第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

1、第一章 函數(shù) 極限 連續(xù)知識點拔1.1 函數(shù)一、函數(shù)的概念設是一個非空數(shù)集，若存在一個對應法則，使得對內(nèi)的每一個值 都有唯一的值與之對應，則稱這個對應法則是定義在數(shù)集上的一個函數(shù)，記作：，其中叫自變量，叫因變量或函數(shù)，數(shù)集稱為函數(shù)的定義域，而數(shù)集叫函數(shù)的值域.如果，稱函數(shù)在處有定義，函數(shù)在處的函數(shù)值記為或. 注釋:函數(shù)定義的兩個要素：定義域和對應法則；兩個函數(shù)相等條件：定義域和對應法則都相同的兩個函數(shù)是相同函數(shù)，如：與不同，因定義域不同；與不同，因?qū)▌t不同；與相同，也就是當兩上函數(shù)的定義域和對應法則都相同時，即使其自變量所用的字母不同，但兩個函數(shù)相同.若定義域內(nèi)的每一個只對應一個函數(shù)值，則

2、稱該函數(shù)為單值函數(shù)，若同一個值可對應于多于一個的函數(shù)值，這種函數(shù)稱為多值函數(shù).二、函數(shù)的基本性質(zhì)1、函數(shù)的單調(diào)性：設函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果對，恒有（或），則稱在區(qū)間上嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少）的.如果對于，有 (或)稱在區(qū)間上是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.注釋：（1）函數(shù)的有界性與單調(diào)性是與某個區(qū)間密切相關的，區(qū)間不同函數(shù)的有界性與單調(diào)性也不同.（2）增+增=增，增-減=增，減+減=減，減-增=減，增的倒數(shù)為減，減的倒數(shù)為增.（3）增函數(shù)與增函數(shù)或減函數(shù)與減函數(shù)的復合為單調(diào)增加函數(shù).（4）增函數(shù)與減函數(shù)或減函數(shù)與增函數(shù)的復合為單調(diào)減少函數(shù).2、函數(shù)的奇偶性：設是對稱于原點的區(qū)間，若對，則稱

3、是奇函數(shù)；若有，稱是偶函數(shù).注釋：奇（偶）函數(shù)的定義域必須是關于原點對稱的區(qū)間.奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于軸對稱.奇偶函數(shù)的運算性質(zhì)1°奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)；偶函數(shù)的代數(shù)和仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的代數(shù)和為非奇非偶函數(shù)；2°偶數(shù)個奇（或偶）函數(shù)的積為偶函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的積為奇函數(shù)；3°一奇一偶函數(shù)的積是奇函數(shù)；4°奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)；5°奇函數(shù)的原函數(shù)是偶函數(shù)；偶函數(shù)的原函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是，即在所有原函數(shù)中只有一個函數(shù)是奇函數(shù).任何一個定義域是關于原點對稱的函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶

4、函數(shù)和的形式，即.3、函數(shù)的有界性：設在區(qū)間上有定義，如果存在,使得對一切都有，則稱在上有界，否則稱為無界，即對，若存在，使得，稱在上是無界的.注釋：函數(shù)的有界性與的取值區(qū)間有關. 若函數(shù)在區(qū)間上有界，但在內(nèi)是無界的，因為在這個區(qū)間上函數(shù)滿足定義的不存在，即函數(shù)的有界性與的取值區(qū)間有關.4、函數(shù)的周期性：設的定義域為，若存在常數(shù)，伎得對，必有，并且有成立，則稱是以為周期的周期函數(shù)，稱為函數(shù)的周期，所有周期中的最小正周期叫函數(shù)的周期.注釋：周期函數(shù)的定義域必須是無限點集，但不能是有限區(qū)間.如：的定義域是（）且若的周期為，則的周期為 ()；周期函數(shù)的和、差、積仍為周期函數(shù)，且周期為各個函數(shù)周期的最

