用函數(shù)形式為u(x) = -e