不等式的概念和基本性質(zhì)

1、不等式的概念和基本性質(zhì)不等式的概念和基本性質(zhì)重點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì) 難點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用主要內(nèi)容：1.不等式的基本性質(zhì)(1 ) ab=bva(2 ) ab,bcac(3 ) a+bcaba+cb+ca=aohcb,cd=a+cb+d(2 )減法法則：ab,cd=a-dbc(3 )乘法法貝!|： abO,cdO=acbdOab(4 )除法法則：ab0,cd0= ?0(5 )乘方法則：ab0,anbn0 (nGN, n2)(6 )開(kāi)方法則：ab00(nN,n，2)3 .基本不等式（1 ） aWRkeO（當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)取等號(hào)）(2 )a,beR,a2+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）a

2、+ b（3 ） a,bR+,k 2病（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）(4 ) a,b,c e Ra3+b3+c33abc(當(dāng)且僅當(dāng) a=b=c時(shí)取等號(hào))a +(5 ) a,b,cR+, -3 一2醞(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào))(6 ) lal-lbllabllal+lbl4 .不等式的概念和性質(zhì)是進(jìn)行不等式的變換，證明不等式和解不等式的依據(jù)，應(yīng)正確理解和運(yùn)用不等式的性 質(zhì)，弄清每條性質(zhì)的條件與結(jié)論，注意條件與結(jié)論之間的 關(guān)系?；静坏仁娇梢栽诮忸}時(shí)直接應(yīng)用。例1.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c判斷以下命題的真假(1 )若 ab,貝!| acbc2,貝(Jab;(3 )若 avbvO,貝！| a2abb2;(

3、4 )若 ablbl;1 1(5 )若 ab, ,貝!| a0, bbc2,所以c#0,從而c20,故原命題 為真命題。ab ab2綜合得a2abb2故原命題為真命題.(4 )兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù), 真命題.a h 7 1 (5)因?yàn)镮”絕對(duì)值大的反而小.故原命題為a-h11所以I 不廣cz b 所以a0, b0.故原命題為真命題.例2.已知f(x)=ax2c且lf(2)W5,求f(3)的范圍.V(l) = a - ci解：由題意可知：用)=4.卜嚴(yán))一4曲85Af(3)=9a-c=if(2)-5f(l)，運(yùn)算可知 lf(3)20-4a-c-f0aQ=J三，試比較A、G、H、Q的大小.解：由于a,b為不

4、相等的正數(shù).21 1Zab所以：G-H=n-。*匕=晶a + b(a + b)-fab - 2ab 入同(a - 2、麻 + 切=a + b=a + b_ 加)2=+30從而 H0 從而 G 14 F = 0 從而 AQ綜上所述,當(dāng)a, b為不相等的正實(shí)數(shù)時(shí),HGA a + b a + b1J2 -12a + b ,V a IV2 a-bl 172 a-bl 故而 Q+后 更接近加例5.船在流水中在甲地和乙地間來(lái)回駛一次平均速 度和船在靜水中的速度是否相等，為什么？解：設(shè)甲、乙兩地的距離為S,船在靜水中的速度為u, 水流速度為v (uv0)則船在甲、乙兩地行駛的時(shí)間t為: S_ 2s -t=w

5、+ vv = w .設(shè)x,yR,判定下列兩題中，命題甲與命題乙的 充分必要條件.0卜2,(1 )命題甲卜叫命題乙加。(2 )命題甲52；N十 y 4命題乙0 - V2平均速度 =t =葭li2 -v2w2 -v2 -u2 -v2V iJ -u= 以 -11= U =以 0 A b,則 ac2bc2； ( 2 )若 ab0,則手V不；31a占(3 )若 ab0,貝！1 工；(4 )若 abab0,貝!|三0.3. aGR,試比較 3(l+a2+a4)與(l+a+a2)2 的大小.4 .al, mn0,比較am+w和ald的大小.5 .已知函數(shù)y=f(x), xR滿足(1)對(duì)xR,都有 f(x)2

6、2； (2)對(duì)xiWR, x2e R,都有 f(Xi+X2)Wf(Xi)f(X2)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)X1,X2,都有：lgf(Xi+X2)/ lgf(Xl)+lgf(X2)參考答案1 .解(1 ) Vc20,當(dāng) c=0 時(shí) ac2=bc2=0 故原命題 為假命題(2 )舉特例2vlv0但故原命題為假命題-cz -Z? 01 1(3 )由于avbvO所以匕北b a故原命題為假命題(4 ) V ablbl0b，工V 1故原命題為真命題.一 0一辦-(7 -Z? 0,11 n所以h10，, c-bc-a0(5 ) V cab0 c-a c-b 0a b又：ab0故原命題為真命題.2 .解(1 )當(dāng) x