5、小公倍數(shù)，如：周期是的最小公倍數(shù)，但也有例外，如：,的周期為2，但的周期為；周期函數(shù)的導數(shù)仍為周期函數(shù)，且周期不變；設是周期為的函數(shù)，則它的原函數(shù)為周期函數(shù)的充要條件是，或者說，周期函數(shù)的原函數(shù)不一定是周期函數(shù)，如：是以2為周期的函數(shù)，但其任一個原函數(shù)不是周期函數(shù). 不是每一個周期函數(shù)都有最小正周期的,如:狄利克雷函數(shù)任何有理數(shù)都是它的周期,即若為有理數(shù), 也是有理數(shù),故有;若為無理數(shù), 也是無理數(shù),故,可見為的周期,但它沒有最小的正周期.又如：，為常數(shù)，它是周期為任意實數(shù)且沒有最小正周期的周期函數(shù).三、反函數(shù)設函數(shù)，其定義域為，值域為，如果對于中的某一個值（），都可以從關系式確定唯一的（）與

6、之對應，這樣就確定了一個以為自變量的新函數(shù)，記為：，稱函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，它的定義域為，值域為.注釋：習慣上自變量用表示，函數(shù)用表示，因此函數(shù)的反函數(shù)通常表示為.反函數(shù)的定義域就是其原來函數(shù)的值域；反函數(shù)的值域就是原來函數(shù)的定義域，且有.原來函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關于對稱（前提是在同一坐標系中），的圖像與其反函數(shù)的圖像重合.只有一一對應的函數(shù)才有反函數(shù).若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)在區(qū)間內(nèi)一定存在單值反函數(shù)，反之不一定成立，即若在區(qū)間內(nèi)存在單值反函數(shù)但在區(qū)間內(nèi)不一定單調(diào)，如： 在區(qū)間內(nèi)存在單值反函數(shù)，但它在上不單調(diào).四、復合函數(shù)若函數(shù)在處有定義，而在處有定義，則稱為由和復合而成的復合函數(shù)，稱為中間變量.注釋：

7、只有當函數(shù)的值域與的定義域的交集不是空集時才構(gòu)成復合數(shù).函數(shù)的復合：先利用外層函數(shù)關系，再利用內(nèi)層函數(shù)關系而構(gòu)成，如：設，則.復合函數(shù)的分解：先找到外層函數(shù)關系，設其內(nèi)部整體為中間變量，再依次分解，如：，可設,，則原來函數(shù)是由 , ，復合而成.五、初等函數(shù)1、基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).2、初等函數(shù)：由常數(shù)和五類基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次復合運算且可用一個數(shù)學解析式表示的函數(shù)叫初等函數(shù).注釋：初等函數(shù)必須用一個式子表示，不能用一個式表示的函數(shù)不能稱為初等函數(shù)，故分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).3、分段函數(shù)：若函數(shù)在其定義域

8、內(nèi)的不同部分上，分別用不同的表達式表示，這類函數(shù)稱為分段函數(shù).如：符號函數(shù)是分段函數(shù)且是有界函數(shù)和奇函數(shù).又如： 是分段函數(shù).注釋：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，但若是初等函數(shù)，則是初等函數(shù).又如：取整函數(shù)，即“不超過的最大整數(shù)”是分段函數(shù).又如：定義在上的狄利克雷（Dirichlet）函數(shù)是分段函數(shù)，且是有界的，是周期函數(shù)，但沒有最小的正周期，任何有理數(shù)都是它的周期，并且還是偶函數(shù).4、初等函數(shù)的幾個特例設函數(shù)和都是初等函數(shù)，則（1）是初等函數(shù)，因為；（2）最大值函數(shù)和最小值函數(shù)都是初等函數(shù)，這是因為（3）冪指函數(shù) ()是初等函數(shù)，因為.1.2 極限一、數(shù)列極限的定義1、數(shù)列極限的概念設為數(shù)列，

