關(guān)注問題類型探索解題模型

1、關(guān)注問題類型，探索解題模型摘 要作為幾何中最為根本的圖形，平行四邊形具有眾多的公式定理和問題類型，學(xué)生在解析時存在一定的難度難以準(zhǔn)確地選用對應(yīng)的公式定理，因此對問題進(jìn)行歸納，提煉解題模型十分必要.文章從平行四邊形的根本問題入手，逐步深入探析，總結(jié)解題模型，以期對讀者有所幫助.關(guān)鍵詞平行四邊形;模型;比值;三角函數(shù)問題起源平行四邊形是初中數(shù)學(xué)中最為重要的幾何圖形之一，掌握圖形的性質(zhì)，并對其加以證明是教學(xué)大綱對學(xué)生的根本要求.雖然平行四邊形的性質(zhì)、定理較為豐富，但學(xué)生單獨(dú)理解其中的某一內(nèi)容還是比較容易的.其難點(diǎn)在于解決將眾多的知識點(diǎn)進(jìn)行融合而構(gòu)建的相對復(fù)雜的綜合題.考慮到學(xué)生的綜合應(yīng)用能

2、力較弱，有時難以直切主題、高效破解，所以此時十分有必要引進(jìn)平行四邊形的解題模型，使用模型揭露問題本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生完成問題的分析與求解【1】.而要引進(jìn)解題模型，就需深入了解平行四邊形的問題類型.問題探索兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，這是平行四邊形的定義，由此可以衍生出平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分等根本性質(zhì).由平行四邊形的性質(zhì)和定理構(gòu)建的根本問題類型，包括判定某個四邊形為平行四邊形，證明線段相等、兩線平行，求線段的長或圖形的面積等.下面結(jié)合問題實(shí)例加以探析.1.探索一：特殊關(guān)系模型平行四邊形有對邊相等、對角線互相平分的性質(zhì)，由上述性質(zhì)可以獲得平行四邊形內(nèi)的幾組相等線段，但實(shí)

3、際解題時，試題考查的兩條線段一般不存在上述關(guān)聯(lián)性，所以需要學(xué)生基于對平行四邊形的理解，結(jié)合相關(guān)幾何知識來構(gòu)建長度關(guān)系.此時可以考慮從平行四邊形的內(nèi)角入手，構(gòu)建特殊的三角形，利用特殊關(guān)系來求證.例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，AF平分BAD，與線段DC的延長線交于點(diǎn)F，求證：DA=DF.圖1BDCFA解析此題除了平行四邊形的性質(zhì)外，另一個重要的條件為“AF平分BAD.根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得BAF=DAF，而平行四邊形的兩組對邊分別平行，所以有ABDF.利用直線平行的性質(zhì)定理，可得BAF=F，進(jìn)而可得DAF=F.所以DAF是等腰三角形.由“等角對等邊，可證得DA=DF.模型提煉求證線段等長問

4、題，可以考慮采用“角平分線+平行線等腰三角形這一模型，即利用問題中的角平分線，結(jié)合平行四邊形的對邊平行性質(zhì)，構(gòu)建等腰三角形，隨后利用等腰三角形的性質(zhì)來構(gòu)建兩條線段的長度關(guān)系.此外，也可以逆用該模型，由等腰三角形來逆推角平分線.2.探索二：等面積模型在以平行四邊形為背景的幾何題中，除了常見的證明題外，還有求線段的長、圖形的面積等問題，即計(jì)算類問題.要解決此類問題，還需要利用三角形的面積公式、周長公式等.如果所求三角形的形狀較為特殊，那么可以直接根據(jù)公式來探索線段長，而對于形狀較為抽象的一般幾何圖形，那么可以考慮使用“等面積模型【2】.例2如圖2，BDAC，AF=FC，點(diǎn)E為四邊形ABCD外一點(diǎn)，

5、且ADE=BAD，AEAC.1試證明四邊形ABDE為平行四邊形;2假設(shè)DA是BDE的平分線，設(shè)AB=5，AD=6，求AC的長.解析1要證明四邊形ABDE為平行四邊形，只需依據(jù)平行四邊形的判定定理來探索條件.因?yàn)锳E和BD均垂直于線段AC，所以AEBD.由ADE=BAD，可得ABED.故四邊形ABDE為平行四邊形.2根據(jù)“角平分線+平行線的模型，可證平行四邊形ABDE為菱形，具體過程如下：因?yàn)镈A是BDE的平分線，所以BDA=ADE.結(jié)合ADE=BAD，可得BAD=BDA.再由“等角對等邊，可得AB=BD.根據(jù)定理“有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，可得四邊形ABDE為菱形.接著連接BE，可得B

6、EAD.對于菱形ABDE的面積，有兩種求法，即S=AD·BE，S=BD·AF，根據(jù)等面積法，可得AD·BE=BD·AF，于是可求得AF=，AC=2AF=.模型解讀在幾何圖形中求解線段長，可以利用“等面積模型，即從不同的角度構(gòu)建同一圖形的面積，根據(jù)面積相等構(gòu)建相關(guān)線段長的數(shù)量關(guān)系，從而到達(dá)求解的目的【3】.另外，也可以利用等面積模型對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即根據(jù)圖形的面積相等，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)接到另一圖形上，在構(gòu)建時需要嚴(yán)格按照圖形的面積公式，對相關(guān)線段的長加以分析.深度剖析近幾年的中考試題越發(fā)注重對知識進(jìn)行綜合考查，同時出現(xiàn)了眾多以平行四邊形為背景，結(jié)合知識聯(lián)

