復(fù)變函數(shù)課件：5-1 弧立奇點(diǎn)

1、內(nèi)內(nèi) 容容 簡簡 介介 本章本章,我們以洛朗級(jí)數(shù)為工具我們以洛朗級(jí)數(shù)為工具,首先對(duì)解析函數(shù)首先對(duì)解析函數(shù)的弧立奇點(diǎn)進(jìn)行分類的弧立奇點(diǎn)進(jìn)行分類,再對(duì)它在弧立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)性再對(duì)它在弧立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)性質(zhì)進(jìn)行研究質(zhì)進(jìn)行研究,這些討論都是學(xué)習(xí)留數(shù)的礎(chǔ)這些討論都是學(xué)習(xí)留數(shù)的礎(chǔ). 這一章是第三章這一章是第三章Cauchy積分理論的繼續(xù)積分理論的繼續(xù),留數(shù)留數(shù)在復(fù)變函數(shù)論本身及實(shí)際應(yīng)用中都很重要在復(fù)變函數(shù)論本身及實(shí)際應(yīng)用中都很重要,它和計(jì)它和計(jì)算沿閉曲線積分問題有密切關(guān)系算沿閉曲線積分問題有密切關(guān)系.第五章第五章留數(shù)留數(shù)(Residue)& 1. 定義定義& 2. 分類分類& 3. 性質(zhì)性質(zhì)& 4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的

2、關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1 1 弧立奇點(diǎn)弧立奇點(diǎn) 1. 定義定義定義定義例如例如zezf1)( -z=0為孤立奇點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)zzf1sin1)( -z=0及及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的都是它的奇點(diǎn)奇點(diǎn)11)( zzf-z=1為孤立奇點(diǎn)為孤立奇點(diǎn).)(,0,)(0000的的弧弧立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱內(nèi)內(nèi)解解析析的的某某個(gè)個(gè)去去心心鄰鄰域域但但在在處處不不解解析析在在若若zfzzzzzzf xyo這說明奇點(diǎn)未這說明奇點(diǎn)未必是孤立的。必是孤立的。，的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)總總有有鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)不不論論多多么么小小的的去去心心在在但但 )(,0, 01limzfznn 的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。不是

3、不是故故zz1sin10 2. 分類分類以下將以下將f (z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，根在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類。據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類?？疾欤嚎疾欤?)!12()1(! 5! 31sin)1(242nzzzzznn特點(diǎn)：特點(diǎn)：沒有負(fù)冪次項(xiàng)沒有負(fù)冪次項(xiàng) ! 211!1)2(1010nzzznznzzzennnnnz特點(diǎn)：特點(diǎn)：只有有限負(fù)冪次項(xiàng)只有有限負(fù)冪次項(xiàng) nznzzez!1!211)3(211特點(diǎn)：特點(diǎn)：有無窮多負(fù)冪次項(xiàng)有無窮多負(fù)冪次項(xiàng)定義定義 設(shè)設(shè)z0是是f (z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，若的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，若 00)()()(n

4、nnzzczfi沒有負(fù)冪次項(xiàng)，稱沒有負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為可去奇點(diǎn)為可去奇點(diǎn);)1, 0()()()(0 mczzczfiimmnnn只有有限負(fù)冪次項(xiàng)，稱只有有限負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為為m 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn); nnnzzczfiii)()()(0有無窮多負(fù)冪次項(xiàng)，稱有無窮多負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為本性奇點(diǎn)。為本性奇點(diǎn)。3. 性質(zhì)性質(zhì).)()(000解解析析在在補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義：zzfczf 000)(lim)()(0czfzzczfzznnn q若若z0為為f (z)的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn))1, 0()()(0 mczzczfmmnnnq若若z0為為f (z)的的m (m 1) 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn))()(1

5、)()(lim00zgzzzfzfmzz . 0)()(,)()()(:0020201 zgzzzgzzczzcczgmmm內(nèi)是解析函數(shù)且內(nèi)是解析函數(shù)且在在其中其中 422)1)(1(23)( zzzzzf例如：例如：z=1為為f (z)的一個(gè)三級(jí)極點(diǎn)，的一個(gè)三級(jí)極點(diǎn)， z= i為為f (z)的一級(jí)極點(diǎn)。的一級(jí)極點(diǎn)。)()(lim)( 不不負(fù)負(fù)冪冪次次項(xiàng)項(xiàng)的的洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)有有無無窮窮多多項(xiàng)項(xiàng)zfzfnq若若z0為為f (z)的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn)4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定義定義 不恒等于不恒等于0的解析函數(shù)的解析函數(shù)f (z)如果能表示成如果能表示成)()()(0zzzzfm

6、Nmzzz ,)(, 0)(00點(diǎn)點(diǎn)解解析析在在其其中中： 則稱則稱z=z0為為f (z) 的的m 級(jí)零點(diǎn)。級(jí)零點(diǎn)。與與三三級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)。的的一一級(jí)級(jí)分分別別是是與與3)1()(10 zzzfzz例如：例如：0)()()(0000 zczzcznnn ),)(, 0)(00Nmzzz 點(diǎn)點(diǎn)解解析析在在 . 0)()1, 2 , 1 , 0(0)()()()(0)(0)(0 zfmnzfzzzzfmnm 定理定理事實(shí)上事實(shí)上，必要性得證！必要性得證！ 00)()(nmnnzzczf0!)(),1, 2 , 1 , 0(0)(:00)(0)( cmzfmnzfTaylormn而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的系系數(shù)

7、數(shù)公公式式有有由由充分性略！充分性略！的的零零點(diǎn)點(diǎn)。均均為為與與3)1()(10 zzzfzz例如例如zzzzf6)1(6)1(12)( 23)1(3)1()( zzzzf又又0)1( f)1(6)1(6)(2 zzzzf為為一一級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)00)1()0( 3 zf為三級(jí)零點(diǎn)為三級(jí)零點(diǎn)1 z06)1( f0)1( f級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的是是若若mzfz)(0定理定理.)(10級(jí)零點(diǎn)級(jí)零點(diǎn)的的是是mzfz證明證明)()(1)(0zgzzzfm “”若若z0為為f (z)的的m 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn)).0)(,)(00 zgzzg且且解析解析在在)()()()(1)()(1000zzzhzzzgzzzfmm

8、 ).0)(,)(00 zhzzh且且解析解析在在，令令0)(1, 0)(1lim00 zfzfzz.)(10級(jí)零點(diǎn)級(jí)零點(diǎn)的的是是則則mzfz則則級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)的的是是”若若“,)(10mzfz)()()(10zzzzfm ).0)(,)(00 zzz 且且解解析析在在)()(1)(1)(1)(000zzzzzzzfzzmm 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)).0)(,)(00 zzz 且且解析解析在在.)(0級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的是是mzfz。如如果果是是極極點(diǎn)點(diǎn)指指出出它它的的級(jí)級(jí)的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)，求求)1)(1()(2zezzzf 例例解解顯然，顯然，z= i 是是(1+z2)的一級(jí)零點(diǎn)的一級(jí)零點(diǎn), 2, 1, 0)12()12()2()1(1, 01 kikzikkiLnzeekzz故故奇奇點(diǎn)點(diǎn)為為：即即 0)12(