描述性統(tǒng)計學公式

1、統(tǒng)計學公式匯總表一、組限和組中值1當兩組間的相鄰組限重合時：組距=本組上限-本組下限 組中值=（上限+下限）/ 2或=下限+組距/ 2或=上限-組距/ 22當兩組間的相鄰組限不重合時：組距=下組下限-本組下限或=本組上限-上組上限 組中值=（本組下限+下組下限）/ 2或=本組下限+組距/ 2或=下組下限-組距/ 23組距式分組中的“開口”情況：組中值=上限鄰組組距/ 2或=下限+鄰組組距/ 2一、相對指標的種類和計算方法（一）計劃完成相對數(shù)1計劃完成相對數(shù)的基本計算公式：實際完成數(shù)計劃完成相對數(shù)=* 100%計劃完成數(shù)例：某公司計劃2005年銷售收入500萬元，實際的銷售收入 552萬元。則:

2、552計劃完成相對數(shù)=* 100% = 110.4%5002計劃完成相對數(shù)的派生公式:（1 ）對于產(chǎn)量、產(chǎn)值增長百分數(shù):計劃完成相對數(shù)100% -實際增長%= * 100%100% 計劃增長%（2）對于產(chǎn)品成本降低百分數(shù):計劃完成相對數(shù)100% 實際增長%= * 100%100% 計劃增長 %例：某企業(yè)2005年規(guī)定產(chǎn)值計劃比上年增長8%,計劃生產(chǎn)成本比上年降低5%,產(chǎn)值實際比上年提高10%，生產(chǎn)成本實際比上年降低 6%，試求該企業(yè)產(chǎn)值和成本計劃完成相對數(shù)。100% 10%解：產(chǎn)值計劃元成相對數(shù) =* 100% = 101.85%100% +8%100% 6%成本計劃完成相對數(shù) =* 100%

3、 = 98.95%100% 5%（3）計劃執(zhí)行進度相對數(shù)的計算方法:本期計劃數(shù)計劃執(zhí)行進度=計劃期內(nèi)某月止累計完成數(shù)* 100%例：某公司2005年計劃完成商品銷售額 1500萬元，1 9月累計實際完成1125萬元。 則：1 9月計劃執(zhí)行進度1125* 100% = 75%1500（二）結構相對數(shù)結構相對數(shù)=總體某體數(shù)數(shù)值總體數(shù)值* 100%例：某地區(qū)2005年國內(nèi)生產(chǎn)總值為第一產(chǎn)業(yè)增加值所占比重 =88.881841.611841.61億元，其中第一產(chǎn)業(yè)增加值為88.88億元，貝* 100% =4.83%（三）比例相對數(shù)比例相對數(shù)=同總體中某一部分數(shù)值 同一總體另一部分數(shù)值* 100%例：某

4、地區(qū)2005年國內(nèi)生產(chǎn)總值為 2106.96億元，其中輕工業(yè)產(chǎn)值為 1397.31億元，重 工業(yè)產(chǎn)值為709.65億元，則：輕重工業(yè)比例=1397.31:709.65=1.97:1（四）比較相對數(shù)、甲地區(qū)（單位）某指標數(shù)值比較相對數(shù)=乙地區(qū)（單位）同一指 標數(shù)值* 100%市名人口數(shù)（萬人）國內(nèi)生產(chǎn)總值（億元）人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（元 從）甲7252803862乙3401925647比較相對數(shù)（以乙市為100）213.24145.8368.39例：2005年某省兩個市有關資料如表所示。（五）動態(tài)相對數(shù)動態(tài)相對數(shù)=報基期數(shù)值例：某地區(qū)國內(nèi)生產(chǎn)總值動態(tài)相對數(shù)2004年為2097.77億元，2005年為

5、2383.07億元。則:2383.07=* 100% = 113.6%2097.77（六）強度相對數(shù)強度相對數(shù)=某一指標數(shù)值另一有聯(lián)系的指標數(shù)值例：某地區(qū)2005年零售商業(yè)網(wǎng)點為 50000個，年平均人口為 800萬人，則: 零售商業(yè)網(wǎng)密度 =50000 個 = 62.5 （個/萬人）800萬人零售商業(yè)網(wǎng)密度=800萬人=0.016（萬人/個）50000個三、平均指標（一）算數(shù)平均數(shù)1簡單算數(shù)平均數(shù):_X1X2Xnx=n例：某生產(chǎn)班組 10個工人日加工零件數(shù)量分別為20、21、22、23、24、25、26、28、29、32,則這10個工人日平均加工零件數(shù)為：20 2122 23 2425 26