9、為定數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當時，有，則稱數(shù)列收斂于，而稱為數(shù)列的極限，記作：，或（）.若數(shù)列沒有極限，則稱數(shù)列不收斂，或稱為發(fā)散數(shù)列.若，則稱為無窮小數(shù)列.定理 數(shù)列收斂于的充要條件是：為無窮小數(shù)列.2、有界數(shù)列的概念對于數(shù)列，如果存在正數(shù)，使得對于一切的都有不等式成立，則稱數(shù)列是有界的；如果這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列是無界的.注釋：（1）若數(shù)列收斂，則數(shù)列有界；（2）有界數(shù)列不一定收斂，如：有界，但不收斂，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件；（3）（常數(shù)）；（）；（）；（4）等差數(shù)列的求和公式或.（5）等比數(shù)列的前項和公式.3、單調(diào)數(shù)列的概念對于數(shù)列，如果滿足條件，則稱數(shù)列為單

10、調(diào)增加數(shù)列；如果滿足條件，則稱數(shù)列為單調(diào)減少數(shù)列.單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.定理（單調(diào)有界準則） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 二、函數(shù)極限1、時，函數(shù)的極限（1）概念定義 如果當時，函數(shù)無限趨近于某個確定的常數(shù)，則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限，記作：或（）.注釋：（1）是指的絕對值無限增大，它包含以下兩種情況：取正值并無限增大，記作：；取負值且其絕對值無限增大，記作：.（2）如果和兩種情況都存在且函數(shù)的極限值相等時，則可合并寫成.定義 如果當時，函數(shù)無限趨近于某個確定的常數(shù)，則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限，記作：或（）.如果當時，函數(shù)無限趨近于某個確定的常數(shù)，則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限，記作：或

11、（）.（2）函數(shù)在時極限存在的充要條件定理 極限存在的充要條件是且.如：由于，所以，故極限不存在；又如：由于，即不存在，故極限不存在.2、時，函數(shù)的極限（1）函數(shù)在時的極限概念定義 設函數(shù)在的某個去心鄰域內(nèi)有定義，如果當時，函數(shù)無限地趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記作：或（）.注釋：表示趨近于，含以下兩種情況：（1）從大于的一側(cè)（即右側(cè)）趨近于，記作：；（2）從大于的一側(cè)（即右側(cè)）趨近于，記作：.（2）函數(shù)左極限與右極限的概念定義 設函數(shù)在的某個左側(cè)鄰域（）內(nèi)有定義，如果當從的左側(cè)趨近于（記作：）時，函數(shù)無限地趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記作：或或.設函數(shù)在的某個

12、右側(cè)鄰域（）內(nèi)有定義，如果當從的右側(cè)趨近于（記作：）時，函數(shù)無限地趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記作：或或.（3）函數(shù)在時極限存在的充要條件定理 極限存在的充要條件是且.注釋：該定理主要用來判定分段函數(shù)在分段點處極限是否存在的重要定理.（4）幾個常用極限，（常數(shù)），.（5）初等函數(shù)的極限基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)任一點的極限等于該點的函數(shù)值；初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)任一點的極限等于該點的函數(shù)值.3、函數(shù)極限的性質(zhì)（1）唯一性：若極限存在，則它的極限必唯一；（2）局部有界性：若存在，則和，當時，有；（3）保序性：設，（）若，則，當時，有；（）若當時，有，則.（4）保號性：若（或<0）

13、，則必，當時，有（或）若（或），且，則（或）.注釋：上述的變化趨勢，可以換成，若,且，則是錯誤的，如，但1.3 極限的運算法則若，都存在，則（1）；（2），特別地；（3），其中；（4）；（5）其中且不等于1，特別地（為實數(shù)）. 注釋：法則（1）（2）可以推廣到有限個函數(shù).時有理分式極限的求法設是有理分式，其中，.（1）若，則；（2）若，而，則；（3）若且，則與一定有公因子，將與因式分解，約去公因式后再計算極限.時有理分式極限的求法其中，.無理分式極限的求法：先分子或分母有理化，在計算極限“”型有理分式的求法：先通分，再求極限.1.4 極限存在準則及兩個重要極限一、極限存在準則夾逼定理：如果對于

