上海市曹楊二中2019-2020學年高三上學期期中數(shù)學試題

1、題號一一二總分得分考試范圍：xxx;考試時間：100分鐘；命題人：xxx評卷人得分絕密啟用前上海市曹楊二中2019-2020學年高三上學期期中數(shù)學試題 試卷副標題注意事項：1 .答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2 .請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明21 .拋物線y 8x的焦點坐標（）A. 0?, 2B. 2?, 0C. 4?, 0D. 0?, 4【答案】B【解析】由拋物線方程y2 8x知焦點在x軸正半軸，且p=4,所以焦點坐標為（；0）即（2,0）, 所以選B。2 .己知m,n是空間中兩直線，是空間中的一個平面，則下列命題正確的是（）A.已知 m/a

2、 ,若 n/ ，則 n/mB.已知 m/ ，若 n m ,則 nC.已知m ，若n m,則n/D.已知m，若n/m,則n【答案】D【解析】【分析】A. n和m的方向無法確定，不正確；B.要得到n ，需要n垂直于平面內(nèi)兩條相交直線 ，不正確；C.直線n有可能在平面內(nèi),不正確；D.平行于平面的垂線的直線與此平面垂直，正確.【詳解】A. 一條直線與一個平面平行，直線的方向無法確定，所以n/m不一定正確；試卷第34頁，總22頁令 f x 0,得sin x1,1題答內(nèi)線訂裝在要不請派B. 一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則直線垂直于平面,n m無法表示直線n垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，所以n不一定正確；

3、C.直線n有可能在平面 內(nèi)，所以n/不一定正確；D. n/m,則直線n與m的方向相同，m，則n，正確；故選：D【點睛】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系的判斷，遇到不正確的命題畫圖找出反例即可.本題屬于基礎(chǔ)題.3.己知函數(shù) f(x) m(1 cosx) sinx,則()A.僅有有限個 m,使得f(x)有零點B.不存在實數(shù) m,使彳導f (x)有零點C.對任意白實數(shù) m,使得f(x)有零點D.對任意白實數(shù) m,使得f(x)零點個數(shù)為有限個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式利用輔助角公式化簡成f(x) 5 m2 sin x m arctan m ，將sin x看成一個整體，取值范一 ，一/rmm

4、圍為 1,1，令f x 0,得sin x j 由J °1,1得fx 0有1 m2. 1 m2無數(shù)解.【詳解】f (x) m(1 cosx) sin x= sin x m cosx m .1 m2 sin x m arctan又Qsin x的取值范圍為1,10O 線O 訂O 裝 O 外O號 考級 班名 姓核 學 .m ,，一一一對任意白實數(shù) m,sin x.,者E啟力數(shù)解.OJi m2 即對任意的實數(shù) m,使得f (x)有零點. 故選：C.【點睛】線本題考查了輔助角公式的化簡運用，遇至ij asinx+bcosx的形式時，首先化為Ja2 b2sin x，再去計算要解答的問題.本題屬于中

5、等題.4.已知Sn是數(shù)列an的前n項和，a1,0，且an an i ( 1)nn2,若O2S9niQanma2019 12S20i9- a0圾1010，貝u+一的最小值().20192019 _ A. 2V2B. 4C. J2019D. 2J2019訂【答案】B【解析】 .【分析】o先將 軍姐 國以化簡成2S2018 a2019的形式,再分奇偶不同的情況 用并項求和法求2019 20192019 2S-a出S2018的值，和累加法求出22019的值代入給0曳1010即可將 用 表20192019 _ _2一一2019 1 _2019壯不出來，最后化簡+ 得 201g，根據(jù)基本不等式或二次函數(shù)的

6、最值，求出2019 1+ 一的最小值是4【詳解】On 2.由 an an 1( 1)nn2得， /aa21,一一Ma3a43,內(nèi)一一一1-2a5 a65 ,cc/r2°a2017 a20182017 ,S2018a1a2a20181232 5220172由奇數(shù)平方和公式2 _2 212 +32+52+.+ 2kk 4k2 1 得.1232522017221009 4 10092 1當n為奇數(shù)時,2anan 1 nan 2兩式作差得，an則 a2019a201720172 20182,a2017a20152220152 20162,a2015a2013_2_2201320142a3a1

7、122累加得,a2019a2017 + a2017a2015a2015 a2013a3 a1a2019a112 223220182由自然數(shù)平方和公式321 2k1一得,a2019a1,2-21232_ _ 220182018 2018 12 2018 1則 2&0192019a201920192S2019a20192019S2018 a2019a201920192 s2018a201920191009 4210092 12018 2018 12 2018 120191009 2019又Q型空2019a20192019101020192019題答內(nèi)線訂裝在要不請派r > >