6、28 2932“平均加工零件數(shù)=25 （件）102加權算術平均數(shù)：根據(jù)單項數(shù)列計算加權算術平均數(shù):_X1 f 1X2 f 2X3 f 3Xnfnx =f1+ f2 + f3 + fnn' Xifi i dn' fii W例：某車間有200名職工，他們每月加工的零件數(shù)如表所示:零件數(shù)（件）Xi工人數(shù)（人）fi產(chǎn)量*工人數(shù)Xifi30206003250160034762584354014003614504合計2006688職工平均加工零件數(shù)=30* 2032* 5034* 7635* 4036*14 = 33.44 （件）20 +50 +76 + 40 +14根據(jù)組距數(shù)列計算加權算

7、術平均數(shù)' XifiX =i=n（ Xi為組中值）x fi例：某食品廠上月有員工 300人，其糖果產(chǎn)量資料如表所示:產(chǎn)量（千克）員工人數(shù)（人）f i組中值Xi總產(chǎn)量（千克）Xifi400以下2235077004005005045022500500600665503630060070076650494007008005675042000800以上3085025500合計300一183400n_ 工 Xifii =1X= = 611.33 （千克）' fii =1（二）調(diào)和平均數(shù)1簡單調(diào)和平均數(shù):H=（H代表調(diào)和平均數(shù),Xi代表各單位標志值，n代表標志值的項數(shù)）i ° X

8、i100千米，返回時逆水行舟,例：輪船從甲地開往乙地，去時順水行舟，船速為每小時 船速為每小時80千米，求輪船的平均時速。H= 1=88.89 （千米 /時）1 1100 8022加權調(diào)和平均數(shù):n' miH=Fy Xi進甲種原材料的平均價格。價格（元/千克）xi采購金額（元）mimi采購量（千克）Xi第一批5025000500第二批5544000800第三批6018000300合計一870001600n' miv 87000/原材料的平均價格：H二二 =54.38 （元/千克）n mi1600Z v X（三）幾何平均數(shù)1簡單幾何平均數(shù)：G= VX1* X2* X3*- * X

9、n =* X（ G代表幾何平均數(shù)，Xi代表各單位標志值，n代表標志值的項數(shù)，n連乘符號）例：某地區(qū)上個五年期間，經(jīng)濟的發(fā)展速度如表所示:時間第一年第二年第三年第四年第五年發(fā)展速度（%）104.1107.7110.5114.0118.0則平均發(fā)展速度 G=n | 丨 Xi =5 1.041*1.077*1.105*1.14*1.18=1.10752加權幾何平均數(shù)：nf 1 * X2 " * X3f 3 *xfiXnG='' X1 門 * X2尉加 f2lgX2fnlgXn利用對數(shù)計算，則計算公式為:發(fā)展速度（%） Xi年數(shù)（次數(shù)）filgxifi lgx i10212.

10、00862.008610552.021210.106107102.029420.294011042.04148.1656合計20一40.5742n'fii =1n' fii T例：某地區(qū)20年來的經(jīng)濟發(fā)展速度如表所示，要求計算20年中經(jīng)濟平均發(fā)展速度。40.5742=2.028720' fi lg xIgG二Vn' fiG=106.83%四、眾數(shù)和中位數(shù)（一）眾數(shù)下限公式:M 0 = L+：1 亠上限公式：M0 =U-2* iAi + 氐 2公式中：L代表眾數(shù)組的下限值；U代表眾數(shù)組的上限值； 1代表眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差; 2代表眾數(shù)組次數(shù)與后一組次數(shù)之差

11、;i代表眾數(shù)組的組距。例：現(xiàn)檢測某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時間，的資料如表所示。耐用時間（小時）產(chǎn)品個數(shù)（個）600以下8460080016180010002441000120015712001400361400以上18合計700易知眾數(shù)落在第二組，則:L=800，1 =244 161=83，: 2 =244 157=87，i = 200183眾數(shù) M0 = L+* i = 800 +* 200 =897.65 （小時）1+A283+87（二）中位數(shù)1由未分組資料確定中位數(shù)：n +1、一Om =（n代表單位標志值的項數(shù)）2例：某生產(chǎn)小組 7人日產(chǎn)量（件），由低到高排列為：9，10,12，13

