線性代數(shù)的學(xué)習(xí)和在實(shí)際中的應(yīng)用

1、線性代數(shù)的學(xué)習(xí)和在實(shí)際中的應(yīng)用藥科大學(xué) 工商管理學(xué)院 78 期 曄 摘要：通過對(duì)線性代數(shù)的容概念理論的學(xué)習(xí)，更好的把數(shù)學(xué)知識(shí) 應(yīng)用于實(shí)際中。線性代數(shù)( Linear Algebra )是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，線性代數(shù)包括： 行列式、矩陣、線性方程組等基礎(chǔ)知識(shí)。它的研究對(duì)象是向量，向量 空間(或稱線性空間) ，線性變換和有限維的線性方程組。線性代數(shù) 被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中； 通過解析幾何， 線性代數(shù)得 以被具體表示。線性代數(shù)主要研究有限維線性空間中的線性關(guān)系和線 性映射，具有代數(shù)學(xué)的實(shí)用性和抽象性特點(diǎn)。 線性空間與線性變換是 線性代數(shù)的核心容， 而矩陣的秩是與這門課程的幾乎所有的容都有聯(lián)

2、系的一個(gè)重要的概念， 利用矩陣的初等行變換是解決這門課程絕大部 分計(jì)算問題的主要方法。 在學(xué)習(xí)過程中挖掘知識(shí)產(chǎn)生的背景和形成過 程，抓住矩陣的秩與相關(guān)概念之間的關(guān)系， 融會(huì)貫通地掌握該課程的 主要容，培養(yǎng)熟練的運(yùn)算能力及嚴(yán)密的邏輯推理能力。 下面通過實(shí)例 對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用加以說明。問題 1 生產(chǎn)總值問題一個(gè)城市有三個(gè)重要的企業(yè) : 一個(gè)煤礦，一個(gè)發(fā)電廠和一條地方鐵 路。開采一元錢的煤，煤礦必須支付 025 元的運(yùn)輸費(fèi)。而生產(chǎn)一元錢的電力， 發(fā)電廠需支付 065 元 的煤作燃料，自己亦需支付 0 05 元的電費(fèi)來驅(qū)動(dòng)輔助設(shè)備和支付 0 05 元的運(yùn)輸費(fèi)。而提供一元錢的運(yùn)輸費(fèi)，鐵路需支付 0 55

3、 元 的煤作燃料， 0 10 元的電費(fèi)驅(qū)動(dòng)它的輔助設(shè)備。某個(gè)星期，煤礦 從外面接到 50 000 元煤的定貨，發(fā)電廠從外面接到 25 000 元電力的 定貨，外界對(duì)地方鐵路沒有要求。 問這三個(gè)企業(yè)在那一個(gè)星期生產(chǎn)總 值達(dá)到多少時(shí)才能精確地滿足它們本身的要求和外界的要求 ? 解對(duì)于一個(gè)星期的周期， x1 表示煤礦的總產(chǎn)值， x2 表示電廠的總產(chǎn)值， x3 表示鐵路的總產(chǎn)值。根 據(jù)題意 :x1 ( 0 65x2 + 0 55x3) = 50 000x2 ( 0 25x1 + 0 05x2 + 0 1x3) = 25 000x3 ( 0 25x1 + 0 05x2) = 25 000寫成矩陣形式，得

4、00.65 (). 551(5(】 00( 0.25 0.05 0.1()x2=25 000U'l J呱25 0.05 0 丿W丿即磯一小"旗中：-舟詁500.65 0.節(jié) >5 25 0.050因?yàn)橄祷惺絀J-CI "62875 M X = 5 - 心p() )()0/=25 000山丿10,25 0,05 0.10-0.25 -0.05-0.25 0,95- (1.100.65 -O.55Y VMK'25 (WU)制據(jù)克U默法毗此方翱有唯-龜邸為7和二血087 56 163 28 330）一所以求得煤礦總產(chǎn)值為102元，發(fā)電廠總產(chǎn)值為56 163

5、元，鐵路總產(chǎn)值為28 330元。般地，如果問題所涉及的數(shù)據(jù)是以表格形式出現(xiàn)的或者問題可以轉(zhuǎn)化為線性方程組進(jìn)行求解的，這些提供的數(shù)據(jù)常常可以用上述簡(jiǎn)化的矩形式表來表示，由此引入矩陣的概念。另外， 在習(xí)題中可以安排一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用題開闊視野和培養(yǎng)應(yīng)用代數(shù)知識(shí) 解決實(shí)際問題的能力問題2:成本問題某些產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中能獲得另外幾種產(chǎn)品或副產(chǎn)品， 但是對(duì)每種產(chǎn) 品的單位成本難以確定，這類問題可以通過幾次測(cè)試，列出方程組求 解。例如：在一次投料生產(chǎn)中能獲得四種產(chǎn)品，每次測(cè)試的總成本如表1所示，試求每種產(chǎn)品的單位成本。批次A產(chǎn)品（公斤）D總成木（元）HC第一批生產(chǎn)200100100502900'第二批