8、rkr門， c 韭 c ,夕 O 線1O線OO訂號 考訂O 級 班O 裝 O 名 姓核學裝 O 外O 內(nèi)O2019 1 +201920192019201922019Q0根據(jù)基本不等式，2019201922019224當且僅當20192019，即=£ 時2,20192019 1 +2019220192=42019201924即20191+的最小值是4,故選：B【點睛】本題考查了并項求和法、 累加法、基本不等式的綜合運用 者符號不同）時，要分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)的情況去討論 化簡.另外當求取值范圍的表達式中含有超過一個未知數(shù)時 式針對表達式變形.本題屬于難題._ 4 2201924，尤其當

9、奇偶項通項公式不同（或彳導到通項公式更簡單的形式，再去，需通過消元法或者基本不等,0題答內(nèi)線訂裝在要不請派r ra b 33_日 b.10、10 10第II卷(非選擇題) 請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分5 .若z 2 2i (其中i為虛數(shù)單位)，則z =.【答案】2、, 2【解析】【分析】將z的共軻復數(shù)寫出來，再算出模即可【詳解】z 2 2i|z| = < 22 +22 =2 2 2故答案為：2 ,2【點睛】本題考查了共軻復數(shù)和復數(shù)的模，注意計算的正確即可，屬于基礎(chǔ)題.6 .函數(shù)f x 出2x的定義域是.【答案】,0【解析】由1 2x 0 ,得2x 1,所以x 0 ,所以原函數(shù)定

10、義域為，0 ,故答案為vvr r7 .已知向量a (1,0,3), b (3,1,0).則a與b的夾角.3【答案】arccos10【解析】【分析】根據(jù)向量的夾角公式求出a與b的夾角的余弦值，即可得出a與b的夾角.【詳解】 r r cos'.a,br ra與b的夾角為3 arccos10O線O 號O線 O 訂 O裝考級 班名 姓核訂 O裝O 學O 外 O 內(nèi)O故答案為：arccos10【點睛】本題考查了向量的夾角公式 ，注意算出非特殊三角函數(shù)值在寫夾角的時候要用反三角函 數(shù)表示，不能直接寫三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.8 .函數(shù)f(x) 3x 1(x 0)的反函數(shù)是f-1(x) .,) c 1

11、【答案】lOg3X 1 x0,3【解析】【分析】求出f(x)的值域，即為f-1(x)的定義域，再將y f(x)中的x和y調(diào)換位置，化簡變形用x表示y,即可得f-1(x)的表達式【詳解】Qx 0_x 1_0 11y 333x 11y 3 (x 0)的值域為 0,3Y 1. .1y 3 (x 0)的反函數(shù)是x 3y 1,x0,31化間得ylog3x1x0,3即 f -1(x)log3x1x0,3故答案為：log3x1x0,3【點睛】本題考查了反函數(shù) f-1(x)的計算，反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，當定義域不是 R時,一定要寫出定義域.本題屬于基礎(chǔ)題.9.數(shù)列an的前n項和Snn2n 1,則an的

12、通項公式an【解析】【分析】32n根據(jù)an和Sn之間的關(guān)系，應用公式anGSn Sn得出結(jié)果1 時，aiS13;2 時，anSnSn故答案為:2n2n本題考查了an和Sn之間的關(guān)系式，注意當n 1和n2時要分開討論，題中的數(shù)列非等差數(shù)列.本題屬于基礎(chǔ)題一210.募函數(shù)f(x)=xm(mCZ)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+ 8t是單調(diào)遞減函數(shù)，則m= .【答案】1【解析】【詳解】 2因為帚函數(shù)f(x)=xm 2m 3 (me Z)為偶函數(shù)，所以m2 2m 3為偶數(shù)， 一2因為帚函數(shù)f(x)=xm(mCZ)在區(qū)間(0,+ 8：是單調(diào)遞減函數(shù)，所以2m2 2m 3 01 m 3因為m Z,所以m= 12

13、 n-11. (x /)展開式的二項式系數(shù)之和為256,則展開式中x2的系數(shù)為 .,- x【答案】1120題答內(nèi)線訂裝在要不請派【解析】【分析】 線 線根據(jù)二項式展開式的二項式系數(shù)和為2n2 r83rTr 1 C；x8丁2r c8 x 2，當 8【詳解】256，求出n的值,再寫出二項式的通項公式為3一r =2時，即可求出x2的系數(shù)2 2 nn.onn(x -=)展開式的二項式系數(shù)之和為C：cnC2. Cnn2nJx256 n 8O 訂 號 考級O 訂 r3(x 尸)展開式的通項公式Tr 1 C；x8 r -2=2r C； x 2VxVx、3_4_42_ 2當 8 r=2 時，r 4,即 T5