7、0, y0 時(shí)，很明顯 x+y0, xy0當(dāng)xy0時(shí),x,y同號(hào)；又x+y0,可知x, y同正，即 x0, y0.因此：命題甲是命題乙的充要條件.(2 )x20, y20 :. x+y4, xy4N+2但是： 研43反例如下：x=5, y=l,這時(shí) x+y=64, xy=54,但 x2, yl, mn0 可知 aman,am+nl，(am+)-(an+)0 即：a,n+an+5 .證明：設(shè) xiR, X2GR./(尤2)/(為)V f(Xi)f(X2).f(Xi)+f(X2) =f(Xi) -l+f(x2)-lV對(duì)任意XGRf(x)22，丁 120 亍1，0，f(xi)f(X2)2f(Xl)+

8、f(X2)再由條件(2)f(Xl+X2)f(Xl)+f(X2)，對(duì)任意實(shí)數(shù)GR X2R 有:f(xi+x2)f(xi) f(x2)Algf(xi+x2)lgf(Xi)f(X2)=lgf(Xi)+lgf(X2)從而對(duì)任意實(shí)數(shù)Xi WR, 乂211有：lgf(Xl+X2) (司+s) D、(I)3 .使方程cos2x+sinx=a有實(shí)數(shù)解的a的取值范圍是（）9999A、(8,4 B、-1,仙C、OJ D、-2,F4 4第4 .已知函數(shù)：(1) y=x+x(x0)5 (2)y=cosx+(0x0), (4) y=(l+cotx)(2+2tgx)(0vxv，).這四個(gè)函數(shù)中以4為最小值的個(gè)數(shù)為（A 0

9、B、1C、2D 35 .如果abc,貝有()A、lallbllcl B、laklbklcl C、la-cllc-bl D、 la+bllb+cl6 .不等式戶Nx+1的解集是()A、xl-lxl B、x|O0且a丹)的大小關(guān)系是49 .設(shè)x0,則函數(shù)y=8+x2,當(dāng)乂=時(shí)，有最小值10 .不等式lg(x2+2x+2)vl的解集是.11 .函數(shù)y=5+arcsin(2x3)的定義域?yàn)?12 .不等式飛xJ崢12的解集是.三、解答題log 1|才-2|13 .解不等式/-4才0.14 .如果 Ovavl, 0bl, 0c0.d十8十c十a(chǎn)bc16 .已知lalvl, Iblvl/clvl,求證：I

10、1 + ab- bc-ca Io,求電付恒、)的最大值和最小值.18.輪船航行的費(fèi)用分為兩部分，第一部分是輪船的折舊費(fèi)或其它服務(wù)費(fèi)用，每小時(shí)480元；第二部分為燃料費(fèi)， 它與速度的立方成正比.并且當(dāng)速度為10公里/小時(shí)時(shí)，燃 料費(fèi)為每小時(shí)30元.問(wèn)航行速度為多少時(shí)，才能使航行每公 里的費(fèi)用最??？并求出這個(gè)最小值，此時(shí)每小時(shí)的費(fèi)用總 和多少?答案:5.C6.D9.范，3滿312. xlxloga(l+) 10. xl-4x013.由卜-40解得原不等式的解集為xIxvO或lx2或2x4.114.假設(shè)(La)b, (Lb)c, (Lc)a 同大于，1abc(l-a)(l-b)(l-c)(?)3“(

11、1)1 - a 11 ，一1又 a(l-a)()2=?,即 a(la)W同理 b(Lb)W 1 1c(l-c)?,A abc(l-a)(l-b)(l-c)(?)3(2)與(2)矛盾，所以結(jié)論成立.X - X215.設(shè) x=tana (-90。00,1K7C#BP 2sin2a-sina-l09 2sinal.-i aT. 石故 原不等式的解集是(一百,+8).a + b + c + abc(一十一十一十儀方.16 . 11 + ab+ bc + ca 110 十/十/c十cd)2loa2+b2+c2+a2b2c2 0,即原不等式成立.17 .設(shè) M=lg(yigx)=lgxlgyJ； x9yJlo, A lgx0, lgy0 A Igx+lgy IgyMg()2=(亍)2=1,當(dāng) x=y=10 時(shí)等號(hào)成立，又 xy=100, A lgx+lgy=2M=-(Igx-l)2+l,由 xN而,yN網(wǎng)得 lgxi, lgy2,/. lgxe2, 2