導(dǎo)數(shù)中的求參數(shù)取值范圍問題

1、幫你歸納總結(jié)(五)：導(dǎo)數(shù)中的求參數(shù)取值范圍問題、常見基本題型：(1)已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，如已知函數(shù)f(x)增區(qū)間，則在此區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)f(x)0，如已知函數(shù)f (x)減區(qū)間，則在此區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)f(x)M0。(2)已知不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題。例1.已知aR，函數(shù)f(x) = (x2+ax)e頊.(xR, e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若函數(shù)f (x)在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；函數(shù)f (x)是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由.(1)二f (x) =(-x2+ax)e-xf (x) = (2x a)e-x(x

2、2ax)(e-x)=|x2(a 2)x a e-x.要使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，則f(x)苴0對xW(-1,1)都成立,二x2(a+2)x+a苴0對x(1,1)都成立.人2g(1),令g(x) =x (a+2)x+a ,貝Ui一g(1)0.1 (a 2) a爻0,1 -(a 2) a(2)若函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞減，則f(x)0對xR都成立即，x2(a +2)x + a le-x0對x在R者E成立.二e0,.x2 (a +2)x + a苴0對xR都成立令g(x) =x2_(a + 2)x+a ,二圖象開口向上不可能對x R都成立若函數(shù)f (x)在R上單調(diào)遞減，則f(x)0對xR都

3、成立，即x2 (a + 2)x + a le-x芝0對xER都成立，二e 0,二x2(a +2)x +a占0對xR都成立.: =(a 2)2-4a =a24 0故函數(shù)f (x)不可能在R上單調(diào)遞增.綜上可知，函數(shù)f (x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)例2：已知函數(shù)f (x ) = alnxax 3(a肴R)若函數(shù)y=f(x)的圖像在點(2, f(2)處的切.鼬常青藤家教網(wǎng)JiajiaFn4D0-Corri(2)解:-x由x0及f(x)A0得1x3 ；由x0及f(x)0得0 x1或x3,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),(3,+由)(II)若對任意 為者(0,2),

4、x2亡1,2】，不等式f(x)Ng(x2)恒成立,問題等價于f(x)min-g(x)max ?附靴.岸熟宗教網(wǎng)線的傾斜角為45對于任意 技1,2，函數(shù)g(x )= x3+x2 f，(x)+里在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍;解： 由f，(2) =； =1,a = 2.f(x) - -2ln x 2x -33m_2_/一2_.g(x) = x - (2)x -2x, g (x) = 3x - (m - 4)x -22令g，(x)=0得，A = (m+4)2+24A0故g，(x) =0兩個根一正一負(fù)，即有且只有一個正根_32 - /m.、_函數(shù)g (x)= x +x f (x)+五

5、在區(qū)間(t,3)上總不是單倜函二gx)=0在(t,3)上有且只有實數(shù)根二g，(0) = 2 0,. gOcOg,。)。37.m 3一2 _一一(m +4)t 2 - 3t2故.二m-9，綜合得一業(yè)m93例3.已知函數(shù)f (x) =lnx-】x+旦-144x(I)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;(n)設(shè)g(x) = -x2+ 2bx _4 ,若對任意X w (0,2), x2w 1,2】，不等式f(xi)芝g(x2)恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.,，、，13、解：(I) f(x) = lnx-x+T的正義域是(0,+=)4 4x113 4x-x2-3f (x)=2x 4 4x4x2.畫，常青藤俱由(I

6、)可知，在(0,2)上，x=1是函數(shù)極小值點，這個極小值是唯一的極值點，1故也正取小值點，所以f(X)mm = f (1)=-:2g(x) - -x22bx-4, x 1, 21當(dāng)b1時，g(x)max=g(1) = 2b5；當(dāng)1崩翌時，g(x)max=g(b) = b2-4；當(dāng)b2時，g(x)max=g(2) =4b-8；b ：11 _b _2b 2i可題等價于!1或J 1或11112b-5b2-44b-8222.14解得b1或1壬bh(x)在(1 ,+8 )上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng) 誥2時，若函數(shù)k(x) =f(x) h(x)在1,3上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍.解