14、2 Cg x =1120x2則展開式中x2的系數(shù)為1120故答案為：1120【點睛】O "人 班O 本題考查J 一項式展開式的二項式系數(shù)和12.已知函數(shù) f (x) sin( x )(0,其函數(shù)圖象的對稱軸，則的最小值為_，和二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.R)點(1,0)是其函數(shù)圖象的對稱中心，y軸是.裝 O名 姓核學裝 O【答案】一2【解析】【分析】因為y軸是其函數(shù)圖象的對稱軸，所以x0代入 x k2k Z ； (1,0)是其函 數(shù)圖象的稱中心，所以x 1代入 x+n n Z，作差即可表示出的值,再根據(jù)0,即可得 的最小值.外內(nèi)【詳解】 Q y軸是其函數(shù)圖象的對稱軸， 0-

15、k k ZO O (1,0)是其函數(shù)圖象的對稱中心1+ n n Z-，得-n k n k ZQ 0當n k 1時，有最小值2故答案為：2【點睛】本題考查了三角函數(shù)復合函數(shù)的對稱軸和對稱中心的表達式，屬于基礎(chǔ)題.13 .有5條線段，其長度分別為3,4,5,7,9，現(xiàn)從中任取3條，則能構(gòu)成三角形的概率是【解析】【分析】從5條線段中任取3條共有10種情況，將能構(gòu)成三角形的情況數(shù)列出，即可得概率.【詳解】從5條線段中任取3條，共有C3 10種情況，其中，能構(gòu)成三角形的有：3,4,5; 3,5,7; 3,7,9; 4,5,7; 4,7,9; 5,7,9.共6種情況；即能構(gòu)成三角形的概率是 =3,10 5

16、3故答案為：35【點睛】本題考查了古典概型的概率公式，注意統(tǒng)計出滿足條件的情況數(shù)，再除以總情況數(shù)即可，屬于基礎(chǔ)題.14 .記X為不大于X的最大整數(shù)，設(shè)有集合 Ax|x2x 2,B=x|x 2 ,則 AI B .【答案】1, .3【解析】【分析】求AI B即需同時滿足 A集合和B集合的x的取值范圍，先根據(jù)題答內(nèi)線訂裝在要不請派B=x|x 2 = x| 2 x 2，比較容易得出解集，再將B集合的解集代入A集合中，判斷出可以成立的值，即可得AI B【詳解】B=x|x 2=x|2 x 2當 2 x 2時，x 2, 1,0,1,當x2時，x2x20x0,不滿足x2；當 x1 時，x2x21x 1 ,x

17、1 滿足x1；當x0時，x2x22xJ2,不滿足x 0；當 x1 時,x2x23xV3,x 忑3滿足 x 1；即同時滿足x x 2和x 2的x值后-1, J3 ；則AI B1, 3故答案為：1,3【點睛】本題考查了集合的計算，和取整函數(shù)的理解，針對兩個集合求交集的情況，可先對較簡單的或者不含參數(shù)的集合求解，再代入較復雜的或含參數(shù)的集合中去計算.本題屬于中等題.15 .已知數(shù)對按如下規(guī)律排列：(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1),(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1),，則第 60 個數(shù)對是 .【答案】(5,7)【解析

18、】試題分析：根據(jù)已知條件，在直角坐標系中畫出各點，其規(guī)律如圖所示，因為11 11 1 66 ,可知第60個數(shù)對落在第11個與yx平行的直線上的，為5,7 2試題解析：將所給出的點列在平面直角坐標系內(nèi)，從 1,1點開始，各點分別落在與yx平行的直線上，且第一組有一個點，第二組有兩個點(1,2), 2,1 ,以此類推第三組有三個點 ，則第11組的最后一個數(shù)為第 66個數(shù)，則第60個點為5,7.考點：一般數(shù)列中的項16.已知實數(shù)a,b滿足：2b2 a2 4,則a 2b的最小值為 .【答案】2【解析】【分析】本題解法較多，具體可考慮采用距離問題、柯西不等式法，判別式法，整體換元法，三角換元法進行求解，