12、,14,15,16，求中位數(shù)。n十17十1中位數(shù)所在位置 Om =42 22由單項數(shù)列確定中位數(shù):Om =例：某車間56個工人的日產(chǎn)量資料如表所示，求車間工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。日產(chǎn)量（件）工人數(shù)（人）累計次數(shù)108815122018204020105022656合計56一n' fOm =28，對應在第二組。2 2所以Me =183由組距數(shù)列確定中位數(shù)nZ fi中位數(shù)所在位置Om = 72n、fi下限公式：7Sm -12Me = L +* ifmn、fi上限公式：VSm 12Me=U 一*ifm公式中：L為中位數(shù)所在組的下限值; U為中位數(shù)所在組的上限值;fm為中位數(shù)所在組的次數(shù)；Sm-1

13、為中位數(shù)所在組前面各組的累計次數(shù);Sm+1為中位數(shù)所在組后面各組的累計次數(shù); i代表中位數(shù)所在組的組距。耐用時間（小時）產(chǎn)品個數(shù)（個）累計次數(shù)以下累計以上累計600以下84847006008001612456168001000244489455100012001576462111200140036682541400以上1870018合計700一一、fiOm =3502i 42說明中位數(shù)在第三組，即在800-1000小時之間。中位數(shù)Me = L +a fii 二_ Sm -12* i = 800 +700 一2452244200 = 886.07 (小時)五、幾種平均數(shù)的關系1算數(shù)平均數(shù)、眾數(shù)和

14、中位數(shù)的關系:當x =M e=M 0時，分布曲線為正態(tài)分布；當x >M e>M 0時，分布曲線右偏；當X <M e<M 0時，分布曲線左偏；2算數(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關系:六、變異度指標（一）變異度指標的計算1全距：R = Xmax - Xmin例：某車間5個工人日產(chǎn)量分別為 5,15,20,30,50，求工人產(chǎn)量全距。R=50 5=45 （件）2四分位差：Q0= xmin ； Q4= Xmax ； Q2= M e四分位差的計算公式為:Q= Q3 Q1公式中：Q3為第三個四分位數(shù),Q1為第一個四分位數(shù),例：某車間有12個工人10,20,22,24,25,26

15、,27,28,30,32,34,35，求其四分位差。Q3的位置=4n +1Q1的位置=4,其日產(chǎn)量按數(shù)量由小到大依次排列Qi 的位置=- 1 =3.25，貝U Qi=22+ 24 一 22 =22.5 （件）444Q3的位置=心=4）=9.75,4Q3=30+（32 30）31.5 （件）4所以 Q= Q3-Qi=31.2 22.5=9 （件）3平均差 簡單平均差：A.D.=nZX -Xn例：某車間組5個工人的日產(chǎn)量分別為20,22,25,26,27 （件），求該組日產(chǎn)量平均差。n' X亠=24 （件）nZA.D. = V咚=2.45（件）n_Xi X* fi7A.D.= 加權平均差:

16、日產(chǎn)量（件）工人數(shù)（人）fi組中值XiXi fi|Xi X |Xi X | fi10以下1055018.8188102024153608.82112030402510001.2483040203570011.222440以上64527021.2127.2合計100一2380一798.4n'、fii =1例：某車間100個工人的日產(chǎn)量資料如表所示:_/f 2380展x=23.8 （件）、f 100i Jn_瓦 Xi _X * fiA.D.=摯=7.98 （件） 送 fi100i A4標準差和方差簡單平均法n_' （Xi -x）22 _ i討:二一n例：某車間組5個工人的日產(chǎn)量分別

17、為20,22,25,26,27 （件），求該組日產(chǎn)量標準差差。n_ 瓦XX = =24 （件）nn_' （Xi -X）2i Tn34= =6.85二=6.8=2.61 （件）加權平均法：n_' （Xi -X）2 fi宀Gn' fii T例：紅星食品廠本月員工 500人，本月糖果產(chǎn)量資料如表所示，試以標準差反映該糖果廠人均產(chǎn)量的差異情況。人均產(chǎn)量（千克）工人數(shù)（人）fi組中值Xi600以下40550600700100650700800160750800900120850900以上80950合計500一n385000十 +十=770（千克）500i 4n_2 =680000

18、0=13600500'（X X）2 fii=1n' fii討二=13600=116.62 （千克） 交替標志的標準差:二p= P（1 P）（P為某事件發(fā)生的概率）例：某車間生產(chǎn)300件產(chǎn)品其中合格品為 270件，不合格品30件試計算這批產(chǎn)品的平均合格率及標準差。廠270合格率：P= =90%300二 p= P（1 P）= 0.9（1 0.9） =30% 總方差、組間方差和平均組內(nèi)方差：總方差：n_送（Xi X）2_宀 口（二2代表總體方差， X代表總體平均數(shù)，n表示總體單位數(shù)）n組間方差：n _為（X -x）2 ni_2 二 * 2:= V （: 表示組間方差， Xi表示第i組

