一元微分學(xué)概念性質(zhì)與計(jì)算講義

1、一元微分學(xué)概念性質(zhì)與計(jì)算講義 一元微分學(xué)的概念 性質(zhì)與計(jì)算 講義 一、考試內(nèi)容 （一） 導(dǎo)數(shù)與微分的概念與性質(zhì) ， 函數(shù) 在點(diǎn) 處 可導(dǎo)， 則其所示曲線在點(diǎn) 處有切線，反之不然. （二） 基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 及高階導(dǎo)數(shù)表 ； ， . （三） 導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則 ， 對冪指函數(shù)也可用對數(shù)求導(dǎo)法，其適用于冪指函數(shù)、連乘、連除、開方、乘方等； ； (0) 00 000 0( ) ( ) ( )(0) lim , ( ) lim ( ) ,fx hf x mh f x nh f mxf a ma f x a m n ax h=® ®+ - -¢ ¢ = Û

2、; = = Þ = +00 0 0 0 0 0 0( ) "( ) "( ) ,lim ( ) ( ) "( ) "( ) ( )x xf x a f x f x a f x f x f x f x f x- +- +®¢ ¢ ¢ ¢ = Û = = = Û = =( ) ( ) ( ) ( ) "( ), ( ( ) "( ) ( ) "( ) "( ) "( ) , y x a x x o x a x y x dy u x

3、 y u du x y u u x dx y x dx d = d + d Û = = = =( ) f x0x0x2 22 21ln( )" , x x ax a+ ± =±2 21 1( ln )" ,2a xa a x a x+=- -11,1(ln )" ,( )" ,( ) " ( 1)( )1,n nx ax x a x a x a n x a x ax a x-> ì= - = - - = + - -í -<î( ) ( ) ( 1) ( )101 ( 1)

4、!( ) ! ,( ) ln ,ln( ) ( ) ,( )nm n x n x n n nnn m nmn mnx n n m a a a x ax a x aa x n m+-> ì- ï= = = ± = =í± ±ï<î( )(sin ) sin( 2)n nax a ax n p = +( )(cos ) cos( 2)n nax a ax n p = +( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ln ( ) ( ) "( ) "( )ln ( )( )v x v

5、 x v xv xd u x u x d v x u x u x u x v x u x dxu x= = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )nn n n n k n k knkk u x k v x k u x k v x u x v x c u x v x-=+ = + = ×å 設(shè) 二階可導(dǎo)，且 ，則 ， ； 設(shè) 二階可導(dǎo)，若 由 所確定， 則 ， . 二、典型例題 題型一 可導(dǎo)性的判定 1、設(shè)函數(shù) 在 處連續(xù)，則 是 的(a) (a) 充分非必要條件 (b) 必要非充分條

6、件 (c) 充要條件 (d) 既不充分也非必要條件 2 2 、設(shè) ，則 是 的(b) (a) 充分非必要條件 (b) 必要非充分條件 (c) 充要條件 (d) 既不充分也非必要條件 注 1： 是 的(c) ，但 是的(b) 提示：取 ,則 ，但 在 處非右連續(xù) 注 2：若設(shè)函數(shù) 在 處連續(xù)，則 是的(d)，但 是 的(a) 3、設(shè) 存在但不相等，則下列命題正確的是(b) (a) 在 處不連續(xù) (b) 在 處連續(xù)但不可導(dǎo) (c) 為 的跳躍間斷點(diǎn) (d) 為 的跳躍間斷點(diǎn) 注 1： 為 的跳躍間斷點(diǎn) 存在但不相等； ) (x f y = " 0 y ¹ "( ) 1

7、 " x y y =3""( ) "" " x y y y =-( ), ( ) x t y t ( ) y y x = ( ), ( ) x x t y y t = ="( ) "( ) "( ) y x y t x t =3""( ) "( ) "( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ &#

8、162; = = -) (x f0x x =010lim( ) ( )x xx x f x a-®- =0( ) f x a ¢ =0 ) 0 ( = f220lim ( 1)xxx f e a-®- = "(0) f a =220lim ( 1)xxx f e a-®- = "(0) f a+=1lim ( )nnf n a-®¥= "(0) f a+=0,( )1,x qf xx qÎ ì= íÏî1( ) 0 fn= ( ) f x 0 x =) (

9、x f 0 x =220lim ( 1)xxx f e a-®- = "(0) f a =220lim ( 1)xxx f e a-®- = "(0) f a+=0 0"( ), "( ) f x f x- +( ) f x0x x = ( ) f x0x x =0x x = ( ) f x0x x = "( ) f x0x x = "( ) f x Û0 0"( ) "( ) f x f x- +， 為 的可去間斷點(diǎn) 存在且相等； 注 2：設(shè) 在 處連續(xù)，且 存在且相等 在處連續(xù) 4