19、具體求解過程見解析【詳解】方法一：距離問題問題理解為：由對稱性，我們研究雙曲線上的點 a,b至ij直線a 2b 0的距離的J5倍”問題若相切，則2b22b z 2 4有唯一解2b2 4zb z2 4 0, V 16z2 8 z2 4兩平行線a 2b 0與a 2b z 0的距離d所以 |a 2b 75 -2= 2方法二：柯西不等式法補充知識：二元柯西不等式已知兩組數(shù)a,b； x, y,則a2 b2 x2 y222222222a b x y ax by ax a2 2,2 22 ca y b x 2abxy ay bx 0已知兩組數(shù)a,b； x,y,則a2 b2 x2 y22.222.2222a

20、b x y ax by ax a2 2,2 22a y b x 2abxy ay bx 0axz2 42"5by 2,2 ax by,22,22b x b yb2y2 2abxy2 2b y 2abxy題答內(nèi)線訂裝在要不請派r > > rkr門， c 韭 c ,夕所以 4 2b2 a2 2 1 a 2b 2,所以 a 2b 2.方法三：判別式法設(shè)a 2bt a 2b t ,將其代入2b2 a2 4，下面仿照方法一即可方法四：整體換元根據(jù)對稱性，不妨設(shè) J2b a 0, J2b a 0設(shè)X皆a ,則xy 4 x 0,y 0 ,且y 2b a方法五：三角換元由對稱性，不妨設(shè)b

21、（為銳角）a 2 tan所以 a 2b 2tan2、, 2 secsin v 2cos2、2 sincosc cos2cos所以a 2b的最小值為2本題考查不等式中最值的求解問題,解法較為多樣,方法一通過點到直線距離公式進行求解，方法二通過柯西不等式，方法三通過判別式法，方法四通過整體換元法，方法五 通過三角換元，每種解法都各有妙處，這也提醒我們平時要學會從多元化方向解題，培養(yǎng)一題多解的能力，學會探查知識點的聯(lián)系，橫向拓寬學科知識面評卷人得分三、解答題17.如圖所示，在長方體 ABCD AiBiCiDi中，AB 2, BC 2,CCi 4,M為棱CCi上一點.耳D；題答內(nèi)線訂裝在要不請派r &

22、gt; 上一工 > rkr門， C 韭 C ,夕 若C1M1,求異面直線AM和CiD所成角的大?。?2) 若C1M2,求證BM 平面A1BM.【答案】(1) arctanY5； (2)證明詳見解析.【解析】【分析】由C1D1/B1A1,得B1A1M是異面直線A1M和C1D1所成角，由此能示出異面直線AM和C1D1所成角的正切值；(2) C1M2時,由勾股定理逆定理得 B1MBM,AM BM ,由此能證明BM 平面 A1B1M .【詳解】QC1D1 /BA,B1AM是異面直線A1M和C1D1所成角，在長方體 ABCD ABiCiDi 中，AB1 平面 BCCiBi,AB1B1M ,Q AB

23、 2,BC 2,CCi 4,m 為棱 Cg 上一點，GM 1,B1M, B1C2 MC1251 、5B1M5tan B1AM ,A42即異面直線AM和C1D1所成角的大小為arctan 45.(2) CiM 2時，rm BMJBC2 CM2 2版,22 2 2BM BMBB1 , B1MBM ._2_2_2_2_Q AM2AC；MC124 4 412 ,A1B2164 20,2_2_ 2AM BM AB ,AM BM ,又 AM BiM M , bm 平面 AiB1M.【點睛】本題考查異面直線所成角的正切值的求法，考查直線與平面的證明，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng).2218 .已知橢圓Xr

24、冬 1(a b 0)的左、右焦點分別為 Fi,F2,左、右頂點分別為a2 b2A,A2,過F作斜率不為零的直線l與橢圓交于A, B兩點， ABF2的周長為8 ,橢圓上一 一一.1一點P與A, A2連線的斜率之積kpA.kpA2(點P不是左右頂點).1 4(1)求該橢圓方程；0,1，求橢圓上動點N與M點距離的最大值.(2)已知定點M2【答案】(1) 土4【解析】【分析】y2 1;龍.1(1)由VABF2的周長為8求得a,然后結(jié)合 七入卜44求得b點的值，則橢圓方程可求；(2)設(shè)出N的坐標，利用兩點間的距離公式得到| MN |關(guān)于N的縱坐標的函數(shù)，然后分類求出橢圓上動點 N與M點距離的最大值.【詳

25、解】(1)如圖，由VABF2的周長為8,得4a 8,即a 2.A( 2,0) A(2,0),22設(shè)P Oy。，則獨粵1.4b2又 kPA kPA21 /曰y。y。14 ,得 X。2 X024b2 1.2則橢圓方程為：x-y2 1 .4(2)設(shè)橢圓上 N x0,y01 y0 1 ,又 M(0,1),|MN | x；y 1 2. 3y02 2y0 5則當 y01 時,|MN|13y0 116 口二河3；33 33即求橢圓上動點 N與M點距離的最大值為迤3題答內(nèi)線訂裝在要不請派【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查橢圓方程的求法，訓練了利用配方法求函數(shù)的最值，是中檔題.19.某興趣小組測量電視塔 AE