7、系點(diǎn)所命制的綜合類考題，如與三角函數(shù)、代數(shù)比值相結(jié)合構(gòu)建的幾何題.該類問題一般具有很強(qiáng)的拓展性，可以從不同的角度構(gòu)建解題思路，也可以直接利用解題模型來加以探究，下面對其深入剖析.1.問題一：比值，求線段幾何中的比值實(shí)際上就是線段長的數(shù)量關(guān)系，求解時可以利用方程模型，即基于方程思想，設(shè)出相關(guān)線段的長或設(shè)定關(guān)于線段長的參數(shù)，然后基于幾何關(guān)系構(gòu)建方程，通過解方程的方式來求解.例3如圖3，在ABC中，ACB=90°，CD為邊AB的中線，過點(diǎn)D作DEBC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFAB交DE的延長線于點(diǎn)F，連接BF，AE.1試證明四邊形BDCF為菱形;2假設(shè)S=24，=，試求CF的長.解析1按照先證四

8、邊形BDCF為平行四邊形，再證其為菱形的思路進(jìn)行證明即可.2題干給出了兩個關(guān)鍵條件：一是四邊形BDCF的面積，二是EC與AC線段長的比值.考慮到利用幾何的面積公式可以將幾何面積轉(zhuǎn)化為幾何線段長的乘積，因此給出四邊形BDCF的面積，實(shí)際上就是給出了幾何線段的關(guān)系.由=，可設(shè)EC=2a，那么AC=DF=3a.四邊形BDCF的面積可以表示為S=BC·DF，其中BC=2EC=4a，進(jìn)而可得·4a·3a=24，又a>0，所以a=2.所以EC=4，EF=3.根據(jù)勾股定理，可得CF=5.模型解讀在比值類問題中構(gòu)建代數(shù)方程是求解該類問題的重要思路之一，其中的方程模型是基于幾

9、何關(guān)系所構(gòu)建的，常見的構(gòu)建策略包括利用幾何面積、勾股定理、三角函數(shù)值等.具體的構(gòu)建步驟為：設(shè)未知數(shù)或參數(shù)析關(guān)系構(gòu)方程解未知.2.問題二：融合三角函數(shù)三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中較為特殊的一類函數(shù)，在初中階段研究三角函數(shù)，一般將其放置在直角三角形中，構(gòu)建相關(guān)線段長的比值關(guān)系.中考試題中融合三角函數(shù)的方式主要有兩種：一是直接給出三角函數(shù)值，用以分析幾何關(guān)系;二是根據(jù)條件來分析三角函數(shù).無論是求解哪類試題，都可以利用解直角三角形模型來分析、破解.例4如圖4，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD=8，ABD的正切值為，試求線段AB的長.解析四邊形ABCD為菱形，根據(jù)其性質(zhì)可得對角線ACBD，AO

10、=CO，OB=OD，因此AOB是以AOB為直角的三角形.在該三角形中，tanABD=，又BO=BD=4，所以=.所以AO=3.由勾股定理，可得AB=5.模型解讀直角三角形是一種特殊的三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理構(gòu)建三邊長的關(guān)系，也可以結(jié)合三角函數(shù)值構(gòu)建邊長的比值關(guān)系，因此利用直角三角形的解題模型可以巧妙地求解相關(guān)幾何問題.解后思考上述對平行四邊形的相關(guān)問題進(jìn)行了探究，并總結(jié)了對應(yīng)的解題模型.實(shí)際上，解題模型是基于對問題的深度探究，是對解題思路和方法的高度概括，對加深問題理解和提升解題效率有一定的幫助.平行四邊形的問題類型較多，但總體而言可以歸納為幾何證明、線段求值、綜合拓展等幾大類.

11、因此，在充分理解命題思路、剖析問題本質(zhì)的根底上，可以構(gòu)建相應(yīng)的解題模型.利用解題模型來分析問題，可以有效地避開問題“陷阱，直切問題根本【4】.而在教學(xué)中，那么需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題模型的構(gòu)建過程，調(diào)動學(xué)生的思維，運(yùn)用相應(yīng)的公式、定理完成模型的構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生善于提煉問題的條件、結(jié)論，并合理利用模型對其加以表征.在構(gòu)建的過程中，需要注意不能過于模型化，不能采用機(jī)械的知識灌輸方式，而應(yīng)采用科學(xué)的探究策略，從問題的特征入手，剖析問題的本質(zhì)內(nèi)涵，提煉其中的關(guān)鍵信息，探索有效的構(gòu)建策略，最后歸納解題思路，完成解題模型的構(gòu)建.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的思維開展應(yīng)是教師關(guān)注的重點(diǎn)，整個課堂教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為主體.無論是問題分析，還是模型構(gòu)建，都應(yīng)注重學(xué)生的思維體驗(yàn).教學(xué)中，可以采用問題引導(dǎo)的方式，通過合理的設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生不斷地遞進(jìn)思考，逐步幫助學(xué)生構(gòu)建完整的模型探究思維鏈.同時，在模型構(gòu)建的過程中，注意合理滲透數(shù)學(xué)的思維方法，讓學(xué)生在構(gòu)建模型中明晰所采用的思想依據(jù)，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，以問題探索為依托，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升.參考文獻(xiàn)：【1】倪春花.從人教版“18.1.1 平行四邊形