10、、設(shè) 在 處連續(xù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為(d) (1) 若 在 處可導(dǎo)，則 (2) 若 在 處連續(xù)，則 (3) 若 ，則 (4) 若 ，則 (a) (b) (c) (d) 5、函數(shù) 不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 6、設(shè) ， 在 連續(xù)，但不可導(dǎo)，又 存在，求證： 是 在 可導(dǎo)的充要條件 題型二 求導(dǎo)（微）的計(jì)算 例 1、設(shè) ，求 例 2、設(shè) ，求 例 3、設(shè) ，求 例 4、函數(shù) 可導(dǎo)， 當(dāng)自變量 在 處取得增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)增量 的線性主部為 ，則(提示： ) 例 5、設(shè) 是方程 所確定的函數(shù)，求 及 0x x = "( ) f x Û0 0"( ) "( ) f x

11、 f x- +，( ) f x0x x =0 0"( ) "( ) f x f x- +， Þ "( ) f x0x x =00( ),( ),g x x xf xa x x¹ ì= í=î0x( ) g x0x0 0"( ) "( ) f x g x = "( ) g x0x0 0"( ) "( ) f x g x =0 0"( ) "( ) g x g x b- += =0"( ) f x b =0 0"( ) "

12、;( ) g x g x b-+= =0"( ) f x b =1 2 3 42 2( ) ( ) 2 f x x x x x = + - - 1( ) ( ) ( ) f x g x x j = ( ) x j x a = ( ) g a ¢( ) 0 g a = ( ) f x x a =) ( ) 2 )( 1 () ( ) 2 )( 1 () (n x x xn x x xx f+ + +- - -=ll) 1 (f ¢xex y = "( ) y x2 2ln( 1 ) 1 f x x x + + = + ) 1 ln(2x x f + + &

13、#162; ¢) (u f ) (2x f y = x 1 - = x1 . 0 - = dx y d 0.1 (1)f ¢=0.52 2 ( )" 2 "( ) dy f x x xf x x = d = d) (x f y = 0 = + -xy e ex y) 0 (y¢) 0 (y¢ ¢ 例 6、 求 例 7、設(shè)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù)，其反函數(shù)為且滿足 ，則 例 8、設(shè) 二階可導(dǎo)，且 ，求 求 例 9、設(shè) 是由方程組 所確定的隱函數(shù)，求 例 例 0 10 、 已 知 是 由 方 程 確 定 ， 則 例 11、求函

14、數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 例 例 1 12 2 、對于函數(shù) ,問選取怎樣的系數(shù)才能使得 處處具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，但在 處卻不存在二階導(dǎo)數(shù) 題型三 高階 導(dǎo) 數(shù) 的計(jì)算 例 1、設(shè) ，則 例 2、設(shè) ，求 例 3、設(shè) ，求 例 4、設(shè) ，求 ， 三 、 課后 練 習(xí) 2 2arctany x eyx+ = dy( ) y f x =( ), x y j =(1) 1, (1) 2, (1) 3 f f f ¢ ¢¢ = =- = (1) j ¢¢ = 3 8) (t f 0 ) ( ¹¢ ¢ tfîíì

15、- ¢ =¢ =) ( ) () (t f t f t yt f x22dxy d) (x f y =îíì= + -+ + =0 1 sin3 2 32y t et t xy202| td ydx=( ) x f y = ( ) 1 ln cos = + - x y xy( ) ( ) lim 2 1nn f n®¥- = 2) 1 1 )( 1 ( + + - - = x x x yy¢îíì³ +< + +=0 ) 1 ln(0) (2x xx c bx axx

16、fc b a , , ) (x f 0 = x50 2) 5 4 ( + = x y ! 100 4 50) 100 (× = y2 13 ( 2) y x x x-= - -) (nyx x y4 4cos sin + =( ) ( 1)4 cos(4 2)n ny x n p-= +2 1( 2) (cos4 )n ny x x x p-= + - ) () (x fn) 1 () (nf 1(a)、設(shè) 存在，則 2(a)、設(shè) 在 處連續(xù)，且 ，則 3(b)、若 ，且 ,則 4(a)、設(shè)函數(shù) 在 處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是( ) (a)若 存在，則 (b)若 存在，則 (c)若 存

17、在，則 存在(d)若 存在，則 存在 5(a)、設(shè) ，則 在點(diǎn) 可導(dǎo)的充要條件是( ) (a) 存在 (b) 存在 (c) 存在 (d) 6(b)、設(shè) 可導(dǎo)， ，則 是 在處可導(dǎo)的( ) (a) 充要條件 (b)充分非必要條件 (c) 必要非充分條件 (d)即非充分也非必要條件 7(a)、函數(shù) 不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 8(a)、設(shè) 則使 存在的最高階數(shù) 為( ) (a)0 (b)1 (c)2 (d)3 9(b)、設(shè) ，則 在 內(nèi)( ) (a) 處處可導(dǎo)(b) 恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) (c)恰有兩個(gè)不可導(dǎo)) (0xf ¢10 00lim ( ) ( 2 )xx f x x f x x-®