14、的去心鄰域內(nèi)的一切都有，且，則有.二、兩個重要極限1、，一般的，表示任一函數(shù)，即；2、，一般的，表示任一函數(shù)，即，.1.5 無窮小量與無窮大量、無窮小的比較一、無窮小量1、無窮小量的概念若（或），則稱是（或）時的無窮小量，簡稱無窮?。?、極限與無窮小量的關系，其中是時的無窮小量.是（或）時的無窮小量.3、無窮小量的性質(zhì)（1）有限個無窮小量的和、差、積仍然是無窮小量，（2）有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量。二、無窮大量1、無窮大量的概念如果當（或）時，函數(shù)的絕對值無限增大，則稱函數(shù)為（或）時的無窮大量，簡稱無窮大，記作：.2、無窮大與無窮小的關系在自變量的同一變化過程中，如果是無窮大量，則是無

15、窮小量；如果是無窮小量且，則是無窮大量。三、無窮小量的比較1、無窮小比較的概念設，則若，則稱是的高階無窮小量，記：；若，則稱與是等價無窮小量，記：；若，則稱與都是同階無窮小量；若，稱是的階無窮小量；若，稱是的低階無窮小量.注釋：在無窮小的比較中，是在自變量相同變化趨勢下的無窮小量.無窮小量的比較只是定性的，即只有階的高低之別，沒有數(shù)量上的關系.不是任何無窮小量都能比較其階的高低的，如：當時，都是無窮小量，但不存在，不能比較其階的高低.2、幾個常用的等價無窮小量當時，有下列無窮小等價，, , , , .3、等價無窮小替換定理若，則.注釋：在求極限時，整個式子的分子或分母必須整體替換，不能分子或分

16、母分項替換，即在分子或分母是和，差的情況不能替換，只能替換乘積中的無窮小量.等價無窮小量具有傳遞性（變化趨勢必須相同，）它們都是互相等價的.1.6 函數(shù)的連續(xù)性及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、函數(shù)在點的連續(xù)性1、函數(shù)在點的連續(xù)性概念定義 設函數(shù)在點及其附近有定義，如果，則稱函數(shù)在點連續(xù) .定義 設函數(shù)在點及其附近有定義，如果，則稱函數(shù)在點連續(xù) . 注釋：（1）函數(shù)在點處連續(xù)必須滿足三個條件：函數(shù)在點及其附近有定義；極限存在；極限的值等于函數(shù)在點處的函數(shù)值. （2）判斷函數(shù)在某個具體的點是否連續(xù)，特別是判斷分段函數(shù)在分段點是否連續(xù)，一般利用來完成 .2、左、右連續(xù)的定義若在點的左鄰域內(nèi)有定義，且，

17、則稱在點左連續(xù) .若在點的右鄰域內(nèi)有定義，且，則稱在點右連續(xù) .3、函數(shù)在點連續(xù)的充要條件函數(shù)在點處連續(xù)的充要條件是：在點既左連續(xù)又右連續(xù) .注釋：該定理主要用來討論分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性.二、函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性概念若對在點都連續(xù)，則稱在開區(qū)間上連續(xù)；若在開區(qū)間上連續(xù)，且在點右連續(xù)，在點左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù) .三、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、連續(xù)函數(shù)的四則運算若函數(shù)，在點都連續(xù)，則也都在點也連續(xù) .2、復合函數(shù)的連續(xù)性：若在點連續(xù)，而在點連續(xù)，則復合函數(shù)在點也連續(xù)，且有 3、反函數(shù)的連續(xù)性：若函數(shù)在區(qū)間I上嚴格單調(diào)且連續(xù)，則其反函數(shù)也在相應的區(qū)間上嚴格單調(diào)且連續(xù) .4、初等函數(shù)的連續(xù)性一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的 .注釋：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)，即只有在定義域構(gòu)成的區(qū)間上連續(xù)，如：的定義域為，它在定義域內(nèi)的任何一點都不連續(xù) .四、函數(shù)的間斷點及其分類1、函數(shù)間斷點的定義若函數(shù)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，但在點無定義或在點有定義而不連續(xù)（即在有定義，但不存在或雖然存在但不等于），則稱在點不連續(xù)，點稱為的間斷點 .2、間斷點的分類間斷點分為兩類：第一類間斷點和第二類間斷點 .（）第一類間斷點：和都存在 .1）若（或在點無定義），稱為可去