2019年高考理科數(shù)學(xué)試題(天津卷)及參考答案

1、2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第卷1至2頁(yè)，第卷3至5頁(yè)。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第卷注意事項(xiàng)：1每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。2本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件、互斥，那么如果事件、相互獨(dú)立，那么圓柱的體積公式，其中

2、表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)集合，則ABCD2設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A2B3C5D63設(shè)，則“”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的值為A5B8C24D295已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為ABCD6已知，則的大小關(guān)系為ABCD7已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象

3、對(duì)應(yīng)的函數(shù)為若的最小正周期為，且，則ABCD8已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為ABCD2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）第卷注意事項(xiàng)：1用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上。2本卷共12小題，共110分。二填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9是虛數(shù)單位，則的值為_(kāi)10的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)11已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)12設(shè)，直線和圓（為參數(shù)）相切，則的值為_(kāi)13設(shè)，則的最小值為_(kāi)14在四邊形中，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線

4、上，且，則_三解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為已知，（）求的值；（）求的值16（本小題滿分13分）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立（）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率17（本小題滿分13分）如圖，平面，（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（

5、）若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)18（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為（）求橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率19（本小題滿分14分）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列已知（）求和的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足其中（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求20（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)（）求的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)時(shí)，證明；（）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，證明一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】D【解析】【分析】先求，再求。【詳解】因?yàn)?，所?

6、故選D。【點(diǎn)睛】集合的運(yùn)算問(wèn)題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡(jiǎn)的要先化簡(jiǎn)，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩圖等進(jìn)行運(yùn)算2.設(shè)【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出可行域，用截距模型求最值?！驹斀狻恳阎坏仁浇M表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分。目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值。由，得，所以。故選C?！军c(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域，分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍即：一畫(huà)，二移，三求3.【答案】B【解析】【

7、分析】分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.【詳解】，即，等價(jià)于，故推不出；由能推出。故“”是“”的必要不充分條件。故選B?！军c(diǎn)睛】充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：根據(jù)pq，qp進(jìn)行判斷；(2)集合法：根據(jù)由p，q成立的對(duì)象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問(wèn)題4.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖，逐步寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果?！驹斀狻吭斀猓海Y(jié)束循環(huán)，故輸出。故選B?！军c(diǎn)睛】解決此類(lèi)型問(wèn)題時(shí)要注意：要明確是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)各自的特點(diǎn)執(zhí)行循

8、環(huán)體；要明確圖中的累計(jì)變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化；要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會(huì)判斷什么時(shí)候終止循環(huán)體5.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出來(lái)，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率?！驹斀狻康姆匠虨?，雙曲線的漸近線方程為，故得，所以，所以。故選D?！军c(diǎn)睛】雙曲線的離心率。6【答案】A【解析】【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大小?！驹斀狻?，故，所以。故選A。【點(diǎn)睛】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對(duì)待。7.【答案】A【解析】【分析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可?！驹斀狻繛槠婧瘮?shù)，可知，由可得；把其圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原

9、來(lái)的倍，得，由的最小正周期為可得，由，可得，所以，。故選C?！军c(diǎn)睛】在處有定義的奇函數(shù)必有。8.【答案】C【解析】【分析】先判斷時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立?！驹斀狻渴紫?，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，易知為函數(shù)在唯一的極小值點(diǎn)、也是最小值點(diǎn)，故，所以。綜上可知，的取值范圍是。故選C?！军c(diǎn)睛】在上恒成立，等價(jià)于；在上恒成立，等價(jià)于。第卷二.填空題：本大題共6小題.9.是虛數(shù)單位，則的值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)數(shù)的模?！驹斀狻拷夥ㄒ唬?。解法二：?！军c(diǎn)睛】所以解答與復(fù)數(shù)概念或運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，需