26、的高度H（單位m）,如示意圖，垂直放置的標桿BC高度h=4m ,仰角/ ABE奇,/ ADE部L A乂一疝一一(1)該小組已經(jīng)測得一組“、3的值，tan ”=1.24,tan 3 =1.2請據(jù)此算出H的值(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d (單位m),使“與3之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為 125m,問d為多少時，a- 3最大【答案】(1) 124m. (2) 555y5m.【解析】H由AB一 tanh一,BD= tanH 一,AD=tan及 AB + BD=AD ,得HhHhtan4 1.24 ，解得H 一=124tan tantantan

27、tan1.24-1.20【詳解】因此，算出的電視塔的高度H是124m.(2)由題設(shè)知d = AB ,得tan否 .d由 AB = AD BD = -H- -,得 tan 即 H一h , tan tandtan - tan _ hh所以 tan( g § 辛什 tan tan H (H h)2J H ( H h)，dH H h當且僅當d= -，即d= 7h(Hh) ,125 (125 4) =55J5時，上式取等號.所以當d = 55 J5時，tan(玨3最大.因為0< 3 <,則0<“一 3,所以當d220.已知函數(shù)f(x) xax b(a,bR).(1)若 a 2

28、時，f (x)0的解集為n,3時，求實數(shù)b的值；(2)若對任意a 1,1，存在x2,3，使f (x) 0 ,求實數(shù)b的范圍;=55而時，“3最大.故所求的d是55，5m.(3)集合Ax| f(x)x|f(f(x) 4，若A B，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)15； (2)6,；(3),5,5 .(1)f(x)0的解集為n,3，則f n f 30,代入即可解得b的值;(2)存在x2,3，使f(x) 0,則當f(x)max 0 x 2,3時即可，再根據(jù)20和f 30分別求出b的范圍，再取并集即可;(3)設(shè) C t|t一一 一 5f(x),x A，d t|f(t)7,因為 aB ,所以CD ,且

29、當t eDC 時，f xt無解，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出f (0)5一,代入二次函數(shù)解析式45斛信b 一,再根據(jù)4C D得出b,以及A B得出a2 4b 0,最終取交集得出a的取值范圍.(1)f(x) 0的解集為n,3，且2x 2x b是二次函數(shù)，解得15.題答內(nèi)線訂裝在要不請派(2)存在2,3，使 f(x)0,則當f(x)max 0 x 2,3 時即可ax b是開口向上的二次函數(shù)xmax若max f 22a b 4 0b 2aQ對任意1,1都成立b 2amax 2 1 42,即b2,O線O 號O線 O 訂 O裝考級 班名 姓核訂 O裝O 學O 外 O內(nèi)O貝U f 3 =3a3a 9Q對任意a

30、1,1都成立b 3a 9Q要存在xmax2,3，使 f(x)中只需一值即實數(shù)2,6,b的范圍為(3)設(shè) CQ ABCD,t|t6,f (x),xeDC 時，f96,即 b>0即可,6,D t| f(t)Q f xx2axab f 2a4bC t2b 4t 0設(shè)Dt1,t2，且t1t2,f(t1)f(t2)54則eDCtt1 t2b 或 04t t2,Q f x2b4，當 t1t2 a4b 時，f xt無解t無解20遼Ax| f (x) 0，且當t若t2.當0t t2 時，fxt一定有解6,t 0 t t2 =0 t2又 QC D,0 t2t20，即 f (0)令 f (x) x2 axt

31、1 , t2a,0又QCx| f(x)44b 05 a 5,5即a的取值范圍為J5,5本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及一元二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，遇到二次函數(shù)的性質(zhì)不熟悉時，還可以采取畫圖的方法研究，寫過程時詳細地討論.本題屬于中等21 .已知數(shù)列 an和bn ，記S(m)ambm| .若an2n 1,bn 2 n ,求 S1，S3 ;(2)若 an2n 1,bn 21 3n ,求Sm關(guān)于m的表達式;(3)若數(shù)列. . . _ _ * . . .an和bn均是項數(shù)為 m(m 3,m N )項的有窮數(shù)列.，現(xiàn)將 an和bn中的項一一取出，并按照從小到大的順序排成一列，得到1,2,3,.,2 m.求證：對于給定的m , S(m)的所有可能取值的奇偶性相同【答案】S10,