7、：(1)由a= 0,f(x) h(x),可得一mnxa x, x (1 , +oo )，即n-. ln xx記4 (x)= ，貝Uf(x) h(x)在(1 , +8 )上怛成立等價于m (j) (x)min.inx求得r (x)=inx當(dāng)x (1 , e), 4 (x) 0.故4 (x)在x = e處取得極小值，也是最小值，即力(x) min= ()(e) = e，故n e.函數(shù)k(x) = f(x) h(x)在1,3上恰有兩個不同的零點等價于方程x 2in x = a,在1,3上恰有兩個相異實根.令g(x) =x 2in，貝U g(x) 0.g(x)在(1,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(2,3上

8、是單調(diào)遞增函數(shù).故g(x)min=g(2) = 2 - 2ln2.又g(1) = 1,g(3) = 3 2ln3 ,. g(1) g(3) ,.只需g(2) v ag(3).故a的取值范圍是(2 ln2,3 - 2ln3.二、針對性練習(xí)21.已知函數(shù)f(x)=x +alnx.右函數(shù)g(x)= f(x)+2x在1, 4上是減函數(shù)，求頭數(shù)a的取值范圍。解：由g(x) =x2aln x-，得g (x) =2x - -2 .xx x一，、2,2 ,.又函數(shù)g(x) = x +alnx+為1, 4上的單倜減函數(shù)。x貝Ug (x)苴0在1, 4上恒成立，.- a 2八所以不等式2x+- 0在1 , 4上恒

9、成立.x x5. 2 c2 ,.即a玄一-2x在1, 4上怛成立。x2_2.設(shè)8(x)= 2x，顯然x)在1 , 4上為減函數(shù)，x63所以x)的最小值為中(4) = 2.63二a的取值范圍是a苴-.22.已知函數(shù)f(x)=ex1x4(1)右存在x*1,ln ,使a e +1 +x 0成立，求a的取值范圍;3(2)當(dāng)x 0時，f(x) #tx2恒成立，求t的取值范圍.解：(1)aexTx,即a0時，f(x)A0，x0時，f(x) 0.f )在(口,。)上減，在(0,料上增.鼬常青藤皿恩X。-1,ln 又 ！3時，. f(x)的最大值在區(qū)間端點處取到i1444f(一1) =e- -1 1 = ，f

10、 lln , = _1Ine V 3j 33,41 44 1 14f(_1)_ f |ln=4 1 In1In4. 0,3e 33 e 33f(-1) f In4,. f(x)1,ln4k3J 在1故a a的取值范圍是ee, ,(3)(3)由已知得x x河時，e e_X_X _ lxlx? 2 20 0恒成立,設(shè)g(x) =exx -1 tx2. . g(x) =ex-1 -2tx.x ,由(2)(2)知e eN+xN+x，當(dāng)且僅當(dāng) x=0 x=0 時等號成立,故 g (x)芝 x 2 株=(12t)x，從而當(dāng) 1 2t 芝 0,即2時，g(x)g(x)X(x 芝0)0),.g g(x)為增函數(shù)，又g(0)g(0)= =,2. t -于是當(dāng)x芝0時，g g(x)瀏，即f f(x) Nx ,2時符合題意.xxt 由 e+ +x(x( 0 0)可得e ex(x#0),從而當(dāng)2時,g (x) :ex-1 2t(e 1) =e(ex1)(ex2t),故當(dāng) xE(0,ln2ln2t)時，g(x)g(x) 0 0；. .g g(x)為減函數(shù)，又g g(0)=0,2于是當(dāng) x*(0,ln 2t)時，g(x) 0,即 f (x)tx ,11tI 故2,不符合題意.綜上可得t的取值范圍為x+1x+1若 &20,對任意 x(