19、的組平均數(shù)（組中值），X代n表總體平均數(shù)，ni表示第i組的總體單位數(shù)，n表示總體單位數(shù)）平均組內(nèi)方差：'（Xi-Xi）2i Jn2公式中：二i代表第i組的組內(nèi)方差,ci2代表各組組內(nèi)方差的平均數(shù),ni表示第i組的總體單位數(shù)，n表示總體單位數(shù)例：某班組9個工人，日產(chǎn)量分別為2, 4，4，6，7，8，9，11,12，根據(jù)資料計算總平均數(shù)X =n' Xi亠二63 二 7 （件）n 92 :二=n-（Xi-X）290二=90=10（件）n92將上述資料整理成組距數(shù)列并計算組間方差:，計算過程如表所示:日產(chǎn)量（件）Xi工人數(shù)（人）fi組平均數(shù)（件）Xi 2（Xi X ）fi2533.33

20、40.416947.501.001012211.540.5合計9一81.91n _2=瓦（X -X）2fii =1n、fii m81.919=9.1根據(jù)資料計算各組內(nèi)方差2二i以及平均組內(nèi)方差-i 2 ，計算過程見下列各表:第一組方差計算表日產(chǎn)量（件）Xi2（Xi X ）X1 =3.3321.7740.45nz2-i ni2 = i =1Cinci2 =n_（Xi - Xi）2i 1 n4合計2.670.452.673=0.89第二組方差計算表日產(chǎn)量（件）Xi（Xi X2）2X2=7.562.2570.2580.2592.25合計5.00n_"xj25.00= 1.25ni4第三組方

21、差計算表日產(chǎn)量（件）Xi（X X3）X3 =11.5110.25120.25合計0.50n_少如o.5o= 0.25 ni2計算組內(nèi)平均數(shù)n27i nii =1n0.89*3 1.25*4 0.25*28.179=0.95變異系數(shù):V a = _ *100%X例：某農(nóng)科所對其培育的甲、乙兩種農(nóng)作物良種進行播種試驗，得平均收獲率資料和資料和收獲率標準差，如表所示：甲品種乙品種平均公頃產(chǎn)量（千克）1200014250標準差（千克）570630日產(chǎn)量（件）工人數(shù)fi組中值XiXi fi（Xi X）2 fi累計次數(shù)50以下1145495990011506013557155200246070706545

22、50700094708012075900002148090508542505000264901003095285012000294標準差系數(shù)：V甲V乙二甲570*100% =*100% = 4.75%一12000x甲二乙630 *100% =*100% = 4.42%一14250x乙（二）偏度與峰度（不需要背公式，只需要理解公式的意義和作用 ）1偏度的測量（下面的計算都不需要掌握，只要能看懂即可。）偏度=算數(shù)平均數(shù)一眾數(shù)=X MoX - M 0偏態(tài)系數(shù)：SKp =CT例：甲車間300工人日產(chǎn)量資料如表所示:10011051055254500299110以上11151151600300合計300

23、一2250045200一nXifii J 22500 心-=75 （件）300n_2L（Xi - X）fi 452n' fii =1二=12.27 （件）M0 = L+* i = 70 +i + 也 250* 10 =74.17 （件）50 70所以 SKp = X 一 M 0 = 0.072動差法一階原點動差n、Xfii =1i = x、fii=1二階原點動差nXi2 fiM 2 =2 n'fii W三階原點動差n、 Xi' fiM 3 =3 nV fii =1四階原點動差nv Xi4 fiM 4 =4 n' fii=1k -、x fiK階原點動差M k =

24、Vz若將原點移到算數(shù)平均數(shù)x的位置上，則可得中心 k階動差 mk，如:一階中心動差n_(X X)fii -4mi=A= on'fii丄二階中心動差m2=n_v ( Xi X)2 fii Tn、fii =1三階中心動差nv ( Xi X)3fii =1 m3=n、fii d四階中心動差m4=nv ( Xi X)4 fii T，等等。動差法偏態(tài)系數(shù):m33當a當a當a例:=0時,>0時,<0時,m3或=或3m2表明分布數(shù)列是對稱分布。表明分布數(shù)列是正向偏態(tài)（右偏）。表明分布數(shù)列是負向偏態(tài)（左偏）。日產(chǎn)量（件）工人數(shù)fi組中值XiXi X3（Xi X ） fi4（X X）fi50以下1145-30-297000891000050601355-20-104000208000060707065-10-700007000007080120750008090508