6、生產(chǎn)5002502001007050'第三批生產(chǎn)1004040201360i第四批生產(chǎn)400180160605500'解：設(shè)A、B、C D四種產(chǎn)品的單位成本分別為x1、x2、x3、x4，可列出方程組200旺 +100七 + 100x3 + 50斗=2900500“ 4- 250廠 + 200x3 +100屯=7050I 100 斗 +40心 + 40 心 + 20x4 = 1360I 400“ + 180x： + 160心十 60心二 5500將方程組化簡(jiǎn)如下r 4“ + 2x2 + 2x3 + x4 - 58| 10巧+5勺+4形 + 2花=1415“ + 2a + x4 二

7、 68J 20“ +9a +8xj +3x4 二 275運(yùn)用行列式解得：x1 = 10，x2=5, x3=3，x4=2所以A、B C、D四種 產(chǎn)品的單位成本分別為10元/公斤，5元/公斤，3元/公斤，2元 /公斤問題3:利潤(rùn)問題:種商企業(yè)經(jīng)營(yíng)幾類商品，由于有些費(fèi)用難以劃分，因此不能確定每品的利潤(rùn)率，這種情況可以通過不同時(shí)期（或不同門市部）的總利潤(rùn),列出方程組求解。例如：某商店經(jīng)營(yíng)四類商品，四個(gè)月的銷售額及利潤(rùn)額如表2所示，試求每類商品的利潤(rùn)率。品類銷售額（千元利潤(rùn)月次ABCD（千兀）1250200300600802200100500800853160300400750904300250500&

8、#39;50095解設(shè)ABC、D四類商品的利潤(rùn)率分別為x1、x2、x3、x4,可列出方程組250右 + 200孔 +300心 + 600小=80200xt + 100a + 500心 + 800x4 二 85'160“ + 3002 + 400x3 + 750x4 - 90| 300A-j + 250心十 500x3 + 500a4 二 95將方程組組簡(jiǎn)化如下25 + 20x2 十 30a 3 + 60“斗二 840x1 + 20a + 100x, + 160x4 =1716眄 +30x2 + 40心 + 75x4 9.60X + 5O.v. + 100x3 + 100x4 二 19解

9、得 x1=0.10, x2=0.08，x3=0.05, x4=0.04。所以 A、B CD 四類 商品的利潤(rùn)率分別為10% 8% 5% 4%以上實(shí)例只是運(yùn)用了線性代數(shù)中線性方程組和行列式的方法，可以想象，更多精深的數(shù)學(xué)方法應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域中將會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展起到 多么大的推動(dòng)作用。問題4:在醫(yī)藥領(lǐng)域應(yīng)用在醫(yī)藥領(lǐng)域也有著很重要的作用。例如：通過中成藥藥方配制問題， 達(dá)到理解向量組的線性相關(guān)性、最大線性無關(guān)組向量的線性表示以及 向量空間等線性代數(shù)的知識(shí)問題：某中藥廠用9種中草藥（A-I ），根據(jù)不同的比例配制成了 7種特 效藥，各用量成分見表1 （單位：克）1號(hào)成藥e號(hào)成藥3號(hào)咸藥4號(hào)成藥a號(hào)成藥6

10、號(hào)成葯號(hào)成葯A10214122038100B120122535603"? 1311 |05140D79255154735E012255336F5355355550g425239|25Jpic161010 13510d 121202620 J解：把每一種特效藥看成一個(gè)九維列向量，分析7個(gè)列向量構(gòu)成向量組的線性相關(guān)性。若向量組線性無關(guān)，則無法配制脫銷的特效藥；若 向量組線性相關(guān)，并且能找到不含u3,u6的一個(gè)最大線性無關(guān)組，則 可以配制3號(hào)和6號(hào)藥品。在Matlab窗口輸入u1二10;12;5;7;0;25;9;6;8;u2二2;0;3;9;1;5;4;5;2;u3=14;12;11;2

11、5;2;35;17;16;12;u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;U=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7UO,r=rref(U)計(jì)算結(jié)果為U0=1 0 1 0 0 0 00 1 2 0 0 3 00 0 0 1 0 1 00 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1四個(gè)零行r= 1 2 4 5 7從最簡(jiǎn)行階梯型U(中可以看出，R( U) =5,向量組線性相關(guān)，一個(gè)最大無關(guān)組為u1 ，u2，u4，u5，u7， u3=u1+2u2u6=3u2+u4+u5故可以配制新藥2)三種新藥v1 ,v2,v3表示，問 題化為v1 ,v2,v3能否由u1-u7 線性表示，若能表示，則可配制；否則，不能配制。令 列可以看出結(jié)果計(jì)算結(jié)果r