10、把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即abi(a，bR)的形式，再根據(jù)題意求解10.是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得出通項(xiàng)，根據(jù)方程思想得出的值，再求出其常數(shù)項(xiàng)。【詳解】，由，得，故所求的常數(shù)項(xiàng)為.【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式中含有負(fù)號(hào)時(shí)，要把負(fù)號(hào)與其后面的字母看作一個(gè)整體，計(jì)算中要特別注意符號(hào)。11.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定所求的圓柱的高和底面半徑?！驹斀狻克睦忮F的高為，故圓柱高為，圓柱的底面半徑為，故其

11、體積為?！军c(diǎn)睛】圓柱的底面半徑是棱錐底面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半、不是底邊棱長(zhǎng)的一半。12.設(shè)，直線和圓（為參數(shù)）相切，則的值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的參數(shù)方程確定圓的半徑和圓心坐標(biāo)，再根據(jù)直線與圓相切的條件得出滿足的方程，解之解得?！驹斀狻繄A心坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以，即，解得。【點(diǎn)睛】直線與圓的位置關(guān)系可以使用判別式法，但一般是根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小作出判斷。13.設(shè)，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】把分子展開(kāi)化為，再利用基本不等式求最值?！驹斀狻?，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立。故所求的最小值為。【點(diǎn)睛】使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立。14.在四邊形中

12、，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則_.【答案】【解析】【分析】可利用向量的線性運(yùn)算，也可以建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解?！驹斀狻拷夥ㄒ唬喝鐖D，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，因?yàn)?，故四邊形為菱形。因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所?解法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，。因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為。由得，所以所以?！军c(diǎn)睛】平面向量問(wèn)題有兩大類(lèi)解法：基向量法和坐標(biāo)法，在便于建立坐標(biāo)系的問(wèn)題中使用坐標(biāo)方法更為方便。三.解答題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為.已知，.（）求的值；（）求的值.【答案】（）（）【解析】【分析】()由題意結(jié)合

13、正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值()利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【詳解】（）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因?yàn)?，得到?由余弦定理可得.（）解：由（）可得，從而，故【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查計(jì)算求解能力.16.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）設(shè)為事件“上學(xué)期

14、間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（）見(jiàn)解析；（）【解析】【分析】()由題意可知分布列為二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項(xiàng)分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；()由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.【詳解】()因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機(jī)變量的分布列為：0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.()設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨(dú)立，從而由()知：.【點(diǎn)睛

15、】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力.17.如圖，平面，.（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).【答案】（）見(jiàn)證明；（）（）【解析】【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系()利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行；()分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；()首先確定兩個(gè)半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計(jì)算公式得到關(guān)于CF長(zhǎng)度的方程，解方程可得CF的長(zhǎng)度.【詳解】依題意，可以

16、建立以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得.設(shè)，則.()依題意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面. ()依題意，設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.()設(shè)為平面BDF的法向量，則，即.不妨令y=1，可得.由題意，有，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意所以，線段的長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.18.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為

17、.（）求橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率.【答案】（）（）或.【解析】【分析】()由題意得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；()聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點(diǎn)P的值，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達(dá)式，最后利用直線垂直的充分必要條件得到關(guān)于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.【詳解】() 設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.()由題意，設(shè).設(shè)直線斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率，在中，令，得.由題

18、意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡(jiǎn)得，從而.所以，直線的斜率為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問(wèn)題的能力.19.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（）求和的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求.【答案】（）；（）（i）（ii）【解析】【分析】()由題意首先求得公比和公差，然后確定數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；()結(jié)合()中的結(jié)論可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合所得的通項(xiàng)公式對(duì)所求的數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行等價(jià)變形，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得的值.【詳解】()設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.依題意得，解得，故，.所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.()(i).所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(ii).【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力.20.設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)時(shí)，證明；（）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，證明.【答案】（）單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（）見(jiàn)證明；（）見(jiàn)證明【解析】分析】()由題意求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；()構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合()的結(jié)果和導(dǎo)