18、+ - - =) (x f 2 = x2 12lim( 4) ( ) 3xx f x-®- = (2)f ¢=(0) 0 f = (0)= f a ¢3 2 30lim ( ) 2 ( )xx x f x f x-®- =) (x f 0 x =10lim ( )xx f x-®(0) 0 f =10lim ( ) ( )xx f x f x-®+ -0 ) 0 ( = f10lim ( )xx f x-®"(0) f10lim ( ) ( )xx f x f x-®- -"(0) f0 ) 0

19、 ( = f ) (x f 0 = x20lim (1 cosh)hh f-®-10lim (1 )hhh f e-®-20lim (tan sin )hh f h h-®-10lim (tan ) (sin )hh f h f h-®-) (x f ) sin 1 )( ( ) ( x x f x f + = 0 ) 0 ( = f ) (x f 0 = xx x x x x f - - - =3 2) 2 ( ) (3 2( ) 3 , f x x x x = +( ) (0) nf nnnnx x f31 lim ) ( + =¥

20、74;( ) f x ) , ( +¥ -¥ 點(diǎn) (d) 至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn) 10(a)、設(shè) ，其中 是有界函數(shù)，則在 處( ) (a)極限不存在 (b) 極限存在，但不連續(xù) (c) 連續(xù)但不可導(dǎo) (d) 可導(dǎo)點(diǎn) 11(b)、設(shè) 在 處連續(xù)，則下列命題正確的個(gè)數(shù)為( ) (1) 若 ，則 (2) 若 ，則 (3) 若 ， 則 (4) 若，則 (a) (b) (c) (d) 12(a)、設(shè) 為不恒等于零的奇函數(shù)，且 存在，則 為的( ) (a) 連續(xù)點(diǎn) (b) 跳躍間斷點(diǎn) (c) 可去間斷點(diǎn) (d) 第二類間斷點(diǎn) 13(a)、若 為偶函數(shù)，且 存在，求證： 14(a)、設(shè)函數(shù)

21、 的圖形如圖所示，則在 處的 及的正負(fù)號為（ ） （a） （b） （c） （d） 2(1 cos ) 0( )( ) 0x x xf xx g x xì- > ï= í£ ïî) (x g ) (x f0 = x000( )( )( )g x x xf x a x xh x x x< ìï= =íï>î0x0 0"( ) "( ) g x h x b = =0"( ) f x b =0 0"( ) "( ) g x h

22、 x b- += =0"( ) f x b =0 0"( ) "( ) g x h x b-+= =0"( ) f x b =0 0"( ) "( ) g x h x b- += =0"( ) f x b =1 2 3 4) (x f ) 0 (f ¢0 x =( ) ( ) g x f x x =) (x f ) 0 (f ¢0 ) 0 ( =¢ f) (x f y =0x dy dy y - d0 , 0 > - d < dy y dy 0 , 0 < - d < d

23、y y dy0 , 0 > - d > dy y dy 0 , 0 < - d > dy y dy y 15(a)、設(shè) 可微， , 則 . 16(a)、設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo),且 , ，則 . 0 17(a)、設(shè)函數(shù) ，其中 為正整數(shù)，則=( ) . 18、計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)（微分）： （1）(a)設(shè) ，則 . （2）(a)設(shè) ，求 . （3）(a)若 由 確定，則 . （4）(b)設(shè) ，其中 具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，求. （5）(a)設(shè) ，其中 可導(dǎo)，且 ，則 . （6）(a)設(shè) 由 所確定，則 . （7）(b)設(shè)函數(shù) 則 . （8）(b)設(shè) ，則 . （9）(a)設(shè) ，則 .

24、 （10）(a) 則 . （11）(b)設(shè)函數(shù) ，則當(dāng) ， . 19(a) 、設(shè) ，則 . ( ) g x1 ( )( ) e , (1) 1, (1) 2g xh x h g+¢ ¢ = = =(1) g =( ) f x 2 x =( )( )ef xf x ¢ =( ) 2 1 f = ( ) 2f¢¢¢=0x x x d +0x2( ) ( 1)( 2)x x nxf x e e e n = - - （ - ） n"(0) f2ln (1 ) (1 ) y x x = - + (0)y¢¢=23

25、(1)( 7) (1 ) y x x x x = + + + (1)y¢=) (x f y = 0 1 62= - + + x xy ey(0)y¢¢=) ( y x f y + = f " 1 f ¹ ""( ) y x =îíì- =- =) 1 () (3te f yt f x pf 0 ) 0 ( ¹¢ f0 tdydx=) (x y y =îíì+ =+ - =2 3) 1 ln(t t yt t x22d ydx=ln , 1( )= , ( ( ),2 1, 1x xf x y f f xx xì³ ï=í- < ïî 2=xdydx= 2 3( ) max , , , (0,2) f x x x x x = Î ( ) f x ¢ =( ) (1 ) (1 ) f x x x = - +( ) ( ) nf x =ln(1 2 ) y x = - ，( ) (0) ny =) 1 ln( ) (2x x x f + = 3 ³ n( ) (0) nf =0( ) lim (1 3 ) x ttf